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第十一章 量子跃迁111）荷电的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。112）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取沿轴方向来计算）。解：令 （6）初始条件（5）亦即 （5）用式（6）代入式（4），但微扰项中取初值（这是微扰论的实质性要点！）即得以左乘上式两端并全空间积分，得再对积分，由，即得 （7）因此时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到态的几率为可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式 （8）根据选择定则，终态量子数必须是即电子只能跃迁到各态，而且磁量子数。跃迁到各激发态的几率总和为 （9）其中 （为奇宇称） （10）为Bohr半径，代入式（9）即得 （11）电场作用后电子仍留在基态的几率为 （12）113）考虑一个二能级体系，Hamilton量表为（能量表象） , ,设时刻体系处于基态，后受微扰作用， ,求时刻体系处于激发态的几率。解：时，体系 ，其矩阵表示（表象）为 （1）设的本征函数为 （2）代入本征方程 （3）得到 （4）上式存在非平庸解的条件为由此解出 （5）令 ， （6）式（5）可以写成 （5）当，由式（4）求得取，即得相应的能量本征函数（未归一化）为 （7）当，类似可求得 （8）时，体系的初始状态为 （9）其中 （10）因此时波函数为 （11）以式（5）、（7）、（8）代入上式，即得 （12）体系处于态的几率为 （13）114）自旋为的粒子，磁矩为，处于沿轴方向的常磁场中，初始时刻粒子自旋向下。后来加上沿轴方向的常磁场 。求时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符，与外磁场的的作用 ）解：粒子的磁矩算符可表示成 （1）为泡利算符，磁场对粒子的作用势为 （2）在表象中，的矩阵表示为 （2）以下求的本征值和本征函数，设本征函数为 （3）本征方程为，则 （4）能级方程为 （5）令 ， ， （6）由式（5）容易解出 （7）将之值代回式（4），即可求出如下本征函数： （8）注意，这两个本征函数并未归一化。将时的初始波函数按能量本征函数展开， （9）因此，时波函数 （10）
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