函数及函数的表示方法.doc

第七组：北京四中、丰盛中学、西城分院附中小组 “函数”章教学设计第一第五学时 2.1.12.1.2 函数及函数的表示方法一、学习目标1. 理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域.（1）了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射.能理解定义域、对应法则是函数的两个要素.（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.了解每种方法的优点.（3）能正确认识和使用“区间”及相关符号，能正确求解一些简单的函数的定义域.2. 对函数符号y = f (x)有正确的理解，准确把握其含义，了解y = f (x)（a为常数）与f (x)的区别与联系.3. 初步体会函数定义由变量观点向对应观点的过渡.4. 了解简单的分段函数的特点及应用.二、重点内容安排教学重点是在从对应的角度给出函数的概念，主要包括对函数的定义、表示法、各要素的作用的理解与认识.教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用. 由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它从根本上揭示了函数的本质，定义域、对应法则是函数的两个要素，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来. 在本单元中首次引入了抽象的函数符号f (x)，应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，x在法则f下对应f (x)，不是f与x的乘积，符号本身就是三要素的体现.由于f所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故函数表示的方法出了解析法以外，还有列表法和图象法.此外，f (x)本身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量.函数的概念对应关系定义域值域映射的概念函数的概念对应关系定义域值域三、本节知识结构四、教学内容安排1. 复习复习初中函数的定义，借此引出高中函数的定义.2. 新课引入教师举例（与生活实际紧密相关的例子，包括分段函数、离散点、常值函数）说明：函数关系实质上是表达两个数集的元素之间，按照某种法则确定的一种对应关系.因此，可以用集合语言来更确切地刻画函数.3. 函数的概念教师引导学生给出函数对应角度的定义：（1）定义：设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数x，按照确定的法则f，都有惟一确定的实数值y与它对应，则这种关系叫做集合A上的一个函数.记作y = f (x)，xA，其中原象集合A称为定义域，函数值构成的集合y | y = f (x)，xA称为值域.（2）本质：函数是非空数集到非空数集的对应.从上述的分析可以看出，对应观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质.（3）定义域、对应法则是函数的两个要素. 定义域与函数定义中数集A的关系 简单的判断两个函数是否为同一函数 求简单函数的定义域，主要是函数的自然定义域，包括有生活实际含义的函数 简单复合函数的定义域f (x2)（4）对函数符号f (x)的理解首先让学生知道y = f (x)与f (x)的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x叫做自变量，其次要用具体的函数来说明y = f (x)的含义，符号f (a)与f (x)的区别与联系.例如：已知函数f (x) = 3x-2，试求f (3)、f (a)分析：首先让学生认清f (3)的含义，要求学生能从变量观点和对应观点解释，再进行计算.计算之后，要求学生了解f (a)与f (x)的区别，f (a)是常量，而f (x)是变量，f (a)只是f (x)中的一个特殊值.最后指出在题目中f (x)是一个用具体的解析式表示的，而以后研究的函数f (x)不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法以后再进一步研究.4. 映射作为函数概念的推广，其教学要求不能太高，教学中主要是结合实例使学生对映射有所了解.在理解映射的概念后，教师可以进一步讲解一一映射的概念，使学生能够初步了解定位即可。5. 函数的表示方法让学生参与到讨论函数的表示方法活动中.教师可以提供一些素材（如某次数学测验成绩单中的学号与成绩的关系，在坐标系中画出的一些曲线等），让学生研讨他们是否具有函数关系，又能否利用解析式来表达.由于函数的图象是函数的一种表示方法，所以函数图象在函数的学习中非常重要.要求学生会用一些常见的计算机绘图软件（如几何画板等）来绘制较为精确的函数图象.6. 分段函数由于表现形式的限制或实际应用的需要，有一些函数的解析式需要分为几部分.这样就产生了分段函数.分段函数可以考虑在讲解函数的表示方法时作为解析法的特殊例子.在画简单的分段函数的图象时可以简要介绍函数图象的翻折变换.五、教学资源建议充分利用信息技术展现函数的多种表示方法，参看教参中函数案例，光盘中变量与函数的概念课堂实录，课件集锦中相关课件等.六、教学方法与学习指导策略建议这一部分知识的学习，建议主要以教师讲解，学生讨论的教学方法进行.多给学生一些感性认识，通过展示才会发现，通过发现才会发展，获得对知识更深层次的理解.第六第八学时 2.1.32.1.4 函数的单调性与奇偶性一、学习目标1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握有关证明和判断的基本方法.（1）了解并区分增函数、减函数、单调性、单调区间，奇函数、偶函数等概念.（2）能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.（3）能借助图象判断一些函数的单调性，能利用定义证明某些函数的单调性；能用定义判断某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2. 通过函数单调性的证明，提高学生在代数方面的推理论证能力；通过韩书奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合，从特殊到一般的数学思想.3. 通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度.二、重点内容安排（1）本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性、奇偶性的本质，掌握单调性的证明.（2）函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教学内容安排（一）引入新课1. 函数的单调性函数的单调性研究的主要是函数局部的性质，这一性质反映了函数在某一区间上的自变量x与因变量y之间所依存的大小变化关系.在图象上反映为图象的变化趋势.通过函数的单调性，可以实现不等关系的等价转化.教学时应充分利用函数图象，从直观感知上认识函数的单调性，再通过对给出解析式的函数单调性的证明和求单调区间等问题的研究，深刻理解函数的单调性，并注意对单调区间的表达（不能写成几个区间的并集）.在讲解函数单调性的证明时，要对学生进行有效的指导，如在得到f (x1) - f (x2)后的处理方法.可在这部分加入利用单调性求解简单的函数的值域问题.2. 函数的奇偶性函数的奇偶性研究的是函数的整体性质，具体说是函数的对称性.可以先从一些特殊的函数图形入手，观察图形的特点，教师可明确提出研究方向：我们将研究图象的这种特征体制体现在自变量与函数之间有何规律？由此得出具有相应对称性的函数应满足的代数表达式，从而得到奇偶性的定义，并得到奇偶函数图象的特点.典型的四类问题： 判断函数（包括组合函数）的奇偶性，注意先判断函数的定义域 由分段函数的奇偶性，求其解析式 利用奇偶性研究函数的性质（画图象） 奇偶性与单调性的结合3. 结合函数的奇偶性，简单介绍函数图象的对称变换.四、教学资源建议充分利用信息技术展现函数的多种表示方法，参看教参中函数奇偶性案例，课件集锦中相关课件，等等.五、教学方法与学习指导策略建议针对这一部分的特点，在教学中可以采用教师讲解，学生练习为主的方式进行教学.要多从几何直观上理解函数单调性、奇偶性，重视图象在数学学习中作用.第九十一学时2.2.12.2.3 一次函数与二次函数一、 学习目标以一次函数和二次函数这两个重要的函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过这两个函数有关知识的复习与提高，沟通初中和高中数学内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学的平稳过渡.本节主要的数学方法是配方法、待定系数法、数形结合和分类讨论的思想方法，以及对数学问题由特殊到一般，再由一般到特殊的研究方法. 二、 重点内容安排教学重点：学会运用配方法研究二次函数的性质和图像.教学难点：运用配方法研究二次函数的性质. 三、 教学内容的安排由于本节内容在初中阶段已经介绍过，因此建议在讲授新课之前，由学生自己先将这两方面的内容自己先好好看看，并在家好好翻翻初中课本中这两方面的内容，最起码得对一次函数和二次函数图像的具体画法要相当熟悉.1、 一次函数的性质和图像引导学生关注： 当时，函数为.此时，它不再是一次函数，它的图像是一条与轴平行或重合的直线，通常称为常值函数. 函数值的改变量与自变量的改变量的比值，称作函数在到之间的平均变化率，这一次函数来说它是一个常数，等于这条直线的斜率. 一次函数的单调性与一次项系数的正负有关，当时，函数为增函数；当时，函数为减函数. 一次函数的奇偶性与函数在轴上的截距有关，当时，函数为奇函数；当时，函数既不是奇函数，也不是偶函数. 要准确地作出一次函数的图像，只要找准图像上的两个点即可，这两个点通常是找图像与坐标轴的交点.2、 二次函数的图像和性质 本节重点是让学生掌握研究二次函数图像和性质的重要方法配方法.对于任何一个二次函数，只要通过配方变形为的形式，就可以知道函数的图像特征和有关的性质，而不必要求学生记忆过多的结论，解题时这样一些通法的运用时最有效的. 在总体设计上遵循由特殊到一般的认知规律，先由学生观察图像，研究函数的性质，并通过两个例子复习二次函数图像的画法，运用数形结合的方法，推广得出二次寒食的图像和性质，以及研究二次函数的重要方法. 二次函数中系数，决定着函数的图像和性质.即:二次项系数决定了函数图像的开口方向、开口大小和单调性；是否为零决定着函数的奇偶性；是否为零决定着函数图像是否经过原点.另外，和共同决定着函数的对称轴，和三者共同决定着函数的顶点位置.在讲授完书上所说的二次函数的图像和性质后，如果学生接受能力不错，而时间又允许的话，可以适当地将二次不等式的解法与二次函数图像的关系介绍一下，并将二次方程中的一些内容可以补充进来，例如根与系数的关系、二次方程的根与二次函数的关系等等. 3、待定系数法 本节重点是运用待定系数法求函数的解析式.教学重点是列出方程（组）及方程运算；另外，注意引导学生观察，对于给出的函数的不同的解析式，求解的难易程度也不尽相同. 通过正比例函数求系数的方法，引出待定系数法的定义，进一步通过具体函数，总结出使用待定系数法解题的一般步骤：第一步，设出含有待定系数法的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程和方程组；第三步，解方程或方程组或消去待定系数，从而使问题得到解决. 由待定系数法的定义可知，所求函数解析式的一般形式是明确的，因此教学中一方面要注重训练学生对方程和方程组的使用，另一方面注意对函数解析式的选择，例如：求二次函数的解析式时，如果知道函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式可设为，这样会使求解比较方便.四、 教学资源建议教学案例，相应课件，适当运用多媒体等.五、 教学方法与学习指导策略建议 1、通过本节课前抽测试题检测学生已有知识结构做好学生知识分析，确定教学起点.2、让学生多做预习，减轻课堂的教学量，尽量课堂上让学生多做练习，在练习中寻找解题的规律.第十二第十三学时 2.3 函数的应用（）一、 学习目标1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2、通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数等模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点. 3、学生在运用函数的思想和方法理解和处理其他学科、现实生活中的简单问题中体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观.在数学建模中体会客观世界是有规律可循的，形成正确的世界观.通过函数应用的学习，让学生感受到数学就在身边，从而激发学生学习的兴趣，增强学习的自信心.二、 重点内容安排教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题，向学生展示从实际问题中抽象出函数关系的过程.教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法.三、 教学内容的安排本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师适当地启发诱导地进行教学.例1是一次函数模型的应用，关键是审题，教师提出问题，让学生读题，找出关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式。时间是匀速行驶的时间，.一般地，一次函数的模型问题，常设为，然后用待定系数法求，的值.在解完此题后应让学生总结解题方法，教师完善.例2是客房租金如何定价收入才能最高的实际应用问题，是二次函数模型的应用.解题的关键是读懂题意，合理设出未知量，列出函数关系式.方法一，通过列表的形式求解，直观性强，有助于学生理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的.方法二，根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法. 例3事实上是函数在几何中的应用问题.由于本题的几何背景，我们可以利用教参提供的课件，动态的演示问题的变化过程，使学生直观、清楚的感知变量间的依赖关系，从而掌握自变量的选取技巧，充分理解数形结合、运动变化的思想.另外学生在问题的解决过程中还可以巩固前面学习的研究二次函数的常用方法.例4是建立一个真实的函数模型解决实际问题的例子.它比前三个例题更进一步，要求也更高.前三例可以看作是数学化了的具有实际背景的问题，条件、结论很明确，没有次要因素的干扰，它隐含的规律很明显，易于揭示.而例4所提供的数据没有作任何处理，它里面包含的信息很丰富，要求学生根据需要抓住主要矛盾，建立模型解决问题.鉴于学生是第一次接触数学模型，课本采取分步设问的办法，引导学生分析数据，建立模型解决问题，使学生经历一个完整的数学建模过程.本题可以根据学生实际的认知水平作不同的处理，若学生没有建模的基础，就采取教材的处理方式，然后再归纳总结建模的方法，提炼数学建模的思想；若学生基础较好或有一定的建模基础，教师可以只提供数据，让学生提出自己感兴趣的问题，然后自主探究，解决问题，师生交流，达成共识，落实方法.这样处理除了向学生渗透数学建模的思想方法之外，还关注学生的问题意识，提高学生的创新能力. 四、 教学资源建议相应课件，适当运用多媒体等.五、 教学方法与学习指导策略建议函数是描客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一.本模块安排了两次函数应用的学习，第一次先用两个学时的时间，学习一次和二次函数模型的应用，让学生在熟悉的知识背景下理解用函数的思想分析问题、解决问题的方法，初步掌握建立数学模型的一般步骤，为第二次学习函数的应用打好基础.教材这样处理既符合学生的认知规律又体现了螺旋式上升的设计理念.在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识；学生在体验数学与日常生活和其他学科领域的联系中树立起正确的世界观；数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用.结合后两节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯. 总之，对于函数应用的教学主要使培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画世界的规律的能力.关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法. 第十四学时第十五学时（2.4函数与方程）一、 学习目标1、 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解。2 、在对二次函数的零点与方程的根的关系研究过程中体会由特殊到一般的思维方法，在经历用二分法求函数零点的近似解的探索过程中，初步体会数形结合、逼近、算法等重要的数学思想方法。3 、在求函数零点的近似解中经历无限逼近的过程，感受整体与局部、定性与定量、精确与近似的对立统一辩证观，体会事物间相互转化的辩证思想。二、 重点难点安排重点：理解函数零点的概念；会求函数的零点；能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解；次重点：判定二次函数零点的个数。难点：二分法求函数零点近似解的原理，及隐含其中的数学思想方法的理解。三、 教学内容安排1、 函数的零点函数的零点、二分法求函数零点近似值这两节内容是函数在数学内的应用，教材由学生熟悉的二次函数入手，结合函数直观的分析二次函数零点与一元二次方程根的联系，从二次函数图像得出二次函数零点的性质，并将其推广到一般的连续函数上。教学时，教师要向学生渗透这种由特殊到一般，由整体到局部、数形结合、直观感知、合情推理发现规律的研究方法，不断形成学生可持续发展的能力。在用二分法求函数零点近似解的教学中，除了要求学生掌握计算方法之外，重点要向学生渗透隐含其中的逼近、近似、算法的思想。 函数的零点，教材还是以学生熟知的二次函数为例，先求出零点，做出函数的图像，然后由图像分析函数值的符号变化情况，自然的引出函数零点的概念，接下来就研究零点的存在性及零点的个数，由二次函数图像得到二次函数零点的性质，再通过例题，从三次函数的角度进一步验证函数零点的两条性质，它是函数零点存在的充分条件，为下一节将其推广得到一般连续函数零点的性质作准备，接下来就是如何求出零点？思维自然流畅，教师在处理相关知识的同时要把这种研究问题的一般思路和方法介绍给学生，促进学生可持续发展。本小节内容较简单，是培养学生自学能力的好时机，因此对于基础薄弱校的学生可以采取教师给出一系列的问题，学生通过自学，在解决问题的过程中形成概念，获得知识；对于基础较好的学生，可以让他们自学，归纳总结，相互交流，在交流中完善自己的知识结构，值得注意的是对于书中的例题，涉