2019-2020学年三门峡市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】根据不等式的性质，对各选项逐个判断即可得出【详解】对A，若，当时，则，当时，则，所以A错误；对B，若，当时，则，当时，当时，则，所以B错误；对C，若，则，C正确；对D，若，当时，则，当时，则，所以D错误；故选：C【点睛】本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题2命题“若,则且”的否命题为( )A若,则且B若,则或C若,则且D若,则或【答案】D【解析】利用否命题的定义是条件、结论同时否定，将条件的“”变成“”，结论中的“”变成“”，但主要“且”的否定为“或”.【详解】因为命题的否命题是条件、结论同时否定，又因为的否定是；且的否定是则或；故选D.【点睛】该题考查的是有关写出给定命题的否命题的问题，属于简单题目.3“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：若双曲线方程为，则渐近线方程为；但若渐近线为，其双曲线方程不一定是，还有很多，比如：4已知函数，则的值为（）AB1CD0【答案】D【解析】求出的导函数，代入即得答案.【详解】根据题意，所以，故选D.【点睛】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.5设a2，b0，若a+b=3，则的最小值为（ ）.A2B3C4D5【答案】C【解析】根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）（a-2）+b=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1，则=（）（a-2）+b=2+（+），又由a2，b0，则+2=2，则=2+（+）4，即的最小值为4；当，即时，等号成立。故选：C【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对a+b=3的变形，属于基础题6设为正项等比数列的前项和，成等差数列，则的值为（ ）ABC16D17【答案】D【解析】设等比数列的公比为q，q0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值【详解】正项等比数列an的公比设为q，q0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3a5+a4，即6a1q2a1q4+a1q3，化为q2+q60，解得q2（3舍去），则1+q41+1617故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题7设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【详解】由约束条件，作出可行域如上图所示阴影部分，要使可行域存在，必有 ，可行域包括上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线的下方，故有 ，解得 ，选D.点睛：平面区域的最值问题是线性规划的一类重要题型，在解答本题时，关键是画好可行域，分析目标函数的几何意义，然后利用数形结合的思想，找出点的坐标，即可求出答案8已知函数的图象与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，令，则（ ）ABCD与的大小不确定【答案】C【解析】作出函数的图象与直线，由图可知，当直线与函数在上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到，以及，得，化简，即可得出答案【详解】作出函数的图象与直线，如图所示：当直线与函数在上的图象相切时，刚好有三个交点所以，即得，故故选：C【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题9设向量，其中，则下列判断错误的是（ ）A向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B的最大值为C与夹角的最大值为D的最大值为l【答案】B【解析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确【详解】解：由向量，其中，知：在A中，设z轴正方向的方向向量，向量与z轴正方向的夹角的余弦值：，向量与z轴正方向的夹角为定值45（与c，d之值无关），故A正确；在B中，且仅当ac，bd时取等号，因此的最大值为1，故B错误；在C中，由B可得：，与的夹角的最大值为，故C正确；在D中，adbc的最大值为1故D正确故选B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题10已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，由PFQ=120，则FPF=60，由正弦定理定理可知：PFF=30，PFF=90，则|FF|=|QF|，即2c=|QF|，2a=|PF|+|QF|=3|QF|，椭圆的离心率e=，故选：A【点睛】求解离心率的常用方法1.利用公式，直接求e.2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解3.通过取特殊位置或特殊点求解11已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】先将方程有四个不等的实数根转化为的图像与直线有4个交点；用导数的方法判断函数的单调性，作出函数图像，根据函数的图像，即可得出结果.【详解】方程有四个不等的实数根等价于的图像与直线有4个交点；（1）当时，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；（2）当时，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；由（1）（2）作出函数的图像与直线的图像如下：由图像易得.故选B【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，灵活运用数形结合的方法，熟记导数方法判定函数单调性即可，属于常考题型.12定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】依据题意可构造函数，利用其单调性即可比较出大小【详解】设，则，所以在上单调递减，可得，即，亦即；设，则，所以在上单调递增，可得，即，亦即综上，可得故选：B【点睛】本题主要考查函数的应用，以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是从题目条件构造出合适的函数，利用其单调性比较出大小，意在考查学生数学建模能力和数学运算能力，属于较难题二、填空题13函数取得极小值时的x值为_.【答案】【解析】根据函数的导数得其单调性，即可求出【详解】因为，令，解得或，当时，当时，当时，所以，当时，函数取得极小值故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题14设， 分别为曲线上不同的两点， ，若，且，则_【答案】8【解析】曲线，化简为 根据抛物线的定义得到 又因为，故 故答案为8.15数列中，则_.【答案】5【解析】依题意可得，所以根据累乘法和裂项相消法即可求出，进而求出【详解】由及得，即所以，即有， .即有，所以，故答案为：5【点睛】本题主要考查累乘法和裂项相消法的应用，意在考查学生的分析能力和数学运算能力，属于中档题16方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：在上单调递减；函数存在零点；函数的值域是R；若函数和的图象关于原点对称，则函数的图象就是确定的曲线其中所有正确的命题序号是_.【答案】【解析】根据绝对值的定义去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各区间上的表达式，由此作出图象，即可即可判断各命题的真假【详解】当且时，方程为，此时方程不成立；当且时，方程为，即，当且时，方程为，即，当且时，方程为，即，作出函数的图象，如图所示：对于，由图可知，函数在上单调递减，所以正确；对于，由得，因为双曲线和的渐近线为，所以函数的图象与直线无公共点，因此，函数不存在零点，所以错误；对于，由图可知，函数的值域是R，所以正确；对于，若函数和的图象关于原点对称，则用分别替换可得，即，则函数的图象是确定的曲线，而不是确定的曲线，所以错误综上，正确的为故答案为：【点睛】本题主要考查函数图象和性质的应用，函数零点的存在性问题的解法应用，涉及圆锥曲线的有关几何性质，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，以及数形结合和数学运算能力，属于较难题三、解答题17已知，命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆.（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题为真，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意可知，在成立，即，解出不等式即可求出；（2）先求出命题为真时对应的m的取值范围，再根据真值表可知，和为真，列出不等式组即可求出【详解】（1）命题p：对任意，不等式恒成立.若p真，可得在成立，由，则，可得；（2）椭圆焦点在x轴上，所以，为真，和为真由（1）知，为真，则，解得，.则实数m的取值范围是.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法应用，二次方程表示椭圆的条件应用，以及真值表的应用，意在考查学生的运算能力，属于基础题18已知函数（1）求函数的单调区间；（2）函数，若方程在上有解，求实数a的取值范围【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）【解析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.（2）利用导数，求得的单调区间和值域，根据在有解列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为， 令解得：，时，此时函数是减少的时，此时函数是增加的函数的增区间为，减区间为（2），则，由（1）知，在为增函数，在为增函数，即在有解，只需满足即实数a的取值范围为【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.19如图，在底面是正方形的四棱锥中，点在底面的射影恰是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）推导出，从而平面，由此能证明平面平面（2）取的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小【详解】（1）证明：依题意，得平面，又平面，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点，依题意，得，两两互相垂直，所以以，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，所以，则，.设是平面的法向量，则 令，则.设是平面的法向量，则 令，则， ，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知数列的前n项和为，且满足，数列中，对任意正整数，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列前n项和.【答案】（1）（2）存在， （3）（）【解析】（1）根据与的关系即可求出；（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出【详解】（1）因为，当时，；当时， 故；（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，对任意正整数，.可得，且，由假设可得，即，则，可得，可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；（3）由（2）可得，则，则前n项和当n为偶数时，当n为奇数时，则（）【点睛】本题主要考查与的关系的应用，等比数列定义的应用，以及分组求和法和分类讨论法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题21已知椭圆的左、右顶点分别为，上下顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为e.（1）若，设四边形的面积为，四边形的面积为，且，求椭圆C的方程；（2）若，设直线与椭圆C相交于P，Q两点，分别为线段，的中点，坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意可得，再结合，即可解出，得出椭圆C的方程；（2）联立直线和椭圆C的方程，可解得，再利用坐标原点O在以MN为直径的圆上，得到，且为矩形，因此，即可用表示出，然后根据离心率的范围求出的范围，即可根据二次函数的知识求出【详解】（1），由，可得，化为，联立，解得，椭圆C的方程为.（2）设，联立，可得，.由题意可知：，且为矩形，而，即，可得，.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，圆的几何知识的应用，以及二次函数有关性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题22已知函数.（）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围；（）若有两个极值点，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（）1；（）；（）【解析】分析：（1）先求一阶导函数，求参数的值（2）在定义域上为增函数，转化为恒成立，已知不等式的恒