函数的奇偶性和周期性.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是判断函数奇偶性，二是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2010年高考T5.3.了解函数周期性、最小正周期的含义.2.高考对周期性的考查主要是针对三角函数，一般函数不做要求.归纳 知识整合1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称探究1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，是否有f(0)0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个2周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期探究4.若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n0时，nT是f(x)的一个周期自测 牛刀小试1(教材习题改编)下列函数是奇函数的有_个f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)； f(x)x31.解析：首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，为奇函数答案：22(2012南京调研)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)，则f(4)的值是_解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(4)f(4)2.答案：23设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.答案：4(2012重庆高考)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析：f(x)x2(a4)x4a为二次函数，其图象的对称轴为x，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得a4.答案：45设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_解析：当x(0，)时，f(x)lg x，当x(0,1)时，f(x)0.又函数f(x)为奇函数，当x(1,0)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x) ；(2)f(x)；(3)f(x)(x1) .自主解答(1)由得x或x.函数f(x)的定义域为，又对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0.f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)2x2且x0.函数f(x)的定义域关于原点对称又x30，f(x).又f(x)，f(x)f(x)f(x)为奇函数(3)由得101x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，xf(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)答案：f(25)f(80)f(11)函数的周期性及其应用例3(1)(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)_.(2)(2012江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_自主解答(1)由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案(1)338(2)10函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4(1)(2012济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数若当x0,1)时，f(x)2x1，则f的值为_解析：3log62，1log620，即1log0的解集为_解析：f(x)为偶函数，0，xf(x)0，或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，x(0,2)或x(，2)答案：(，2)(0,2)5(2012临沂模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR都有f(x4)f(x)2f(2)，且f(1)2，则f(2 013)_.解析：在f(x4)f(x)2f(2)中，令x2，得f(2)f(2)2f(2)即f(2)f(2)2f(2)，故f(2)0.则f(x4)f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数又2 01345031，因此f(2 013)f(1)f(1)2.答案：26设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_解析：由于f(x)是偶函数，故当x0时，f(x)2x4，当x20，解得x0，解得x4.综上可知不等式解集为x|x4答案：x|x47(2012扬州调研)已知命题p1：函数yln(x)是奇函数，p2：函数yx为偶函数，则下列四个命题：p1p2；p1p2；(綈p1)p2；p1(綈p2)中是真命题的有_(填序号)解析：对于yln(x)，因为f(x)f(x)ln(x)ln(x)0，故此函数是奇函数，命题p1正确；因为yx的定义域为R，故此函数不是偶函数，命题p2错误，根据真值表可知为真命题答案：8(2012徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_解析：f(x)是奇函数，f(1)f(1)1.又f(x)的周期为3，f(1)f(2)1.即0，解得a0或a0)是奇函数，若f(x)的最小值为，且f(1)，则b的取值范围是_解析：显然函数f(x)的定义域为R.又函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，故c0，从而f(x)，由f(1)，a0，得b0.由f(x)，得当ax，即x 时，原函数有最值，从而，即ab2，于是，化简得2b25b20，解得b2.答案：10(2012南通二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|.给出下列不等式：ff(cos 1)；ff(sin 2)其中正确的是_(用序号表示)解析：当x1,1时，x43,5从而f(x)f(x4)2|x|，因sin f；因sin 1 cos 1，所以f(sin 1)f(cos 1)；因f；因|cos 2|f(sin 2)，综上所述，正确的是.答案：二、解答题(本大题共4小题，共60分)11(满分14分)判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)由得x1，f(x)0，又它的定义域关于原点对称，f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得x0，函数f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时， x0，f(x)x2x1，f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)；当x0，f(x)x2x1，f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)函数f(x)为偶函数12(满分14分)(2013盐城期中)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)x2对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)故f(x)为偶函数；当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)设2x1x2，f(x1)f(x2)xx x1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立，x1x20，即x1x2(x1x2)a恒成立又x1x24，x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，1613(满分16分)设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则1x0时f(x)x，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ)14(满分16分)(2011镇江调研)定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)f(x2k)(kZ)，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数；(3)当m取何值时，方程f(x)m在(0,1)上有解？解：(1)设1x0，则0x1，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)，x(1,0)又f(x)为奇函数，f(0)f(0)，从而f(0)0；又f(x)f(x2k)，kZ，f(1)f(1)而f(1)f(1)，从而f(1)0，且f(1)0.综上所述，f(x)(2)证明：设0x1x21，则f(x1)f(x2)，0x1x21.2x11,4x110,4x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 从而f(x)在(0,1)上是减函数(3)由(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减，要使方程f(x)m在(0,1)上有解，需m，故m.1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)时，f(x)x21，则f(7)的值为_解析：f(7)f(3)f(1)f(1)(121)2.答案：22若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)等于_解析：f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)ex.又f(x)g(x)ex，g(x).答案：(exex)3已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为_解析：f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，当0x2时，f(x)0有两个根，即x1