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极限的概念 2 1极限概念 limit 极限概念是微积分的基本概念 也是微积分学研究的基本工具 后面将要介绍的函数的连续性 导数 积分等重要概念 都是以极限为基础的 极限是研究函数的一种重要的方法 极限是描述变量在某个变化过程中的变化趋势 2 1极限概念 limit 简单说 现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势 2 1极限的概念 2 1极限的概念 古代极限思想 庄周所著的 庄子 一书的 天下篇 中 记有 一尺之棰 日取其半 万世不竭 2 1极限的概念 三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时 提到 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆周和体而无所失矣 圆内接正六边形 圆内接正十二边形 圆内接下24边形 边长越多 正多边形的周长越接近圆的周长 古代极限应用 2 1 1数列的极限 limitofsequence 数列的定义 数列按照一定规律有次序排列的一串数简记 数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 f n n 1 2 称为数列的通项或一般项 例如 记作 记作 记作 数列的极限 考察当n 时 通项xn的变化趋势 数列极限的实质 随着项数n的变化 通项xn的变化趋势 也就是 例如 趋势不定 数列 的极限定义 则称常数 为该数列的极限 记作 或 lim来自于英文单词 limit 极限 给定一个数列如果当项数n无限增大时 xn无限趋近于某个固定的常数A 常数0称为此数列的极限 记作 例 0 极限不存在 例 收敛 发散 如果一个数列的极限存在 则称该数列是收敛 converge 如果一个数列的极限不存在 则称该数列是发散 diverge 1 课堂练习 判别下列数列是否收敛 1 数列收敛 函数值随着自变量x的变化而变化 2 1 2函数的极限 limitoffunction 研究函数的极限 就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的函数值的变化趋势 二 自变量趋于有限值时函数的极限 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 变化趋势 变化趋势 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 时 函数f x 的极限 变化趋势 1 时 函数f x 的极限 例 y y f x 0 0 y X 0 y f x 0 y f x 0 时 函数f x 的极限 定义2 2 设函数 如果当X无限增大时 函数无限趋近于某个固定的常数A 则称当X趋于正无穷时 f x 以A为极限 1 时 函数f x 的极限 记为 定义2 2 设函数 如果当X 0 而 X 无限增大时 函数无限趋近于某个固定的常数A 则称当X趋于负无穷时 f x 以A为极限 2 时 函数f x 的极限 记为 定义2 2 设函数 如果自变量X可取正值也可取负值 X的绝对值无限增大时 函数无限趋近于某个固定的常数A 则称当X趋于无穷时 f x 以A为极限 3 时 函数f x 的极限 记为 例 不存在 0 正弦函数 不存在 例7讨论当时 函数 二 自变量趋于有限值时函数的极限 的变化趋势 f x 变化趋势 为有限值 1 x 2 f x 4 22 例8 x 1 f x 2 讨论函数 x 1 函数值的变化趋势 定义2 3 设函数y f x 在点x0的邻域内 点x0可以除外 有定义 如果当自变量x无限趋近于x0 但x x0 时 函数f x 无限趋近于某个固定常数A 则称当x趋于x0时 函数以A为极限 记作 函数极限定义 上例可记作 函数极限定义的注意点 1 邻域内有定义 x x0 不存在 2 x无限趋近于x0 例 0 图象 例 课后思考 函数极限存在的充分必要条件 不存在 X从右测接近于0 y X从左测接近于0 y 根据定义可以证明 以下的极限均成立 C 数列的极限 给定一个数列如果当项数n无限增大时 xn无限趋近于某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限 数列的极限 记作 或 给定一个数列如果当项数n无限增大时 xn无限趋近于某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限 设函数y f x 在点x0的邻域内 点x0可以除外 有定义 如果当自变量x无限趋近于x0 但x x0 时 函数f x 无限趋近于某个固定常数A 则称当x趋于x0时 函数以A为极限 二 函数y f x 的极限 记作 小结 思考练习题 2 已知函数 讨论 是否存在 1 求下列极限的值 3 单侧极限 左极限与右极限 左极限 如果当从 的左侧无限趋近 时 记着 函数f x 无限趋近于一个确定的常数A 则称A为函数f x 当 时的左极限 记作 类似可定义右极限 函数的左极限和右极限统称为单侧极限 对数函数 例如 定理1 1 当时 函数极限存在的充要条件是左 右极限存在且相等 即 例6 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 利用定理 因为 显然 所以 不存在 例7问a为何值时 所给函数x 2处极限存在 解 左极限 右极限 欲函数在x 2处极限存在 必须左极限 等于右极限 即a 8 思考 1 研究函数极限时 是否要考虑f x 在x x0时的性态 为什么 2 若f x0 0 和f x0 0 都存在 当x趋于x0时 f x 的极限存在吗 3 如何利用f x0 0 和f x0 0 来判断当x趋于x0时 f x 的极限不存在 4 若极限