2017年暑期初升高衔接.docx

第一讲不等式的解法一元二次不等式的解法及高次不等式的解法一：知识梳理1.因式分解：把一个多项式化成几个整式相乘的形式叫做因式分解2.分解因式常用的办法：提公因式法公式法分组分解法十字相乘法添项，拆项等典型例题【例1】把下列各式分解因式 【变式训练】 3一元二次不等式的概念(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的 的不等式，称为一元二次不等式(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式 或 (其中a0)（3）二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根数根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集一元二次不等式的解法【例2】求下列一元二次不等式的解集(1)x25x6； (2)4x24x10； (3)x27x6.【变式训练】解下列不等式(1)2x2x60； (2)x23x50； (3)(5x)(x1)0.解题步骤【例3】已知不等式的解为或者求不等式的解【变式训练】已知函数，当时，当或者时求不等式的解3.分式不等式的解法（1）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式（2）将分式不等式转化为整式不等式求解如： 典型例题【例3】解不等式. 【变式训练】解下列不等式(1)0； (2)1. (3)0； (4)1； (5)0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0 （2）(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)0 （3）.【变式训练】5.一元二次不等式恒成立问题与存在性问题f(x)ax2bxc为二次函数若f(x)0恒成立，则： 若f(x)m恒成立，则： 若f(x)m恒成立，则【例5】设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【例6】解关于x的不等式：x2(1a)xa0.【变式训练】当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集是()A. B(1，) C(，1)(2，) D.(1，)2.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是()A1 B2 C3 D43.不等式x2x20的解_4. 若不等式(a2)x22(a2)x40的解集为全体实数，求实数a的取值范围_5一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集为()Ax|x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|1x26. 若0t1，则不等式(xt)0的解集为()A. B. C. D.7. 不等式2的解集为()Ax|x2 B全体实数 C Dx|x28.不等式1x22x12的解集是_9.若关于x的不等式x23xt0的解集为x|1xm，xR，则tm_.能力提升题组（一）1.若不等式mx22mx42x24x的解为全体实数，则实数m的取值范围是()A(2,2) B(2,2 C(，2)2，) D(，2)2.已知x1是不等式k2x26kx80的解，则k的取值范围是_3.若不等式ax2bxc0的解集为，求关于x的不等式cx2bxa0.第二讲一元二次方程中的根的分布问题一：设一元二次方程，其中，如果方程有实根，设为，则：1 若方程两根同号； 2.若方程两根异号 ；3.若方程两根为正； 4.若方程两根为负；来源:学&科&网Z&X&X&K5.若方程两根异号，且正根的绝对值较大；6.若方程两根异号，且负根的绝对值较大；7.若方程只有一个正根 ，或；8.若方程只有一个负根 ，或；9.若方程实根中没有正根；10若方程实根中没有负根；11若方程两根都比大；12若方程两根都比小；13若方程的一个根小于且另一个大于；来源:Zxxk.Com14若方程在区间内只有一个实根典型例题【例1】当实数取何值时，方程（1）两根同号？ （2）两根异号？（3）两根为正？ （4）两根为负？（5）两根异号，且正根的绝对值较大？ （6）两根异号，且负根的绝对值较大？（7）只有一个正根？ （8）只有一个负根？（9）实根中没有正根？ （10）实根中没有负根？（11）实根中至多有一个正根？ （12）实根中至多有一个负根？二、结合图形理解一元二次方程的根的分布问题.Com来源:学*科*网Z*X*X*K典型例题1.若关于x的二次方程，求实数p 的取值范围。变式训练1.关于x的方程方程有两个正根 方程有两个负根 一根大于1，一根小于1 两根都大于1 一正根，一负根源:Z例2 若方程有两个实根且求的取值范围第三讲：集合的含义和表示一 、知识链接1在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合2在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合3解不等式2x13得x2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集4一元二次方程x23x20的解是x1，x2.二、知识点梳理：1元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A3.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR4列举法表示集合把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法5描述法表示集合(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征典例分析一、集合概念的考察【探究】集合的实质是什么？集合的概念。例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)的近似值的全体跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生规律方法：判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合二、集合与元素的关系的考察【探究】元素与集合的关系例2.所给下列关系正确的个数是()R；Q；0N*；|3|N*.A1 B2 C3 D4跟踪演练2设不等式32x0的解集为M，下列关系中正确的是()A0M,2M B0M,2M C0M,2M D0M,2M规律方法1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“aA”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立2符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系3“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合三、集合中元素的特性及应用（集合中元素的特征）例3已知集合B含有两个元素a3和2a1，若3B，试求实数a的值来源:学.科.网来源:学_科_网Z_X_X_K跟踪演练3(2014苏州高一检测)已知集合Aa1，a21，若0A，则实数a的值为_当堂检测一：1下列能构成集合的是()A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼2集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()A0A BaA CaA DaA3设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_A；广州_A(填或)4已知R；Q；0N；Q；3Z.正确的个数为_5已知1a2，a，则a_.6.已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且MN.求a，b的值四：集合表示的列举法的考察例4.用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合跟踪演练4用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数yx1与yx的图象交点组成的集合规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法应用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复五：用描述法表示集合例5用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合跟踪演练5用描述法表示下列集合：(1)所有被5整除的数；(2)方程6x25x10的实数解集；(3)集合2，1,0,1,2规律方法用描述法表示集合时应注意：“竖线”前面的xR可简记为x；“竖线”不可省略；p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；同一个集合，描述法表示可以不唯一六：列举法与描述法的综合运用例6集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.跟踪演练6把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合跟踪演练7下面三个集合：Ax|yx21；By|yx21；C(x，y)|yx21问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？当堂检测：1集合xN*|x32用列举法可表示为()A0,1,2,3,4 B1, 2,3,4 C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,52已知集合AxN|x，则有()A1A B0A CA D2A3用描述法表示方程xx3的解集为_4已知xN，则方程x2x20的解集用列举法可表示为_5用适当的方法表示下列集合(1)方程x(x22x1)0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x26的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合总结1表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合2在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑家庭作业：一、基础达标1有下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点O的距离等于1的点的全体；直角三角形的全体其中能构成集合的个数是()A2 B3 C4 D52.(2014长沙高一检测)若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则此三角形一定不是A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形3下列关系式中，正确的是()A2,33,2B(a，b)(b，a)Cx|yx21y|yx1Dy|yx21x|yx14.方程组的解集是()Ax1，y1 B1 C(1,1) D(1,1)5.集合Ay|yx21，集合B(x，y)|yx21(A，B中xR，yR)选项中元素与集合的关系都正确的是()A2A，且2B B(1,2)A，且(1,2)B C2A，且(3,10)B D(3,10)A，且2B6.已知x，y为非零实数，则集合M为()A0,3 B1,3 C1,3 D1，37.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为_C8.设a，bR，集合A中有三个元素1，ab，a，集合B中含有三个元素0，b，且AB，则ab_.能力提升题组9.设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集10.已知集合Ax|ax23x40，xR：(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围第四讲：集合间的基本关系知识链接1已知任意两个实数a，b，如果满足ab，ba，则它们的大小关系是ab.2若实数x满足x1，如何在数轴上表示呢？ x1时呢？3方程ax2(a1)x10的根一定有两个吗？知识点梳理1Venn图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法(2)适用范围：元素个数较少的集合(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部2子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集AB(或BA)3.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果AB且BA，就说集合A与B相等AB真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是B的真子集AB(或BA)4.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集5子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.典型例题：一：有限集子集确定问题例1：写出集合A1,2,3的所有子集和真子集跟踪演练1已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集合M及其个数规律方法1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身2一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个二、集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)Ax|1x4，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*跟踪演练2集合Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合A和B的关系三、由集合间的关系求参数范围问题例3已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA.求实数m的取值范围跟踪演练3已知集合Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若AB，求a的取值范围；(2)若BA，求a的取值范围规律方法1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误2涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用当堂检测1集合Ax|0x3，xN的真子集的个数为()A4 B7 C8 D162设集合Mx|x2，则下列选项正确的是()A0M B0M CM D0M3已知M1,0,1，Nx|x2x0，则能表示M，N之间关系的Venn图是()4已知集合A2,9，集合B1m,9，且AB，则实数m_.5已知x|x2xa0，则实数a的取值范围是_1对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集易错点梳理：以正确区分各种符号的含义元素与集合、集合与集合之间的关系家庭作业：1下列命题中，正确的有()空集是任何集合的真子集；若AB，BC，则AC；任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；如果不属于B的元素也不属于A，则AB.A B C D2已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6 B5 C4 D33设集合Px|yx2，Q(x，y)|yx2，则P与Q的关系是()APQ BPQ CPQ D以上都不对3设集合Px|yx2，Q(x，y)|yx2，则P与Q的关系是()APQ BPQ CPQ D以上都不对4.已知集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，则实数a满足()Aa4 Ba4 Ca4 Da45(2013江苏高考)集合1,0,1共有_个子集6设集合Mx|2x25x30，Nx|mx1，若NM，则实数m的取值集合为_7已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集8已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是()A1 B1 C0,1 D1,0,19.已知集合A，B，则()AAB BBA CAB DA与B关系不确定10设集合A1,3，a，B1，a2a1，且AB，则实数a的值为_11已有集合Ax|x24x30，Bx|mx30，且BA，求实数m的集合12.已知集合Ax|x1，或x4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围13.若集合Ax|x2x60，Bx|x2xa0，且BA，求实数a的取值范围第五讲集合的基本运算一、知识链接：下列说法中，不正确的有_：集合A1,2,3，集合B3,4,5，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为1,2,3,3,4,5；通知班长或团支书到政教处开会时，班长和团支书可以同时参加；集合A1,2,3，集合B3,4,5，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为3知识点梳理：1并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)ABx|xA，或xB交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)ABx|xA，且xB2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABA3全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.4补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作U A符号语言U Ax|xU，且xA图形语言5.补集的性质UU，UU，U(U A)A.题型一集合并集的简单运算例1(1)设集合M4,5,6,8，集合N3,5,7,8，那么MN等于()A3,4,5,6,7,8 B5,8 C3,5,7,8 D4,5,6,8(2)已知集合Px|x3，Qx|1x4，那么PQ()Ax|1x3 Bx|1x4 Cx|x4 Dx|x1跟踪演练1(1)已知集合Ax|(x1)(x2)0；Bx|(x2)(x3)0，则集合AB是()A1,2,3 B1，2,3 C1，2,3 D1，2，3(2)若集合Mx|3x5，Nx|x5，或x5，则MN_.规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示题型二集合交集的简单运算例2(1)已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB等于()A2 B4 C0,2,4,6,8,16 D2,4(2)设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB等于()Ax|0x2 Bx|1x2 Cx|0x4 Dx|1x4跟踪演练2已知集合Ax|1x3，Bx|x0，或x，求AB，AB.规律方法1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似2当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合题型三 已知集合交集、并集求参数例3已知Ax|2axa3，Bx|x1，或x5，若AB，求实数a的取值范围跟踪演练3设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围规律方法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结2建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到最好是把端点值代入题目验证当堂检测1若集合A0,1,2,3，B1,2,4，则集合AB 等于()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C1,2 D02.设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为A2 B3 C3,2 D2,33集合PxZ|0x3，MxR|x29，则PM等于()A1,2 B0,1,2 Cx|0x3 Dx|0x34(2013课标全国改编)已知集合Ax|x2，或x0，Bx|x，则()AAB BABR CBA DAB5(2014深圳高一检测)设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_题型四简单的补集运算例4(1)(2013大纲全国)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则U A()A1,2 B3,4,5 C1,2,3,4,5 D(2)若全集UR，集合Ax|x1，则U A_.跟踪演练4已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则U A_.规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解2解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(U A)U.题型五交、并、补的综合运算例5(1)(2013山东高考)已知集合A、B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB()A3 B4 C3,4 D(2)(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T()Ax|2x1 Bx|x4 Cx|x1 Dx|x1跟踪演练5设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算2当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解题型六补集的综合应用例6已知全集UR，集合Ax|x1，Bx|2axa3，且BR A，求a的取值范围跟踪演练6已知集合Ax|xa，Bx1，或x0，若A(RB)，求实数a的取值范围当堂检测1若全集M1,2,3,4,5，N2,4，则MN()A B1,3,5 C2,4 D1,2,3,4,52(2013湖北高考)已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则BUA()A2 B3,4 C1,4,5 D2,3,4,53(2014驻马店高一期终)已知M0,1,2,3,4，N1,3,5，PM N，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个4已知全集UZ，集合A0,1，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A1,2 B1,0 C0,1 D1,25若全集UR，集合Ax|x1x|x0，则UA_.含参问题小专题1.(2014淮北高一检测)设Ax|3x3，By|yx2t若AB，则实数t的取值范围是At3 Bt3 Ct3 Dt32.已知集合Ax|1x