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第一章机械振动系统的振动 声与振动基础 主要内容 1 1单自由度机械振动系统的自由振动1 2单自由度机械振动系统的强迫振动1 3任意时间函数的力对机械振动系统的作用1 4机电类比1 5两个自由度耦合系统的自由振动 概论 1 绝大部分声音来自结构振动 概论 2 振动与声波 soundwaves 声波是传声介质质点运动状态的传递 机械振动 质点围绕其平衡位置进行的往返运动 概论 机械振动系统 至少应有下面两个要素 1 惯性 质量 2 质量受到恢复力作用 恢复力 总是指向平衡位置的力 概论 机械振动系统分类 集中参数系统 分布参数系统 集中参数系统 把机械振动系统中的物体视为只有质量或只有弹性的元件 分布参数系统 振动系统中的每一部分都有质量 弹性 消耗能量的性质 弹簧振子 振动着的鼓膜 概论 概论 单自由度系统两自由度系统多自由度系统 自由度 描述集中参数系统振动过程所用的独立变量 1 1 单自由度机械系统的自由振动 一 无阻尼自由振动二 阻尼自由振动 一 无阻尼自由振动 1 振动方程2 振动的一般规律3 振动的速度和加速度4 振动的能量 振动系统元件 钢球 质量元件 质量m弹簧 弹性元件 弹性系数D 1 振动方程 无阻尼自由振动 虎克定律 弹性力与弹簧两端的相对位移大小成正比 而力的方向和位移的方向相反 弹簧在弹性限度内 1 振动方程 无阻尼自由振动 弹性系数 在数值上等于弹簧产生单位长度变化所需作用力的大小 柔顺系数 表示弹簧在单位力作用下能产生的位移的大小 1 振动方程 无阻尼自由振动 牛顿第二定律 1 振动方程 无阻尼自由振动 1 振动方程 根据弹力与牛顿力平衡原理 得出m运动的微分方程 令 振动圆频率 角频率 无阻尼自由振动 运动方程写为 求解这个齐次二阶常微分方程可以得到自由振动的一般解 1 振动方程 无阻尼自由振动 特征方程 得到所以 方程的解为 其中 为复常数 决定于初始条件 而 由系统参数 m D 决定 与初始条件无关 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 式中 为两个待定常数 由运动的初始条件来确定 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 如果 关于的初始条件为实数 则的另一种表示 数学基础 无阻尼自由振动 2 振动的一般规律 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 令 表示为 其中 C1 C2 或A 由初条件确定 无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动 所谓简谐振动 谐合振动 是指正弦或余弦振动 结论 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 此振动的周期为 单位sec此振动的频率为 单位1 s 称作赫兹 记Hz称作角频率 单位为 弧度 秒 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 为系统的固有角频率 系统的固有频率仅由系统参数决定 与初始条件无关 定义 固有频率 naturalfrequency 振动系统自由振动时的频率为该系统的固有频率 记 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 初始条件解得 由初始条件决定 2 振动的一般规律 无阻尼自由振动 2 振动的一般规律 得到特解 无阻尼自由振动 第一项表示由初始位移引起的振动位移 第二项表示由初始振速引起的振动位移 二者振动相位差为 2 振动的一般规律 令 无阻尼自由振动 无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动 无论怎样的初始激发条件 系统的振动频率始终等于固有频率 小振幅振动 固有频率决定于系统的参数 由初始位移引起的振动位移和由初始振速引起的振动位移的相位相差 2 振动的一般规律 总结 无阻尼自由振动 3 振动速度 加速度 无阻尼自由振动 已知位移 3 振动速度 加速度 质点m作自由振动时 位移为瞬时速度瞬时加速度 无阻尼自由振动 位移 速度 加速度的区别与联系 3 振动速度 加速度 无阻尼自由振动 相位关系 速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比速度的相位超前加速度和位移恰好反相 3 振动速度 加速度 位移 速度 加速度的区别与联系 无阻尼自由振动 幅度关系位移振幅振速振幅加速度振幅 位移 速度 加速度的区别与联系 3 振动速度 加速度 无阻尼自由振动 对于谐合振动 可以引入复数表示 若则称 为的复数形式 前面的谐合位移 振速 加速度的可用复数形式表示 3 振动速度 加速度 3 振动速度 加速度 无阻尼自由振动 复数位移 复数振速 复数加速度 用复平面上旋转复矢量表示谐合振动 前面的谐合位移 振速 加速度在复平面上的旋转矢量表示 3 振动速度 加速度 4 振动的能量 无阻尼自由振动 系统不受外力作用 为能量守恒系统 它决定于初始激发时所给予的能量 但在系统内 能量会转换 动能和势能的转换 振动质量的动能 kineticenergy 4 振动的能量 无阻尼自由振动 弹簧形变的势能 potentialenergy 决定于弹簧形变过程只能够得到的形变能 也等于m运动时克服弹性力所作的功 4 振动的能量 振动系统的总机械能 mechanicalenergy 4 振动的能量 无阻尼自由振动 自由振动系统的能量关系 4 振动的能量 无阻尼自由振动 无阻尼系统的自由振动过程中 系统总能量不变 无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与弹簧上的势能相互循环转化的过程 总结 4 振动的能量 二 阻尼自由振动 1 阻尼振动方程2 阻尼振动的一般规律3 阻尼振动的能量4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 机械振动系统的振动若有阻力作用 则为阻尼振动系统 受阻力的作用 系统能量损耗 质量振速幅度减小 以致于振动停止 系统在振动时始终会受到阻尼力 damping 的作用 任何一个实际机械振动系统都是阻尼振动系统 1 阻尼振动方程 阻尼自由振动 声学上最简单的阻尼模型是牛顿阻尼 粘滞阻尼 即 阻力与元件的振动速度成正比 称为阻力系数或力阻 1 阻尼振动方程 阻尼自由振动 1 阻尼振动方程 阻尼自由振动 定义为阻尼系数 阻尼振动方程是常系数的二阶齐次微分方程 其一般解为 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 其中是特征方程的两个根 由此得 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 1 大阻尼振动 阻力很大时则为实数 并且 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 讨论 因为 其中每一项按指数规律衰减 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 初始条件不同时 位移的变化规律不同 讨论 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 初始振速方向向下 讨论 大阻尼振动 初始条件 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 初始振速为零 讨论 大阻尼振动 初始条件 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 初始振速方向向上 讨论 大阻尼振动 初始条件 结论 大阻尼时 系统不会振动 2 阻尼振动的一般规律 2 小阻尼振动 阻力不大时 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 讨论 则 其中 将带入 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 得 写成三角函数式 讨论 上式还可写成其中 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 表示振幅随时间衰减的振动 讨论 由系统参数决定 由初始条件决定 令 显然 并不是周期的 更谈不上是简谐的 但一般 当时 极小阻尼情况下 称为振幅随时间衰减的谐合 简谐 振动 尽管为非周期的 但过0点间隔是一样的 2 阻尼振动的一般规律 阻尼自由振动 讨论 结论 极小阻尼条件下 阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动 阻尼自由振动 2 阻尼振动的一般规律 结论 大阻尼时 系统不会振动 3 阻尼振动系统的能量 阻尼自由振动 小阻尼单自由度条件下 振动系统的固有频率为 而在极小阻尼条件下 固有频率近似为 所以 有 任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和 即 阻尼自由振动 3 阻尼振动系统的能量 位移 振速 记 则 阻尼自由振动 3 阻尼振动系统的能量 阻尼振动系统中总能量是随时间变化的 即使在一个周期内也是有起伏的 阻尼自由振动 取整个周期内能量的平均 得 式中 3 阻尼振动系统的能量 阻尼自由振动 3 阻尼振动系统的能量 阻尼振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减 阻力系数 最先引入阻力与速度成线性关系 粘滞阻尼 力 速度 MKS制中其单位 kgs 1 力欧姆 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 阻尼系数 解方程时引入的 分析其物理意义 在时 振子自由振动 所以 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 小阻尼单自由度振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的谐合振动 是其振幅 在M K S制中 单位 可见的物理意义为 小阻尼单自由度振动系统自由振动时 在单位时间内振幅相对变化量的自然对数值 愈大 即阻力愈大 振幅的衰减愈快 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 对数衰减量 一个周期内振幅的对数衰减 阻尼自由振动 所以 因为 阻尼振子自由振动的振幅在一个周期内相对变化量的自然对数值为阻尼振子的对数衰减量 对数衰减量无量纲 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 衰减模数定义 阻尼振子自由振动 振幅衰减到原来倍时所需的时间 称作阻尼振子的衰减模数 记 在M K S制中 单位 Sec 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 品质因数 定义为振幅衰减到初始值的所经过的周期数为品质因数 即所以因为所以 阻尼自由振动 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼振子的平均能量为 一个周期内损失的能量为 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 由系统的Rm m D决定 反映了系统的性质 是系统参数 分析的物理意义 损失能量的相对值 Qm值反比于阻尼振子自由振动时一个周期内振动能量损失的相对值 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼自由振动 品质因数是表征系统特性的常数 其数值反映了系统所受阻尼作用的大小 阻尼自由振动 4 阻尼振动系统中的阻尼量的描述 阻尼作用愈大 品质因数愈低 振动衰减愈快 阻尼自由振动 阻尼振动的衰减规律 实线描述质点位移随时间t变化的总规律 其振幅每隔一个周期都有一定降低 虚线描述了振幅衰减规律 重点提示 实际系统一般都是衰减系统 其原因在于系统中的阻尼力 衰减振动方程为二阶常微分方程 大阻尼时 系统不会振动 极小阻尼条件下 阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动 振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减 阻尼自由振动 2 22 32 42 15 选做 课后作业 1 2单自由度机械振动系统的强迫振动 声与振动基础 内容提要 一 强迫振动方程及其解1 无阻尼系统的强迫振动2 有阻尼系统的强迫振动二 强迫振动的过渡过程三 强迫振动的稳态振动1 机械阻抗2 频率特性3 激励力对振动系统的输入功率 一 强迫振动方程及其解 一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持 它要渐渐衰减到停止 因此要使振动持续不停 就要不断从外部获得能量 外力作用下的振动 强迫振动 受迫振动 forcedvibration 无阻尼强迫振动示意图 谐合函数 正弦 余弦函数 1 无阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 质量元件m受两个作用力 弹性力 外加推力F 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 运动方程式 用复数表示 则运动方程化为 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程 其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和 通解 一般解 特解 其中 为方程 所对应的齐次方程的解 通解 为方程 的特解 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 据前 方程 的通解为 1 1节已解出 其中 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 设方程 特解的一般形式为 一 强迫振动方程及其解 特解含义 按外力的振动规律而变 其振动频率等于外力的频率 1 无阻尼系统的强迫振动 带入强迫振动方程 得 所以方程的解为 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 所以 实际位移为 式中的和由初条件决定 第一项 自由振动分量第二项 强迫振动分量 结论 无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个简谐振动的迭加 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 求得 带入上式得 取零初始条件 零初始条件的振动位移三角变换 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 时 拍 现象不明显 时 拍 现象明显 形成 拍 振动 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 无阻尼系统的拍频振动规律 振动频率近似等于 振幅 作慢周期变化 拍周期 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 当 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 特例 当时 振子振幅逐渐 共振 实际上 由于阻的存在 自由振动随时间增加会逐渐消失 振动仅有强迫振动项 而达到稳态振动 结论 无阻尼振子在谐和力激励两个简谐振动的合振动 一个是自由振动 另一个是强迫振动 形成拍频振动 由于无阻尼 所以自由振动总也不消失 一 强迫振动方程及其解 1 无阻尼系统的强迫振动 有阻尼时 运动方程 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 复数表示 外力为谐和力 运动方程 其解 为齐次方程的解 已在前面解出 此解数学上称为 通解 物理中称为 暂态解 其中 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 系统的固有频率 决定于系统本身的参数由系统的初始条件确定 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 当时 设特解代入到运动方程得到 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 此解数学上称为 特解 物理中称为 稳态解 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 令 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 则 外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比 并和外力频率有关 其中 由初始条件决定 由系统参数决定 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 结论 阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量的位移由两个函数组成 第一项为暂态分量 振动角频率为 表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量 振幅随时间衰减 第二项为稳态分量 振动频率等于外力的频率 表示外力产生的强制振动分量 是振幅不变的简谐振动 随时间的增加 前者对位移的影响趋于0 后者成为描述振子运动的函数 稳态解 2 有阻尼系统的强迫振动 一 强迫振动方程及其解 对解的进一步分析 1 强迫振动的过渡过程 暂态解 阻尼振子受迫振动 总是经过一段时间后达到稳定 一般说 振子受力激励后到达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程 从数学上讲就是暂态解幅值减小到0的过程 二 强迫振动的过渡过程 几种典型情况外力作用下 振动过渡过程的形式不同 零初始条件 从最简单的情况入手分析之 设振动系统开始时完全处于静止状态且外加谐和力的频率等于系统的固有频率 则 二 强迫振动的过渡过程 二 强迫振动的过渡过程 得 带入零初始条件得 振动位移的过渡过程 二 强迫振动的过渡过程 所以 系统过渡时间 稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间 显然 此振动振幅达到稳定的过程 由系数决定 一般 认为振幅到稳定值的95 时 就达到了稳态 二 强迫振动的过渡过程 定义 为系统的过渡时间 单位 秒 Sec 值与的关系 大 大 达到稳态需要时间长 阻小 二 强迫振动的过渡过程 外力频率接近而又不等于谐振频率 则在过渡过程期间 暂态成分和稳态成分迭加表现出拍现象 随时间的增加 拍越来越不明显 直到消失 二 强迫振动的过渡过程 正弦脉冲填充的作用周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用 且填充正弦信号频率设脉冲正弦作用力的持续时间为 当力加到系统上以后 振动的振幅按曲线随时间增长 而脉冲结束后 系统振动按自由振动规律指数衰减 因此振动的位移和力的时间波形不同 并且 不同时 脉冲波形的畸变不同 二 强迫振动的过渡过程 大阻尼中阻尼小阻尼 二 强迫振动的过渡过程 图1 Qm 1 7 低 图2 Qm 5 中 图3 Qm 15 高 三 质点的稳态振动 振子受迫振动 经过一段时间后 暂态解影响0 只有稳态解 所以下面分析稳态解 实际工程中 主要关心的是稳态解 系统振动达到稳态时位移 振速 其中 三 质点的稳态振动 定义 机械阻抗 机械振动系统在谐合激励力作用下产生稳定的同频率谐合振速 若用复数力表示谐合激励力 用复数振速表示同频率振速 则复数力与复数振速之比为该系统在该频率下的机械阻抗 记为 或 1 机械阻抗 三 质点的稳态振动 机械阻 机械抗 MKS制中其单位 kgs 1 力欧姆 1 机械阻抗 三 质点的稳态振动 据定义 前例的机械系统的机械阻抗为 1 机械阻抗 物理意义 机械阻抗的绝对值等于产生单位振速幅值所需力的大小 三 质点的稳态振动 机械振动系统在简谐力作用下振动 改变激励信号的频率 并保持简谐激励信号的幅值不变 初相位为0 得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线 得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线 二者称作该响应的频率特性曲线 幅频特性曲线和相频特性曲线 统称作该响应的频率特性曲线 三 质点的稳态振动 2 频率特性曲线 前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 位移的频响曲线 位移的相频曲线 位移的幅频曲线 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 振速的频响曲线 振速的幅频曲线 振速的相频曲线 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 加速度的频响曲线 加速度的幅频曲线 加速度的相频曲线 2 频率特性曲线 三 质点的稳态振动 瞬时功率 3 激励力对振动系统的输入功率 三 质点的稳态振动 激励力对振动系统输入的瞬时功率 系统的振动达到稳态时 激励力对振动系统的输入功率等于系统阻尼的消耗功率 机械功率 3 激励力对振动系统的输入功率 三 质点的稳态振动 一个周期内激励力对振动系统输入的平均功率 平均功率与激励力频率关系 3 激励力对振动系统的输入功率 三 质点的稳态振动 最大输入功率对应的激励力频率 3 激励力对振动系统的输入功率 三 质点的稳态振动 半功率点频带宽度 平均功率下降到最大功率的1 2所对应的频带宽度 3 激励力对振动系统的输入功率 三 质点的稳态振动 因为 所以 半功率点频带宽 3 激励力对振动系统的输入功率 半功率点频带宽度 三 质点的稳态振动 1 共振频率定义 机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动 若响应随激励力频率的变化出现极大值 则称 系统的该响应发生了共振 此时的频率叫系统该响应的共振频率 一般上 同一系统不同的响应有不同的共振频率 例如 位移共振频率 速度共振频率 加速度共振频率 等 4 振动系统的几个与 频率 有关的概念 三 质点的稳态振动 2 谐振频率机械振动系统在谐合激励力作用下发生振动 达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输入能量 对系统作正功 则称此时系统发生了谐振 发生谐振时的频率称作系统谐振频率 4 振动系统的几个与 频率 有关的概念 三 质点的稳态振动 3 固有频率机械振动系统无外力作用下自由振动的频率称作系统的固有频率 由振动系统自由振动微分方程的特征值方程可得固有频率 4 振动系统的几个与 频率 有关的概念 三 质点的稳态振动 激励力频率等于谐振频率时 激励力与激励点处的振速同相位 并且 激励力对振动系统的输入功率最大 课后作业 2 312 322 38 选做 1 3任意时间函数的力对机械振动系统的作用 声学与振动基础 内容提要 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用二 非周期力作用下单自由度振子的振动 为周期力 运动方程 由于方程是线性的 所以和可以看作是一个线性系统的输出和输入 激励和响应 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 根据线性系统的迭加原理 若是的响应 是的响应 则的响应是对于线性系统 若激励是频率为的简谐函数 则响应也必是频率为的简谐函数 在中并不会有其它频率分量 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 由此可知求周期力激励下系统响应的方法为 1 把表示傅立叶级数形式 2 取 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 3 令 是激励下的位移响应 则 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 若 则 其特解 稳态解 为 其中 振动系统的机械阻抗 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 所以 4 由线性系统的迭加定理 可知 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 综上 此方法过程 1 周期力f t 分解成简谐力的迭加 2 求出每个简谐力的响应 3 再将各简谐力的响应迭加 得到周期力f t 作用下机械系统的响应 此方法的条件 方程是线性的 并且 在这里没有考虑暂态解 一 任意周期函数的力对机械振动系统的作用 为任意函数力 运动方程 若为 0 初值问题 则有 一 非周期力作用下单自由度振子的振动 对方程两侧取傅立叶变换 记 分别为和的傅立叶变换 有 0 初值问题 所以 对于这个的积分可利用 留数定理 来做 上式中后一项是由系统参数决定的项 对应于暂态解 随时间增加 逐渐消失 前一项是由激励力函数的富氏变换函数的奇点决定的项 对应于稳态解 傅立叶变换的方法并不是唯一解决此类问题 求任意力激励的响应 的方法 傅立叶变换是在频域上的办法 当然还可以用时域的办法 系统传递函数 系统脉冲响应函数 对于前例单自由度阻尼振动系统 位移响应的传递函数 脉冲响应函数 频域求响应 时域求响应 1 4机电类比 声学与振动基础 内容提要 一 什么是 机电类比 二 为什么能 机电类比 三 怎样进行 机电类比 类比 属于形式逻辑中的一种推理方法 它的哲学依据是辨证法的 事物处于普遍联系之中 的观点 符合美学上的 合谐 理论 类比综述 类比推理公式 它是一种创造性思维方法 属于不完全推理 有可能得到错误的结论 在物理学发展中起到很大作用 有成功的例子 也有失败的例子 类比综述 一 什么是 机电类比 电路分析方法 网络定律和定理 分析机械系统的振动问题 称为 机电类比 机电类比的依据 描述现象的微分方程的一致性 机械系统 电路系统 例 二 为什么能 机电类比 力学系统包括的基本单位元件 质量元件 惯性 弹簧元件 弹 顺 性 阻尼元件 耗散 损 性 杠杆元件 变量 等 三 怎样进行 机电类比 1 力学元件和电学元件 下面分析各元件上所加的力与速度间的关系 惯性元件 质量 根据牛顿第二定律 弹性元件 弹簧 根据胡克定律 1 力学元件和电学元件 三 怎样进行 机电类比 损耗元件 阻尼 根据粘滞摩擦力的关系 力变量器 杠杆 B 根据杠杆定理 1 力学元件和电学元件 三 怎样进行 机电类比 电子线路系统的基本元件 电感 电容 电阻 变压器等 各元件上的电流与电压的关系及电路中的符号 电感L 符号 电容C 符号 电阻R 符号 变压器 符号 1 力学元件和电学元件 三 怎样进行 机电类比 力学元件上的力f电学元件上的电压e力学元件上的速度v电学元件上的电流i 质量元件与电感元件对应 其电路符号 弹性元件与电容元件对应 其电路符号 阻尼元件与电阻元件对应 其电路符号 2 力学元件和电学元件的类比 类比类型 1 阻抗型类比 三 怎样进行 机电类比 力源类比成恒压源 其电路符号 类比类型 2 导纳型类比 力学元件上的力f电学元件上的电流i力学元件上的速度v电学元件上的电压e 质量元件与电容元件对应 其电路符号 弹簧元件与电感元件对应 其电路符号 阻尼元件与电导元件对应 其电路符号 2 力学元件和电学元件的类比 三 怎样进行 机电类比 力源类比成恒流源 其电路符号 原因 电路元件符号表示的是电路中电流和电压的运算关系 同一元件的物理量间的关系是固定的 为了在不同类型类比电路中这种关系不变 在不同类比电路中需用不同符号表示 结论 同样一个力学元件 在不同的类比线路中 阻抗型类比或导纳型类比 所用的符号不同 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 2 力学元件和电学元件的类比 质量元件 当有外力对质量作用时 按牛顿第二定律 如果 那么 阻抗型类比 符号 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 如果 那么 导纳型类比 符号 质量元件 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 力顺元件 弹性元件 描述系统具有弹性性质 当受力作用时 它的位移大小和力成正比 按虎克定律 如果 那么 阻抗型类比 符号 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 如果 那么 导纳型类比 符号 力顺元件 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 如果 那么 阻抗型类比 符号 力阻元件 表征系统具有摩擦损耗 当它受到力作用时 它的相对运动速度的大小和力成正比 三 怎样进行 机电类比 2 力学元件和电学元件的类比 如果 那么 导纳型类比 符号 力阻元件 三 怎样进行 机电类比 3 画力线 阻抗型电路是大家非常熟悉的 阻抗型电路的特点 1 电流线 流经各元件的量是电流i 因此 电路图是以一条电流线来连贯各个元件的 当电流线从某一元件流向另外一些元件时 如果电流分支 则这些元件互相并联 如果不分支 则相互串联 2 电位的相对性 跨越元件的两端的量是电位差 零电位端是 接地 端 3 在分支点符合克希霍夫第1电路定律 即 三 怎样进行 机电类比 3 画力线 与上述电路图分析相比较 发现力学系统也具有类似的特点 1 力线 在力学系统中测量力一定要将测力计串联接在元件之间 这表明力是贯穿着各个元件的 因此在力学系统中 可以找到同电路中电流线类似的线 即力线 2 速度的相对性 因为力学系统中的速度具有相对性 因此在力学系统中可以找到与电路中相似的 元件两端的量 即速度差 如选取惯性坐标系 则元件都是相对于零速度运动的 对应的零速度端看作是 接地 端 3 在力点符合动力学平衡条件 即 三 怎样进行 机电类比 3 画力线 三 怎样进行 机电类比 实际机械系统在画成机电类比图之前 要先用力学示意符号 将其画成机械系统简图 基本力学元件示意符号 三 怎样进行 机电类比 4 机械系统简图 机械系统简图构图规则 1 机械系统简图中连线的含义为无质量刚性连杆 同一连杆上的元件具有相同的速度 2 机械系统简图中的质量一端必须接地 例 三 怎样进行 机电类比 5 机电类比构图过程 系统简图 导纳型类比图 阻抗型类比图 装置图 画力线 例 三 怎样进行 机电类比 1 装置图 画力线 2 机械简图 3 导纳型类比图 4 阻抗型类比图 附1 阻抗型与导纳型电路的互相转换的 点线法 1 在原图的每个回路中绘一点 在回路外也绘一点 为地 2 用连线连接各点 每条连线只通过一个元件 且不跨线 一点可连多线 但一个元件只能通过一条连线 3 把原图去掉 所有元件换成相应的 对偶元件 4 整理所得线路图为原图的 对偶 线路图 完成了两型类比电路的转换 三 怎样进行 机电类比 总结力电类比构图要点 1 在装置图上画力线 2 由装置图准确地画成系统简图 3 由系统简图按照元件在导纳型类比图中的符号 画导纳型类比图 关键 在此过程中 只改变元件符号 不需要改变连接线 依据是 系统简图中的同一连线上各元件有相同的速度 这也是导纳型类比图的性质 这个步骤是关键 它完成了机电的转换 4 根据网络理论 由导纳型类比图转换成阻抗型类比图 三 怎样进行 机电类比 附2 类比构图的一般规则 1 力学示意图上的一个连线相当于导纳型类比中的一个节点 或相当于阻抗型类比中的一个迴路 2 质量元件与其它元件相连时 速度无降落 3 考虑连点时 质量两端只看作一点 质量与源连接不算连点 4 弹簧两端与其它元件相联时 力通过 或力的降落与和它并联的元件力降落一致 5 阻尼器两端接元件 性质类似于弹簧 阻尼器一端接地性质类似于质量 例 三 怎样进行 机电类比 课后作业 2 502 512 522 54 1 熟练掌握集总参数机械振动系统振动的规律以及处理该问题的数学方法 主要掌握单自由度自由振动 受迫振动的处理方法及规律 2 熟练掌握机电类比方法 能应用机电类比解决多自由度集总参数机械振动系统的振动问题 3 需掌握概念 正确理解机械振动系统 机械阻抗 阻力系数 机械Q值 频响特性 固有频率 共振频率 谐振频率等概念的物理意义 第一章机械振动系统的振动 教学要求 1 5两个自由度耦合系统的振动 声学与振动基础 内容提要 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动二 两自由度耦合振动系统的自由振动三 多自由度振动系统 阻抗型类比电路 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 其四端等效网络为 其中 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 对于四端网络 一般分析时定义 1 输入阻抗 Z11 Z22端短路时 从端看进去的阻抗端短路时 从端看进去的阻抗 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 2 转移阻抗 传输阻抗 Z12 Z21 3 自阻抗 F2开路时 从F1看进去的阻抗 F1开路时 从F2看进去的阻抗 4 耦合阻抗 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 如果取 据 网络理论 有 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 例 简单情况 单端激励时 上式化为 1 消去U2得 2 消去U1得 传输阻抗 输入阻抗 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 在此情况下分析m2的振动 归结为分析1 Z12的频率特征 若令 其中 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 则 又 若阻相对较小 即 R1R2 X1X2 则有 分析 上式虚部为0时 系统中的m2振速的幅值达到最大 振速共振 有 其中k 见后 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 为简化表示 令 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 解上式可得 此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时 m2的振速共振频率 可推知 它也是m1的振速共振频率 显然 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2 或m2 的幅频特性曲线 双峰结构 一 两自由度耦合振动系统的强迫振动 下面由运动方程 求解自由振动 1 运动方程 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 为简化表示 令 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 方程可化为 2 简正振动 为使问题简单 分析无阻尼情况 1 0 2 0 有 解之 令 代入方程 则方程化为 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 因为 A B不同时为0 则据线性代数方程理论知 A B的系数行列式为0 即 此方程称为频率方程或特征方程 解之可得 的值 它有四个值 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 分析 a 若k 0 无耦合 则 b 若k 0 则 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 所以 可得方程的解为 其中A A A A B B B B 有关系 通过方程 形成的关系 真正独立的只有4个 并且这4个独立量由初条件确定 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 上式中 取第一个等式 得 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 又若 实初条件 经过运算可得 其中 由初条件确定 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 结论 两个自由度无阻尼耦合系统的自由振动 每一个质量的振动均为两个谐合振动的迭加 定义 简正振动 是多自由度耦合振动系统自由振动的方式 多自由度耦合振动系统在自由振动时 在每一个自由度上的振动 可分解成多个简谐振动的迭加形式 其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正振动 其频率称为该系统的一个简正频率 简正振动的频率决定于系统参数 振幅决定于初条件 简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率 小阻尼条件下 在数值上与该系统受迫振动的速度共振频率相等 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 3 能量在二振子间的传递初条件 t 0时 x1 A x2 0 则可得 式中 在莫尔斯 振动与声 中称之为 耦合系数 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 形成拍振动 能量在二振子间 流动 的过程 振子1的机械能在振动过程中传给振子2 经一段时间后 振子2又把机械能全部还给振子1 而振子1的能量并不全部给振子2 但振子2的能量全部还给振子1 这个过程循环往复 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 若 特殊情况 振子1的能量全部传给振子2 振子2又把能量全部传给振子1 能量在二振子间不断 流动 二 两自由度耦合振动系统的自由振动 三 N个自由度耦合振动系统振动简述 1 自由振动A 由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动 B 每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量 C 系统有n个固有频率 简正频率 D 固有频率 简正频率 由系统参数决定 E 振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定 2 受迫振动A 可利用机电类比电路分析其受迫振动 B 受迫振动达到稳态后 每一个自由度上振子振动响应取决于系统参数和激励力的频率及幅度 C n个自由度的振动系统有n个谐振频率 速度共振频率 在小阻尼条件下 它们等于系统的固有频率 注 特征方程重根 称作简并 此时 简正频率数目减少 三 N个自由度耦合振动系统振动简述 第二章理想流体介质中声场的基本规律 声与振动基础 2 1声音在介质中传播的基本概念 主要内容 声音的产生 声音是由声源的机械振动产生的 声源的振动状态 通过周围介质向四周传播形成声波 从物理学来说 声波就是介质中的机械波 声音的产生 声波 soundwave 是一种机械波 产生声波的两个必要条件 声源 soundsource 机械振动的物体介质 medium 机械振动赖以传播的介质 声音的产生 声音可以在一切弹性介质中传播 纵波 声波的传播方向与质点振动方向一致 横波 声波的传播方向与质点振动方向垂直 声音的产生 空气中和水中的声波的传播方向与质点振动方向是一致的 属于纵波 固体中由于有切应力 除有纵波外 还同时存在横波 仅讨论声波的宏观性质 不涉及介质的微观特性 声音的产生 声音的产生 声波在介质中传播的速度 称为声波的传播速度 声音的产生 重点总结 1 声音的实质 声音是介质中的机械波2 声波产生的两个基本条件 1 声源 2 传声介质 2 2声学量 主要内容 1 声压 压强的变化量2 质点振速 介质运动速度的变化量3 压缩量 介质密度相对变化量 连续介质中 任意一点附近的运动状态可用压强 密度和介质的运动速度表示 压强 介质运动速度密度 1 声压的基本概念 声波作用引起各点介质压缩和伸张 各点的压强比静压可大可小 声压有正有负 1 声压的基本概念 声学中 也可用声压级 SPL 表示声压的大小 SPL 20log10 p pref dB 分贝 在声波的作用下 介质质点围绕其平衡位置作往复运动 其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变化 可用质点位移或速度描述声场 2 质点振速的基本概念 设没有声波扰动时 介质的静态流速为在声波的作用下流速变为流速的改变量即为介质质点的振动速度 振动速度的单位是在空气中 1帕的声压对应的振速约为相应于频率1000Hz声音的质点位移约为声场中介质质点位移振幅是很小的 水中1帕的声音 相应的振速约为相应于1000Hz声音的位移仅为厘米 水中质点位移比空气中质点位移更小 2 质点振速的基本概念 设没有扰动时 介质的静态密度为在声波的作用下变为 3 密度逾量 为介质中声场的密度逾量 MKS制中 基本单位 kg m3 为介质压缩量 也称介质密度的相对变化量s 无量纲 定义 定义 注意 声场中的质点振速和声波的传播速度是两个概念 重点总结 2 2声学量 1 声压 压强的变化量2 质点振速 介质流速的变化量3 密度逾量 介质密度的变化量 声学量 描述声波作用的量 2 3理想流体介质中小振幅波传播的基本规律 一 理想流体介质中三个基本方程二 小振幅声波的波动方程三 速度势函数 速度势和密度逾量的波动方程 主要内容 声波的波动方程 描述声场空间 时间变化规律和相互联系的方程 基本思路 波动方程 连续性方程状态方程运动方程 质量守恒定律热力学关系 能量守恒定律 牛顿第二定律 动量守恒定律 三个基本方程 三个基本物理定律 1 理想 介质中机械运动无机械能损耗 2 流体 介质中任一面元受力方向总是垂直于面元 3 连续性 介质中质团连续分布无间隙 4 介质质团同时具有质量和弹性性质 正是因为介质质团同时具有弹性和质量 才能形成波 振动的传播 理想流体介质 假设条件 5 声波为小振幅声波 线性波动方程 1 连续性方程2 状态方程3 运动方程 一 理想流体媒质中三个基本方程 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 依据质量守恒 建立关系 质量守恒定律 在连续介质中 如果流进与流出某一空间体积的流体质量不等 则必将引起该体积中介质密度的变化 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 M点的密度为 设某一瞬时t 介质质点流过M点的速度向量 单位时间内通过M点单位面积的介质质量为 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 1 在dt时间段 介质质点X方向流速引起的在dxdydz框中介质质量的变化 dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量 dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量 所以 在dt时间段 介质质点沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介质质量增加为 同理 时间内沿方向流量在中的净余量分别为 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 2 在dt时间段 介质质点Y方向和Z方向流速引起的在dxdydz框中介质质量的变化 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 所以 在dt时间段 介质质点流速引起的在dxdydz框中介质质量的增加为 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 3 推导连续性方程 因为 dxdydz框没有变 所以质量的变化改变了dxdydz框内介质的密度 流体的流动使得元体积内的质量增加密度变化使得元体积内质量的增加 等于 1 连续性方程 依据能量守恒定律 得 连续性方程 所以 1 连续性方程 哈密顿算符 梯度 标量函数的梯度散度 矢量场的散度 理想流体介质中三个基本方程 数学知识 连续性方程表示为称为流通密度 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 连续性方程 表示流通密度在某一点散度的负值等于该点介质密度的时间变化率 4 均匀 静止理想流体小振幅波的连续性方程 据 声学量定义 有 小振幅波的含义是指 小振幅波的声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量 均匀的含义是指 静止的含义是指 由连续性方程 得 1 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 略去二阶小量 理想流体介质中三个基本方程 1 连续性方程 1 连续性方程 连续性方程 理想流体介质中三个基本方程 得到的均匀 静止理想流体中小振幅波的连续性方程为 记住 声波作用下介质产生压缩伸张变化 介质的密度和压强都发生变化 假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失 2 状态方程 理想流体介质中三个基本方程 依据热力学定律 建立关系 据热力学定律 质量一定的理想流体中 独立的热力学参数只有三个 例如 取热力学参数 压力P 密度 及熵值s 则有关系 如果 在声波作用下 P经 等熵过程 从则在点作幂级数展开 有 2 状态方程 理想流体介质中三个基本方程 如果是小振幅波 则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量 略去高阶小量 有 2 状态方程 理想流体介质中三个基本方程 定义 为介质的等熵波速 它是介质的固有性质 后续课可知它与介质中波传播的速度有关 是速度量纲 M K S制中 单位 m s 米 秒 得到的均匀 静止理想流体中小振幅波的状态方程为 状态方程 2 状态方程 记住 理想流体介质中三个基本方程 理想流体介质中三个基本方程 3 运动方程 依据牛顿第二定律 建立关系 介质中取质量微团ABCDEFGH六面体 边长分别为 分析其受力 dx dy dz 周围流体对该六面体的压力 首先分析x方向受力 作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为 理想流体介质中三个基本方程 3 运动方程 沿方向的合力为 同理得方向的合力为 理想流体介质中三个基本方程 3 运动方程 利用哈密顿算子 表示质量微团受到的合力 静压强为常数 理想流体介质中三个基本方程 3 运动方程 根据牛顿定律 得运动方程 所以 得 是质点的加速度 3 运动方程 理想流体介质中三个基本方程 如果为小振幅波 则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量 忽略高阶小量 根据 多元函数微分公式 有 运动方程 3 运动方程 理想流体介质中三个基本方程 记住 又称尤拉方程 表示介质中质点的加速度与密度的乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值 得到均匀 静止理想流体中小振幅波的运动方程为 忽略 二 小振幅声波的波动方程 运动方程 状态方程 连续性方程 1 2 3 均匀 静止理想流体中 小振幅波基本声学量的方程 声学量之间的三个关系式 对上三式消元 可以得到一个基本声学量的方程 对于物理可实现函数 有 则 4 代入 5 得 4 5 6 7 1 声压波动方程 小振幅声波的波动方程 理想 均匀 静止流体中的小振幅波的声压波动方程 1 声压波动方程 小振幅声波的波动方程 直角坐标系中球坐标系中柱坐标系中 拉普拉斯算子 对不同坐标系具有不同形式 小振幅声波的波动方程 1 声压波动方程 定义 速度势函数 如果运动是无旋的 则质点振速可用标量函数的负梯度表示 称为速度势函数 2 速度势函数 小振幅声波的波动方程 在不同坐标系中 其分速度有不同的表示式直角坐标系球坐标系柱坐标系 2 速度势函数 小振幅声波的波动方程 式子和式子 小振幅声波的波动方程 3 速度势波动方程 分别对时间微分 比较后得到 状态方程可写为连续性方程写为两式联立 可得 小振幅声波的波动方程 3 速度势波动方程 将和 代入式 速度势的波动方式 小振幅声波的波动方程 3 速度势波动方程 得 只要求出满足初始和边界条件的速度势波动方程的解 就可通过微分形式求出声场中的声压和质点振速 同理 据状态方程 代入声压的波动方程 可得的波动方程 据介质压缩量 则s的波动方程 小振幅声波的波动方程 4 密度逾量波动方程 掌握三个基本方程和波动方程的推导 声学与振动基础 2 4 主要内容 一 声能量密度二 声能流密度三 声强 声波强度 掌握三个概念 推出它们和基本声学量之间的关系 前言 质点振动引起的能量变化介质形变引起的能量变化由于声波传播而引起的介质能量的增量称为声能 定义 声能量密度 声场中单位体积介质所具有的机械能为声场的声能密度 记 E0声能密度的量纲 E0 能量 体积 M1T2L 3 MKS 制中 基本单位 J m3下面分析声能密度与基本声学量的关系 一 声能量密度 声场中任意一个质量为m0体积为V0的质团 一 声能量密度 动能 质团由平衡状态 V0 P0 至 V P 状态 声压所作的功 一 声能量密度 图中阴影部分 势能 所以 声场中质量为m0体积为V0的质团的机械能 据定义 声场中单位体积介质所具有的机械能为声场的声能密度 有 一 声能量密度 声波传播过程中声能从一个区域流向另一个区域 二 声能流密度 定义 单位时间内通过与声波能量传播方向垂直的单位面积的声能为声能流密度 它是一个向量 记 量纲 能量 面积 时间 M1T1L 2 MKS 制中 基本单位 J m2s W m2据能量守恒定律 参照连续性方程的推导办法 可得声能量密度与声能流密度的关系 二 声能流密度 声能量密度的时间变化率等于声能流密度的散度的负值 据与基本声学量的关系式和上式 可得与基本声学量的关系 二 声能流密度 推导过程中用到三个基本方程 运动方程 状态方程