平行四边形中常用辅助线的添法.docx

平行四边形中常用辅助线的添法徐卫东刘建英平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：一、连对角线或平移对角线：例1如图1，E是平行四边形ABCD中AD延长线上一点，ED交BC于F，求证：。简证：连BD，由图易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范围。简解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中在一个三角形中，过C作CEDB交AB的延长线于E，由图易得DBEC是平行四边形，所以，即，在ACE中，即。二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形例3如图3，平行四边形ABCD中，DBC=，DEDB交BC的延长线于E，AD=a，DE=b，求。简解：过D作DFBE于F，由题意得DEB=，所以DF=，BE=，则，所以。例4如图4，平行四边形ABCD的周长为40，ABC=，E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M，MF的延长线交AD于N，设，试求y与x的函数关系。简解：过A作AHBC于H。因为，所以，所以。因为ADBC，所以，所以，则。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线例5如图5，平行四边形ABCD中，N是AB中点，BE=，NE与BD交于F，求的值。简解：作AC交BD于O，连ON，由图得ON，因为，所以，所以，所以，则。例6如图6，平行四边形ABCD中，O是对角线交点，F是AB延长线上一点，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c。求BE长。简解：作OGCB交AB于G，因为O是AC中点，所以OG=，又，所以。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。例7如图7，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，求证AP=AB。简证：延长CF交BA的延长线于G。因为FD=FA，易得CDFGAF，所以AG=CD=AB，则A为BG中点，又CE=DF，CB=CD，所以RtBCERtCDF，所以1=2，因为1+3=，所以2+3=，所以CPB=，所以BPG=。则PA是RtBPG的斜边上中线，所以AP=AB。例8如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，求证PB平分APC。简证：连BE、BF，由图易证得。过B作BHCF、BGAE，垂足分别为H、G。因为，所以BG=BH，所以B点在APC的角平分线上，则PB平分APC。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等例9如图9，E是平行四边形ABCD对角线BD上一点，EFBC，EGBA，垂足分别为F、G，求证：。简证：作AHBD于H，CKBD于K，易得AHCK，连AE、CE。因为，所以。又，所以，所以，则。例10如图10，ABCD是正方形，BEAC，AE=AC，CFAE，求证：AEB=2BCF。 简证：连BD，过A作AHAC交BE于H，AC与BD交于O。由图中易证得AHBO为正方形，所以AH=AO=。