matlab求代数方程的近似艮实验报告三.doc

matlab与数学实验实验报告实验序号： 实验三 日期： 2015 年 5 月 22 日班级132132002姓名 彭婉婷学号 1321320057实验名称 求代数方程的近似根（解）问题背景描述本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况实验目的1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解实验原理与数学模型7.11.0（R2010b）对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法附加题Eye（）Diag（ones（7,1），1）主要内容（要点） 4分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 的正的近似根，(建议取 )时间许可的话，可进一步考虑 的情况)附加：思考：若 ，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）4、分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 的正的近似根，(建议取 )一、对分法图像程序：f=sin(x)-0.5*x; g=0; ezplot(f, -4, 4); hold on; ezplot(g, -4, 4); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴grid on; axis(-4 4 -5 5); hold off 求解程序：clearsyms x fx;a=1.5;b=2;fx=sin(x)-0.5*x;x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx,x,x);if ffx=0; disp(the root is:,num2str(x)else disp(k ak bk f(xk)while abs(ffx)0.0001 & ab; disp(num2str(k), ,num2str(a), ,num2str(b), ,num2str(ffx) fa=subs(fx,x,a);ffx=subs(fx,x,x); if fa*ffx0.0001; disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(ffx) x=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);k=k+1;enddisp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(ffx)答案：k x f(x)0 1.9 -0.00369991 1.8926 0.00236642 1.8973 -0.00150753 1.8943 0.000962784 1.8962 -0.000613915 1.895 0.000391866 1.8958 -0.000249967 1.8953 0.000159518 1.8956 -0.000101769 1.8954 6.4935e-005三、松弛迭代法clearsyms fx gx x dgx;gx=2*sin(x);fx=sin(x)-0.5*x;dgx=diff(gx, x);x=1.9;k=0;ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);disp(k x w)while abs(ffx)0.0001; w=1/(1-dgxx); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);end disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w)答案k x w0 1.9 0.607321 1.8955 0.60732四、Altken 迭代法clearsyms x fx gx;gx=2*sin(x);fx=sin(x)-0.5*x;disp(k x x1 x2)x=1.9;k=0;ffx=subs(fx, x, x);while abs(ffx)0.0001;u=subs(gx, x, x);v=subs(gx, x, u); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)x=v-(v-u)2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, x, x);enddisp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)答案k x x1 x20 1.9 1.8926 1.89731 1.8955 1.8926 1.8973五、牛顿切法clearsyms x fx gx;fx=sin(x)-0.5*x;gx=diff(fx,x);x1=1.9;k=0;disp(k x1)fx1=subs(fx,x,x1);gx1=subs(gx,x,x1);while abs(fx1)0.0001; disp(num2str(k), ,num2str(x1) x1=x1-fx1/gx1;k=k+1; fx1=subs(fx,x,x1); gx1=subs(gx,x,x1);enddisp(num2str(k), ,num2str(x1)答案k x10 1.91 1.8955附加：思考：若 ，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？clearA=eye(7);a1=diag(ones(7,1),1);a2=rot90(a1,2);a3=2*eye(8);m=a1+a2+a3;disp(m)答案2 1 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 00 0 0 1 2 1 0 00 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 1 2实验结果报告与实验总结实验结果：一、对分法1.89451.8984 迭代步数：9二、普通迭代法1.8954 迭代步数：9三、松弛迭代法1.8955 迭代步数：2四、Altken 迭代法1.8955 1.8926 迭代步数：2五、牛顿切法1.8955 迭代步数：2实验总