2.2全概率公式与贝叶斯公式.pptVIP

2 2 全概率公式与贝叶斯公式 解 2 2 1全概率公式 0 6 一个盒子中有 只白球 只黑球 从中不放回地每次任取 只 连取 次 求第二次取到白球的概率 例 A 第一次取到白球 全概率公式 设 1 2 n构成一个完备事件组 且 i 0 i 1 2 n 则对任一随机事件 有 定理 全概率公式 例设播种用麦种中混有一等 二等 三等 四等四个等级的种子 分别各占95 5 2 1 5 1 用一等 二等 三等 四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0 5 0 15 0 1 0 05 求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率 解 设从这批种子中任选一颗是一等 二等 三等 四等种子的事件分别是 1 2 3 4 则它们构成完备事件组 又设 表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件 则由全概率公式 95 5 0 5 2 0 15 1 5 0 1 1 0 05 0 4825 例在对空演习中 某高射炮的目标是正在行进中的一架飞机 已知该炮能击中发动机 机舱及其他部位的概率分别是0 10 0 08 0 39 又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是0 95 0 89 0 51 试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率 解 设B1 B2 B3 B4 分别表示炮弹击中发动机 机舱 其他部位以及未击中飞机的事件 A为飞机坠毁的事件 已知P B1 0 10 P B2 0 08 P B3 0 39 P B4 1 0 10 0 08 0 39 0 43 则由全概率公式 例袋中有50个乒乓球 其中20个是黄球 30个是白球 今有两人依次随机地从袋中各取一球 取后不放回 问第二个人取得黄球的概率是多少 解 设A为 第二个人得黄球 的事件 B表示 第一个人得黄球 的事件 则由全概率公式 例5张卡片上分别标有数字1 2 3 4 5 每次从中任取一张 连取两次 1 若第一次取出的卡片不放回 求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率 2 若第一次取出的卡片放回 求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率 解 1 不放回抽样的情况 由全概率公式得 2 有放回抽样的情况 2 2 2贝叶斯公式Bayes Theorem 后验概率 设A1 A2 An构成完备事件组 且诸P Ai 0 B为样本空间的任意事件 P B 0 则有 k 1 2 n 证明 定理贝叶斯公式Bayes Theorem 例1设某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同一种产品 已知各车间的产量分别占全厂产量的25 35 40 而且各车间的次品率依次为5 4 2 现从待出厂的产品中检查出一个次品 试判断它是由甲车间生产的概率 解 设 1 2 3分别表示产品由甲 乙 丙车间生产 表示产品为次品 显然 1 2 3构成完备事件组 依题意 有 1 25 2 35 3 40 1 5 2 4 3 2 1 例2已知在所有男子中有5 在所有女子中有0 25 患有色盲症 随机抽一人发现患色盲症 问其为男子的概率是多少 设男子和女子的人数相等 解 设A表示抽到的为男子 B表示抽到的是女子 则 C表示抽到的人有色盲症 由Bayes公式有 例3某试卷中1道选择题有6个答案 其中只有一个是正确的 考生不知道正确答案的概率为1 4 不知道正确答案而猜对的概率为1 6 现已知某考生答对了 问他猜对此题的概率有多大 解 设A表示 考生不知道正确答案 B表示 考生答对了考题 则 由全概率公式得 由贝叶斯公式得 例4根据以往的临床记录 某种诊断癌症的试验具有如下的效果 若以A表示 试验反应为阳性 以C表示 被诊断者患有癌症 则有 解 例5已知一批产品的次品率为4 今有一种简化的检验方法 检验时正品被误认为次品的概率为0 02 而次品被误认为正品的概率为0 05 求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率 解 设A表示 产品是正派品 B表示 通过检验产品被认为是正品 则 由全概率公式得 由贝叶斯公