2013高考数学专题二十一：概率与统计.doc

20132013 高考数学专题二十一 概率统计高考数学专题二十一 概率统计 一 一 本章知识结构 本章知识结构 二 重点知识回顾二 重点知识回顾 1 概率 1 事件与基本事件 S S S 随机事件在条件下 可能发生也可能不发生的事件 事件不可能事件 在条件下 一定不会发生的事件 确定事件 必然事件 在条件下 一定会发生的事件 基本事件 试验中不能再分的最简单的 单位 随机事件 一次试验等可能的产生一个基本 事件 任意两个基本事件都是互斥的 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来 表示 2 频率与概率 随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值 频率 往往在概率附近摆动 且随着试验次数的不断增加而变化 摆动幅度会越来越小 随机事件 的概率是一个常数 不随具体的实验次数的变化而变化 3 互斥事件与对立事件 4 古典概型与几何概型 古典概型 具有 等可能发生的有限个基本事件 的概率模型 几何概型 每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度 面积或体积 成比例 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个 而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个 5 古典概型与几何概型的概率计算公式 古典概型的概率计算公式 A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 几何概型的概率计算公式 A P A 构成事件的区域长度 面积或体积 试验全部结果构成的区域长度 面积或体积 两种概型概率的求法都是 求比例 但具体公式中的分子 分母不同 6 概率基本性质与公式 事件A的概率 P A 的范围为 0 1P A 互斥事件A与B的概率加法公式 P ABP AP B 对立事件A与B的概率加法公式 1P AP B 2 统计 1 三种抽样方法 简单随机抽样 简单随机抽样是一种最简单 最基本的抽样方法 抽样中选取个体的方法有两种 放回 和不放回 我们在抽样调查中用的是不放回抽取 简单随机抽样的特点 被抽取样本的总体个数有限 从总体中逐个进行抽取 使抽样便 于在实践中操作 它是不放回抽取 这使其具有广泛应用性 每一次抽样时 每个个体等可 能的被抽到 保证了抽样方法的公平性 实施抽样的方法 抽签法 方法简单 易于理解 随机数表法 要理解好随机数表 即 表中每个位置上等可能出现 0 1 2 9 这十个数字的数表 随机数表中各个位置上出 现各个数字的等可能性 决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可 能性 事件定义集合角度理解关系 互斥事件 事件A与B不可能同时 发生 两事件交集为空 对立事件 事件A与B不可能同时 发生 且必有一个发生 两事件互补 事件A与B对立 则 A与B必为互斥事件 事件A与B互斥 但不 一是对立事件 系统抽样 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系 即在将总体中的个体均分后的每一段中 进行抽样时 采用的是简单随机抽样 系统抽样的操作步骤 第一步 利用随机的方式将总体中的个体编号 第二步 将总体 的编号分段 要确定分段间隔k 当 N n 为总体中的个体数 n 为样本容量 是整数时 N k n 当 N n 不是整数时 通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数 能被 n 整除 这 时 N k n 第三步 在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l 再按事先确定的规则抽 取样本 通常是将l加上间隔 k 得到第 2 个编号 lk 将 lk 加上 k 得到第 3 个编号 2 lk 这样继续下去 直到获取整个样本 分层抽样 当总体由明显差别的几部分组成时 为了使抽样更好地反映总体情况 将总体中各个个 体按某种特征分成若干个互不重叠的部分 每一部分叫层 在各层中按层在总体中所占比例 进行简单随机抽样 分层抽样的过程可分为四步 第一步 确定样本容量与总体个数的比 第二步 计算出 各层需抽取的个体数 第三步 采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体 第四步 将各层中抽取的个体合在一起 就是所要抽取的样本 2 用样本估计总体 样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率 我们常常使用频率分布直方图来表示相 应样本的频率分布 有时也利用茎叶图来描述其分布 然后用样本的频率分布去估计总体分 布 总体一定时 样本容量越大 这种估计也就越精确 用样本频率分布估计总体频率分布时 通常要对给定一组数据进行列表 作图处 理 作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤 画样本频率分布直方图的步骤 求 全距 决定组距与组数 分组 列频率分布表 画频率分布直方图 茎叶图刻画数据有两个优点 一是所有的信息都可以从图中得到 二是茎叶图便于记 录和表示 但数据位数较多时不够方便 平均数反映了样本数据的平均水平 而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度 其计算公式为 2 1 1 n i i sxx n 有时也用标准差的平方 方差来代替标准差 两者实 质上是一样的 3 两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系 除了确定性的函数关系外 还存在大量因变量的取值带有一定 随机性的相关关系 在本章中 我们学习了一元线性相关关系 通过建立回归直线方程就可 以根据其部分观测值 获得对这两个变量之间的整体关系的了解 分析两个变量的相关关系 时 我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系 还可利用最小二乘估计 求出回归直线方程 通常我们使用散点图 首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出 形成散点图 然后从散点图上 我们可以分析出两个变量是否存在相关关系 如果这些点大 致分布在通过散点图中心的一条直线附近 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系 这 条直线叫做回归直线 其对应的方程叫做回归直线方程 在本节要经常与数据打交道 计算 量大 因此同学们要学会应用科学计算器 4 求回归直线方程的步骤 第一步 先把数据制成表 从表中计算出 2 11 nn iii ii x yx yx 第二步 计算回归系数的 a b 公式为 111 22 11 nnn iiii iii nn ii ii nx yxy b nxx aybx 第三步 写出回归直线方程 ybxa 5 独立性检验 2 2 列联表 列出的两个分类变量X和Y 它们的取值分别为 12 x x 和 12 y y 的样本 频数表称为2 2 列联表 1 分类 y 1 y 2 总计 x1 abab x2 cdcd 总计ac bd abcd 构造随机变量 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中n abcd 得到 2 K 的观察值k常与以下几个临界值加以比较 如果 2 706k 就有 00 90 的把握因为两分类变量X和Y是有关系 如果 3 841k 就有 00 95 的把握因为两分类变量X和Y是有关系 如果 6 635k 就有 00 99 的把握因为两分类变量X和Y是有关系 如果低于 2 706k 就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系 三维柱形图 如果列联表 1 的三维柱形图如下图 由各小柱形表示的频数可见 对角线上的频数的积的差的绝对值 adbc 较大 说明两分类变量X和Y是有关的 否则的话是无关的 重点 一方面考察对角线频数之差 更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验 的思路方法 二维条形图 相应于上面的三维柱形图而画 由深 浅染色的高可见两种情况下所占比例 由数据可知 a ab 要比 c cd 小得多 由于差距 较大 因此 说明两分类变量X和Y有关系的可能性较大 两个比值相差越大两分类变量 X和Y有关的可能性也越的 否则是无关系的 重点 通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关 更重要的一方面是提供了构造随 机变量进行独立性检验的思想方法 等高条形图 相应于上面的条形图而画 由深 浅染色的高可见两种情况下的百分比 另一方面 数据 a ab A 00 要比 00 c cd A 小得多 因此 说明两分类变量X和Y有关系的可能性较大 否则是无关系的 b a a c d 图 2 a c b d 图 3 a b c d 图 1 重点 直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下 各部分所占的比例情况 是在图 的 基础上换一个角度来理解 三 考点剖析三 考点剖析 考点一 概率 内容解读 概率试题主要考查基本概念和基本公式 对等可能性事件的概率 互斥事件的 概率 独立事件的概率 等内容都进行了考查 掌握古典概型和几何概型的概率求法 命题规律 1 概率统计试题的题量大致为 2 道 约占全卷总分的 6 10 试题的难度 为中等或中等偏易 2 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编 通过对基础知识的重新组合 变式和 拓展 从而加工为立意高 情境新 设问巧 并赋予时代气息 贴近学生实际的问题 这样 的试题体现了数学试卷新的设计理念 尊重不同考生群体思维的差异 贴近考生的实际 体 现了人文教育的精神 例 2008 江苏 在平面直角坐标系 xoy 中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构 成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随意投一点 则落入 E 中的 概率为 解 如图 区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部 含边界 区域 E 表示单位圆及其内部 因此 2 1 4 416 P 答案 16 点评 本题考查几何概型 利用面积相比求概率 训练 09 山东文 在区间 2 2 上随机取一个数 x cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 答案 A 考查几何概率 命题立意 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 由自变量 x 的取值范围 得到函数 值cosx的范围 再由长度型几何概型求得 例 2009 安徽卷文 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是 答案 0 75 考查古典概率 例 2009 湖北卷文 甲 乙 丙三人将参加某项测试 他们能达标的概率分别是 0 8 0 6 0 5 则三人都达标的概率是 三人中至少有一人达标的概率是 考查概率相互独立事件 答案 0 24 0 76 训练 1 2009 福建卷文 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在 该圆周上随机取一点 B 则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 考查几何概型 2 2009 江苏卷 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概 率为 解析 考查等可能事件的概率知识 所求概率为 0 2 3 2009 辽宁卷文 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内随机 取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 4 2009 江西卷文 甲 乙 丙 丁4个足球队参加比赛 假设每场比赛各队取胜的概率相 等 现任意将这4个队分成两个组 每组两个队 进行比赛 胜者再赛 则甲 乙相遇的概 率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 5 2009 安徽卷文 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下 的 3 个点也连成三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 A 1 B C D 0 6 2009 上海卷文 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者 则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 结果用最简分数表示 考点二 统计 内容解读 理解简单随机抽样 系统抽样 分层抽样的概念 了解它们各自的特点及步 骤 会用三种抽样方法从总体中抽取样本 会用样本频率分布估计总体分布 会用样本数字 特征估计总体数字特征 会利用散点图和线性回归方程 分析变量间的相关关系 掌握独立 性检验的步骤与方法 命题规律 1 概率统计试题的题量大致为 2 道 约占全卷总分的 6 10 试题的难度 为中等或中等偏易 2 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编 通过对基础知识的重新组合 变式和 拓展 从而加工为立意高 情境新 设问巧 并赋予时代气息 贴近学生实际的问题 这样 的试题体现了数学试卷新的设计理念 尊重不同考生群体思维的差异 贴近考生的实际 体 现了人文教育的精神 例 2007 广东 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与 相应的生产能耗 Y 吨标准煤 的几组对照数据 x3456 y2 5344 5 视力 4 3 4 4 4 54 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 0 1 0 3 组距 频率 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 崩最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y bx a 3 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归 方程 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 32 5 43 54 64 5 66 5 解 1 散点图略 2 4 1 66 5 ii i x y 4 63x y 4 2 1 86 i i x 2 481x 由所提供的公式可得 0 7b 0 35a 故所求线性回归方程为 0 70 35yx 10 分 3 100 0 7 1000 35 29 65 吨 例 2008 江苏模拟 为了研究某高校大学新生学生的视力情况 随机地抽查了该校 100 名 进校学生的视力情况 得到频率分布直方图 如图 已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数 列 n a 的前四项 后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 n b 的前六项 求等比数列 n a 的通项公式 求等差数列 n b 的通项公式 若规定视力低于 5 0 的学生属于近视学生 试估计该校新生的近视率 的大小 解 I 由题意知 1 0 1 0 1 1001a 2 0 3 0 1 1003 a 数列 n a 是等比数列 公比 2 1 3 a q a 11 1 3 nn n aa q II 123 aaa 13 126123 100 87bbbaaa 数列 n b 是等差数列 设数列 n b 公差为d 则得 1261 615bbbbd 1 615bd 87 27 41 ab 5 d nbn532 III 1231234 0 91 100 aaabbbb 或 56 10 91 100 bb 答 估计该校新生近视率为 91 训练 2008 江苏模拟 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系 他们 分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人 数 得到如下资料 日 期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 x C 1011131286 就诊人数 y 个 222529261612 该兴趣小组确定的研究方案是 先从这六组数据中选取 2 组 用剩下的 4 组数据求线性回 归方程 再用被选取的 2 组数据进行检验 求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率 5 分 若选取的是 1 月与 6 月的两组数据 请根据 2 至 5 月份的数据 求出 y 关于 x 的线性回 归方程 ybxa 6 分 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人 则认为 得到的线性回归方程是理想的 试问该小组所得线性回归方程是否理想 3 分 参考公式 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy baybx xnxxx 解 设抽到相邻两个月的数据为事件 A 因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况 每种情况都是等可能出现的 其中 抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 所以 3 1 15 5 P A 由数据求得 11 24xy 由公式求得 18 7 b 再由 30 7 aybx 所以 y 关于x的线性回归方程为 1830 77 yx 当 10 x 时 150 7 y 150 22 2 7 同样 当 6x 时 78 7 y 78 14 2 7 所以 该小组所得线性回归方程是理想的 课后训练 1 09 山东理 某工厂对一批产品进行了抽样检测 右图是根据抽样检测后的 产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品 净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 A 90 B 75 C 60 D 45 答案 A 考查考生的读图能力 正确识别有关统计图表 频率分布直方图 2 2009 四川卷文 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 618 0 2 15 这种矩 形给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂随机抽 取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 A 考查数据的数字特征 平均数 3 2009 宁夏海南卷理 对变量 x y 有观测数据理力争 1 x 1 y i 1 2 10 得散点 图 1 对变量 u v 有观测数据 1 u 1 v i 1 2 10 得散点图 2 由这两个散点图可 以判断 96 98 100 102 104 106 0 150 0 125 0 100 0 075 0 050 克 频率 组距 第 8 题图 A 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 正相关 B 变量 x 与 y 正相关 u 与 v 负相关 C 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 正相关 D 变量 x 与 y 负相关 u 与 v 负相关 选 C 考查变量间的关系 4 2009 陕西卷文 某单位共有老 中 青职工 430 人 其中青年职工 160 人 中年职工人 数是老年职工人数的 2 倍 为了解职工身体状况 现采用分层抽样方法进行调查 在抽取 的样本中有青年职工 32 人 则该样本中的老年职工人数为 A 9 B 18 C 27 D 36 答案 B 考查分层抽样方法查 5 2009 福建卷文 一个容量 100 的样本 其数据的分组与各组的频数如下表 组别 0 10 20 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数1213241516137 则样本数据落在 10 40 上的频率为 A 0 13 B 0 39 C 0 52 D 0 64 选 C 考查频数与频率的关系 练习 1 2009 年广东卷文 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2 现要从中抽取 40 名职工作样 本 用系统抽样法 将全体职工随机按 1 200 编号 并按编号顺序平均分为 40 组 1 5 号 6 10 号 196 200 号 若第 5 组抽出的号码为 22 则第 8 组抽出的号码应是 若 用分层抽样方法 则 40 岁以下年龄段应抽取 人 图 2 答案 37 20 考查系统抽样 分层抽样 3 3 2009 浙江卷文 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下 则在区间 4 5 上的数 据的频数为 30 解析 对于在区间 4 5的频率 组距的数值为0 3 而总数为 100 因此频数为 30 7 2009 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班67787 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 考查数据的数字特征 平均值与方差 8 2009 辽宁卷理 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品 第一 二 三分厂的产量之比 为 1 2 1 用分层抽样方法 每个分厂的产品为一层 从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试 由所得的测试结果算得从第一 二 三分厂取出的产品的使用寿 命的平均值分别为 980h 1020h 1032h 则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h 考查数据的数字特征 平均值与方差 答案 1013 10 2009 湖北卷文 下图是样本容量为 200 的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落在 6 10 内的频数为 数据落在 2 10 内的概率约为 考查频数与频率的关系 答案 64 11 2009 湖南卷文 一个总体分为 A B 两层 用分层抽 样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本 已知 B 层中每 个个体被抽到的概率都为 1 12 则总体中的个体数为 120 考 查简单随机事件的概率 13 2009 天津卷理 某学院的 A B C 三个专业共有 1200 名学生 为了调查这些学生勤工俭学的情况 拟采用 分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本 已知该学院的 A 专业有 380 名学生 B 专业有 420 名学生 则在该学院的 C 专业应抽取 名学生 考查分层抽样原理 40 名 17 2009 重庆卷文 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差s 克 考查数据的数字特征 标准差 答 案 2 四 方法总结与 2010 年高考预测 3 求事件发生的概率的处理方法和技巧 1 计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式 以便准确计算 事件 A 所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数 计算几何概型问题的关键是怎样把具 体问题 如时间问题等 转化为相应类型的几何概型问题 及准确计算事件 A 所包含的基本 事件对应的区域的长度 面积或体积 2 在古典概型问题中 有时需要注意区分试验过程是有序还是无序 在几何概型问题中需 注意先判断基本事件是否是 等可能 的 3 几何概型中 线段的端点 图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 4 关于统计 1 对简单随机抽样公平性的理解 即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等 2 随机数表产生的随机性 计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表 3 系统抽样中当总体个数 不能被样本容量整除时 应注意如何从总体中剔除一些个 体 4 用系统抽样法在第一段抽样时 采用的是简单随机抽样 因此第一段内每个个体被抽 到的可能性相同 而总体中个体编号也是随机的 所以保证了整个系统抽样的公平性 5 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 每一层抽样时 采用简单随机 抽样或系统抽样 分层抽样中 每个个体被抽到的可能性也是相同的 6 分层抽样充分利用了已知信息 使样本具有较好的代表性 在各层抽样时 根据具体 情况可采用不同的抽样方法 因此分层抽样在实践中有着广泛的应用 2010 高考预测 2010 年高考中 本节的内容还是一个重点考查的内容 因为这部分内容与实际生活联系比较 大 随着新课改的深入 高考将越来越重视这部分的内容 概率 统计都将是重点考查内容 至少会考查其中的一种类型 五 复习建议 1 对于一些容易混淆的概念 应注意弄清它们之间的联系与区别 2 注意体会解决概率应用题的思考方法 正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解 解 决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法 3 注意复习求线性回归方程的方法 回归分析方法 独立性检验的方法及其应用问题 1 2009 年广东卷文 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图如 图 2 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为 176cm 的同学被抽中的概率 考查考生的读图能力 准确读懂有关统计图表 并结合读 出的数据计算数字特征及古典概率 3 2009 山东卷文 一汽车厂生产 A B C 三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下表 单 位 辆 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型100150z 标准型300450600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 其中有 A 类轿车 10 辆 1 求 z 的值 2 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体 从 中任取 2 辆 求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 从中任取一个数 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 命题立意 本题为概率与统计的知识内容 涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问 题 要读懂题意 分清类型 列出基本事件 查清个数 利用公式解答 4 09 安徽文 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A 将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验 两种小麦各种植了 25 亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 品种 A 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 451 454 品种 B 363 371 374 383 385 386 391 392 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 完成所附的茎叶图 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 通过观察茎叶图 对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 思路 由统计知识可求出 A B 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图 用茎叶图处理 数据 看其分布就比较明了 解析 1 茎叶图如图所示 AB 9 735 8 7363 5371 4 8383 5 6 9 2391 2 4 457 7 5 0400 1 1 3 6 7 5 4 2410 2 5 6 7 3 3 1422 4 0 0430 5 5 344 4 145 2 用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况 而且可以看出每组中的具体数 据 3 通过观察茎叶图 可以发现品种 A 的平均每亩产量为 411 1 千克 品种 B 的平均亩产 量为 397 8 千克 由此可知 品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高 但品种 A 的亩产 量不够稳定 而品种 B 的亩产量比较集中 D 平均产量附近 5 2009 天津卷文 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法从 A B C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查 已知 A B C 区中分别有 18 27 18 个工厂 求从 A B C 区中分别抽取的工厂个数 若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比 用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率 答案 1 2 3 2 2 21 11 考点定位 本小题主要考查分层抽样 用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率等基础知识 考查运用统计 概率知识解决实际问题的能力 6 2009 福建卷文 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现一次有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 I 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 若摸到红球时得 2 分 摸到黑球时得 1 分 求 3 次摸球所得总分为 5 的概率 解 I 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 记 3 次摸球所得总分为 5 为事件 A 事件 A 包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红