数学分析第七章.ppt

在第一章与第二章中 我们已经证明了实数集中的确界定理 单调有界定理并给出了柯西收敛准则 这三个定理反映了实数的一种特性 这种特性称之为完备性 而有理数集是不具备这种性质的 在本章中 将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用 这些定理是数学分析理论的基石 7 1关于实数集完备性的基本定理 返回 一 区间套定理与柯西收敛定理 二 聚点定理与有限覆盖定理 三 实数完备性基本定理的等价性 定义1 定义1中的条件1实际上等价于条件 一 区间套定理与柯西收敛定理 定理7 1 区间套定理 或者 证由定义1的条件1可知 数列 an 递增 有上界 b1 所以由单调有界定理 可知 an 的极限存在 从而由定义1的条件2可得 因为 an 递增 bn 递减 所以 下面来证明唯一性 设 1也满足 设 这样就证明了的存在性 返回 证由区间套定理的证明可得 由极限的保号性 对于任意正数 存在N 推论设 an bn 是一个区间套 注1该推论有着很强的应用价值 请大家务必牢记 注2区间套定理中的闭区间若改为开区间 那么结 论不一定成立 例如对于开区间列 显然 即 但是定理1中的 是不存在的 这是因为 证明过程 哪一步通不过 的 例1 利用区间套定理证明柯西收敛准则 即证明数列 an 收敛的充要条件是 对任意的 证 必要性 由定理1的 推论 定义2设S为数轴上的非空点集 为直线上的 一个定点 当然可以属于S 也可以不属于S 若对 于任意正数 在 中含有S的无限个点 二 聚点定理与有限覆盖定理 为了便于应用 下面介绍两个与定义2等价的定义 定义2 定义2 若存在各项互异的收敛数列 下面简单叙述一下这三个定义的等价性 若设S是 0 1 中的无理数全体 则S的聚点集合 S 称为S的导集 为闭区间 0 1 定义2 定义2 由定义直接得到 定义2 定义2 因为 那么 互异 并且 定义2 定义2由极限的定义可知这是显然的 定理7 2 聚点定理 实数轴上的任意有界无限点 集必有聚点 我们再次使用区间套定理来证明聚点定理 请务必 证因为S为有界点集 所以存在正数M 使 现将 a1 b1 等分为两个子区间 a1 c1 c1 b1 中至少有一 个区间含有S的无限多个点 记该区间为 a2 b2 要注意在区间套的构成中所建立的性质 iii 再将 a2 b2 等分为两个子区间 同样至少有一个子 区间含有S的无限多个点 将这个区间记为 a3 b3 iii 每个闭区间 an bn 均含S的无限多个点 无限重复这个过程 就可得到一列闭区间 所以由所建立的性质 iii 这就证明了 是S的一个聚点 定理7 2有一个非常重要的推论 致密性定理 该 定理在整个数学分析中 显得十分活跃 证设 xn 为有界数列 若 xn 中有无限项相等 取 这些相等的项可成一个子列 该子列显然是收敛 若数列 xn 不含有无限多个相等的项 则 xn 作为 点集是有界的 由聚点原理 可设 是 xn 的一个 推论 致密性定理 有界数列必有收敛子列 的 收敛于 聚点 那么再由定义2 可知 xn 中有一个子列 证 例1 作为致密性定理的应用 我们来看下面两个例题 例2用致密性定理证明柯西收敛准则 证 下面证明 an 以A为极限 因为 an 是柯西列 所以对于任意正数 定义3设S为数轴上的一个点集 H为一些开区间 则称H是S的一个开覆盖 若H是S的一个开覆盖 并且H中的元素 开区间 仅有有限个 则称H是S的一个有限开覆盖 一个开覆盖 定理7 3 海涅 博雷尔有限覆盖定理 设H是闭区间 a b 的一个开覆盖 则从H中可选 证证明该定理有多种 海涅 Heine H E 1821 1881 德国 博雷尔 Borel E 1871 1956 法国 出有限个开区间 构成闭区间 a b 的一个子覆盖 要注意区间套的取法 间套定理来证明 仍然 方法 这里还是运用区 若定理不成立 也就是说 a b 不能被H中任何 再将 a1 b1 等分成两个子区间 其中至少有一个 有限个开区间所覆盖 将区间 a b 等分成两个子 区间 那么这两个子区间中至少有一个不能被H 不能被H中有限个开区间所覆盖 设该区间为 显然有 iii 对每一个闭区间 an bn 都不能被H中有限个 满足下列三个性质 将上述过程无限进行下去 可得一列闭区间 这就是说 aN bN 被H中的一个开区间所覆盖 开区间所覆盖 矛盾 区间 0 1 很明显 H中的任何有限个开区间均不 注定理7 3中的闭区间不可以改为开区间 能覆盖 0 1 我们已经学习了关于实数完备性的六个定理 它 三 实数完备性定理的等价性 确界定理单调有界定理区间套定理 下面证明这六个定理是等价的 们是 聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则 柯西收敛准则 区间套定理 聚点定理 确界定理 有限覆盖定理 单调有界定理 6 5 4 3 2 1 例3用有限覆盖定理证明聚点定理 证设S是无限有界点集 则存在M 0 使得 很明显 H覆盖了闭区间 M M 根据有限覆盖 设开区间集 矛盾 定理 存在H中的有限子覆盖 7 2闭区间上连续函数的性质 实数完备性理论的一个重要作用就是证 一 最大 最小值定理 经在第四章给出过 明闭区间上连续函数的性质 这些性质曾 三 一致连续性定理 二 介值性定理 返回 首先来看一个常用的定理 有界性定理若f x 在闭区间 a b 上连续 则f x 证用两种方法给出证明 第一种方法使用有限覆盖定理 因为f x 在 a b 一 最大 最小值定理 局部有界的性质化为整体有界性质 上每一点连续 从而局部有界 我们的任务就是将 H覆盖了闭区间 a b 由有限覆盖定理 在H中存 显然 在有限个开区间 第二种证法采用致密性定理 因为 xn 有界 从而存在一个收敛的子列 为了书 写方便 不妨假设 xn 自身收敛 令 设f x 在 a b 上无界 不妨设f x 无上界 则存在 故由归结原理可得 矛盾 最大 最小值定理 定理4 6 若函数f x 在 a b 证f x 在 a b 上连续 因而有界 由确界定理 f x 在 a b 上的值域有上确界 设 上连续 则f x 在 a b 上取最大 最小值 在 a b 上连续 从而有界 故存在G 0 使 这样就有 这与M是f x 在 a b 上的上确界矛盾 这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的 最小值 这也就是说 M与m是f x 在 a b 上的最大 定理4 7 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且 证在第四章中 我们已经用确界定理证明此定理 现在用区间套定理来证明 二 介值性定理 f a f b 将 a b 等分成两个区间 a c c b 若F c 0 下去 得到一列闭子区间 个区间的端点上的值异号 将这个过程无限进行 F c1 0 已证 不然同样可知函数F x 在其中一 将 a1 b1 等分成两个区间 a1 c1 c1 b1 若 间端点上的值异号 将这个区间记为 a1 b1 再 已证 不然 函数F x 在这两个区间中有一个区 由区间套定理 存在惟一的 an bn 满足 定理4 9 若函数f x 在 a b 上连续 则f x 在 证 证法一 首先用致密性定理来证明该定理 在 设f x 在 a b 上不一致连续 即存在 三 一致连续性定理 a b 上一致连续 究 下述证明过程中 选子列的方法值得大家仔细探 现分别取 因为 x n 有界 从而由致密性定理 存在 x n 的 连续 所以由归结原理得到 矛盾 证法二 再用有限覆盖定理来证明 以及f 考虑开区间集 那么H是 a b 的一个开覆盖 由有限覆盖定理 存在有限个开区间 对于任何 一个 也覆盖了 a b 所以由小区间的定义得知 7 3上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念 通过 一 上 下 极限的基本概念 程来说 上 下 极限也是不可缺少的工具 极限或下极限来解决问题 此外 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形 那时需要用上 册第十二 十四章讨论级数收敛性时 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件 在下 二 上 下 极限的基本性质 返回 一 上 下 极限的基本概念 注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于 内均含有中的无限多项 则称x0是数列 的一个聚点 限多个项 现举例如下 前者要求 含有无限多个点 后者要求 含有无 定理7 4有界数列至少存在一个聚点 并且有最大 但作为数列来说 它却有两个聚点 从数列聚点的定义不难看出 x0是数列的聚 点的一个充要条件是 存在的一个子列 聚点和最小聚点 故由确界原理 存在 的一个聚点 的无限多项 现依次令 这样就得到了 xn 的一个子列满足 同理可证 即证得 注由定理7 4得知 有界数列必有上 下极限 提供了一个新的平台 的上 下极限总是存在的 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的 但是有界数列 数列若有界 它的极限可以不存在 此时想通过 这样 上 下极限的优越性就显现出来了 一个 例1考察以下两个数列的上 下极限 从中可大致看出数列的极限和数列的上 下极限 之间存在着的内在联系 详细讨论请见下文 二 上 下 极限的基本性质 由上 下极限的定义 立即得出 下面这个定理刻画了极限与上 下极限之间的关 系 1 2 只有有限项 这就是说 B 不是的聚点 故仅有一个聚点A 从而 反之 若上式成立 则的聚点惟一 设为A 一的假设相矛盾 另一聚点 导致与聚点惟 性定理 这无限多项必有 的无限多项 由致密 倘若不然 则存在 此时易证 的充要条件是 对于任意的 i 存在N 当n N时 的充要条件是 对于任意的 i 存在N 当n N时 证在形式上是对称的 所以仅证明 还有聚点 这与A是最大聚点相矛盾 设这有限项 的最大下标为N 那么当n N时 上含有 xn 的无限项 即A是 xn 的聚点 而对于任意的 则取上 下 极限后 原来的不等号方向保持不变 聚点 所以存在 特别若则更有 故存在的一个收敛子列 3 4 同理可证关于上极限的不等式 而 4 式则可由 又因 1 与 3 式直接推得 证这里只证明 i ii 可同理证明 设 由定理7 7 存在N 当n N时 5 6 再由定理7 8的 4 式 得 因为是任意的 故 注这里严格不等的情形确实会发生 例如 故 求证的全体聚点的集合为 任给 欲证如若不然 则存在 之内 又因所以存在 这就是说 当时 所有的均不在 当n K时 由 7 导致所有 的或者都有或者都有 前者与B是的聚点矛盾 后者与A是 的聚点矛盾 故证得 即从而 定理7 9设 xn 为有界数列 则有 i A是 xn 的上极限的充要条件是 ii B是 xn 的下极限的充要条件是 8 9 所以有 同理 由于 这样得到的子列因仍为有界的 故其上极限 因是任意的 所以又得 从而证得 照此做下去 可求得使 使得 求上极限 由不等式性质 4 得出 亦存在 设为 10 式关于k 例3用上 下极限证明 若为有界发散数列 注本例命题用现在这种证法 可以说是最简