数学分析 第六章 中值定理1.ppt

2020 3 24 1 第六章导数应用 一 费马引理 Fermat 二 罗尔 Rolle 中值定理三 拉格朗日 Lagrange 中值定理四 柯西 Cauchy 中值定理 1微分中值定理 2020 3 24 2 一 费马引理 Fermat 定义1 极值概念 2020 3 24 3 Fermat定理 定理1 极值的必要条件 可导函数取得极值的必要条件 几何意义 2020 3 24 4 水平切线 定义 通常称导数等于零的点为函数的驻点 或稳定点 临界点 几何意义 1 若曲线在点处取得极值 2 曲线在点处具有切线 则该切线必是水平的 2020 3 24 5 由极限的不等式性及可导条件立得 所以 证完 证 则 定理证明 2020 3 24 6 研究下面两例 注 说明什么问题 是可导函数取得极值的必要条件 2020 3 24 7 二 罗尔 Rolle 定理 如果f x 满足 则至少存在 a b 使得f 0 2020 3 24 8 几何解释 连续 可导 端点值相等函数必有一最值点在区间内部取得 该最值点必为极值点 2020 3 24 9 例如 Rolle定理零点定理 如果f x 满足 则至少存在 a b 使得f 0 2020 3 24 10 证 即 有 由Fermat定理立得 证完 2020 3 24 11 注意 1 罗尔定理的条件是充分的 不必要 反例1 2 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其结论可能成立 也可能不成立 故若不满足第 2 条 有不可导点 无水平切线 2020 3 24 12 反例2 不满足第 1 条 不满足第 3 条 有不连续点 两端点值不相等 反例3 无水平切线 无水平切线 2020 3 24 13 例1 证 由零点定理 即为方程的小于1的正实根 矛盾 分析 1 有 存在性 2 仅一个 唯一性 2020 3 24 14 例2 设函数f x x 1 x 2 x 3 试判断方程f x 解 因为f 1 f 2 f 3 且f x 在 1 2 上连续 在 1 2 内可导 由罗尔定理 1 1 2 使f 1 同理 2 使f 2 又因f x 是二次方程 至多两个实根 故f x 有两个实根 分别位于 1 2 和 2 3 内 1 修改 f x x 1 x 2 x 3 x 4 结论如何 2 修改 不解方程 问 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 0 有几个实根 分别在何区间 有几个实根 分别在何区间 2 提示 是补例的导函数 用零点定理 2020 3 24 15 此条件太苛刻 三 拉格朗日 Lagrange 中值定理 注意 拉氏定理 至少存在一个 a b 使得f b f a f b a 2020 3 24 16 切线斜率 弦AB斜率 2020 3 24 17 几何解释 证明分析 弦AB方程为 2020 3 24 18 作辅助函数 拉格朗日中值公式 证 要验证 2020 3 24 19 拉格朗日公式 注意 拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导数之间的关系 增量 y的近似表达式 微分中值定理 微分近似公式 2020 3 24 20 L定理又称为有限增量公式或微分中值定理 拉格朗日中值定理几种等价形式 尽管不知的精确位置 但已经很有用了 见例 2020 3 24 21 推论 证 由假定 证毕 在上应用拉氏定理得 由的任意性立知 2020 3 24 22 例3 证明 推论的应用 证明函数为常数函数 同理可证 2020 3 24 23 例4 证明 2020 3 24 24 拉氏定理应用 证明不等式 例5 分析 据拉氏定理 由的范围 确定的范围 从而得到的范围 变形可得所求不等式 关键 将结论写成的形式 以找出 2020 3 24 25 证 由上式得 变形为 要验证 2020 3 24 26 例6 证明 2020 3 24 27 四 柯西 Cauchy 中值定理 Cauchy中值定理 2020 3 24 28 Cauchy中值定理 如果f x 及F x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 存在 a b 使得 3 对任一x a b F x 0 证明 分子 分母用Lagrange中值定理得 2020 3 24 29 几何解释 证 作辅助函数 切线斜率 弦AB斜率 曲线 即 要验证 2020 3 24 30 证完 注意 1 即为拉氏中值定理 2020 3 24 31 2020 3 24 32 三个中值定理的相互关系 Rolle定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理 注意定理成立的条件 2 证明等式与不等式 中值定理应用 1 证明方程根的存在性 唯一性 3 证明函数为常数函数 20