吉林大学历届高数考题及答案.docx

20082009学年第一学期高等数学B试卷2009年1月12日一二三四五总分得 分一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1 2设，则 3若与为时的等价无穷小，则 4设函数由方程所确定，则 5曲线在点处的曲率为 6设，则= 7 得 分二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1下列叙述正确的是（A）有界数列一定有极限（B）无界数列一定是无穷大量（C）无穷大量数列必为无界数列（D）无界数列未必发散 2设数列满足，则（A） （B）（C）不存在 （D）的收敛性不能确定 3设，在区间上可导，且，则在上有（A）（B）（C）（D） 4设有三阶连续导数，且满足,则下列结论正确的是（A）的极小值为0（B）是的极大值（C）是的极小值（D）点是曲线的拐点 5已知，则（A）0（B）2（C）（D）0.5 6摆线的一拱与轴所围的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积（A）（B）（C）（D） 7设向量满足，则必有（A） （B） （C）（D） 得 分三、计算题（共5道小题，每小题8分，满分40分）1设 求2求极限 3设的一个原函数为，求 4计算 5若点M与关于直线对称，求点M的坐标 得 分四、应用题（满分8分） 设曲线过点及作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小 得 分五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）1设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一点，使得 2. 设，证明数列收敛20082009学年第一学期高等数学B试卷 答案 2009年1月12日一二三四五总分得 分一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1 2设，则 3若与为时的等价无穷小，则 2 4设函数由方程所确定，则 5曲线在点处的曲率为 2 6设，则= 7 得 分二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）1下列叙述正确的是（A）有界数列一定有极限；（B）无界数列一定是无穷大量；（C）无穷大量数列必为无界数列；（D）无界数列未必发散。答：C 2设数列满足，则（A）（B）（C）不存在（D）的收敛性不能确定答：A3设，在区间上可导，且，则在上有（A）（B）（C）（D）答：D 4设具有三阶连续导数，且,则下列结论正确的是（A）的极小值为0（B）是的极大值（C）是的极小值（D）点是曲线的拐点答：D5已知，则（A）0（B）2（C）（D）0.5答：B 6摆线 的一拱与轴所围的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积V=（A）（B）（C）（D）答：D 7设向量满足，则必有（A）（B）（C）（D）答：C得 分三、计算题（共5道小题，每小题8分，满分40分）1设 求时 （4分）时 （8分）2求极限 解 3 设的一个原函数为，求 （8分）4计算解： 5若点M与关于直线对称，求M的坐标解：l的方向向量为 （2分）L的参数方程为过N垂直l的平面为：， （5分）l，交点为，即为MN中心设，则解得M为 （8分）得 分四、应用题（满分8分） 设曲线过点及作曲线的两条法线，求a的值使曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小解：，法线： （2分）是偶函数 （5分）， 当时，S为最小 . （8分）得 分五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）1设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使得 证明：设，在上连续，在内可导，（3分）在内至少存在一点，使得 。即 （5分）2.设，证明数列收敛证明：因为所以单调增加。 （2分）， 所以，数列收敛 （分）2009 2010学年第一学期高等数学B试卷 2010年1月18日 一二三四五总分得 分 一、 选择题（共6道小题，每小题 3分，满分18分）. 1曲线在点处的切线方程为 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2设函数 在点处有连续的导数，则满足不等式 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 3设，则 (A)；(B)；(C)；(D)4设函数在上连续，则至少存在一点，使 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 5下列反常积分发散的是 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 6曲线在面上的投影曲线方程为 (A) (B) (C) (D) 得 分 二、填空题（共6小题，每小题 3分，满分18分）.1设 ，则常数p = _2函数的第一类间断点为x =_3设函数连续且，则_4设函数连续，则 _5曲线的水平渐近线为_6已知点和点，写出与向量同方向的单位向量_得 分 三、解答题（共7道题，每小题7分，满分49分）. 1求 2设在点处有连续的导数，且，求3已知 求 4计算5设求6求函数的极值，并求曲线的拐点7求过点且通过直线的平面方程得 分 四、 （本题满分9分）设曲线，过原点作其切线求(1) 切线方程；(2)由上述曲线、切线及轴围成的平面图形的面积；(3) 由上述曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转所生成的旋转体的体积得 分 五、（本题满分6分）设在上连续，在内可导，证明：在内必存在使2009 2010学年第一学期高等数学B(I)答案及评分标准 2010年1月18日 一二三四五总分得 分 一、选择题（共6道小题，每小题 3分，满分18分）. 1曲线在点处的切线方程为 A (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2设函数 在点处有连续的导数，则满足不等式 C (A) ； (B) ； (C) ； (D) 3设，则 B (A)； (B)； (C)； (D)4设函数在上连续，则至少存在一点，使 B (A) ； (B) ； (C) ； (D) 5下列反常积分发散的是 D (A) ； (B) ； (C) ； (D) 6曲线在面上的投影曲线方程为 A (A) (B) (C) (D) 得 分 二、填空题（共6小题，每小题 3分，满分18分）.1设 ，则常数p = _3_2函数的第一类间断点为x =_0_3设函数连续且，则_1_4设函数连续，则5曲线的水平渐近线为y = 6已知点和点，写出与向量同方向的单位向量.得 分 三、解答题（共7道题，每小题7分，满分49分）. 1求 解： 原式=因为 2分 4分 7分所以原式=2设在点处有连续的导数，且，求解： 3分原式 5分 7分3已知 求 解： 3分 7分4计算解： 令 则 原式 2分 4分 7分5设 求解： 设 ，则当时，当时， 3分 5分 7分6求函数的极值，并求曲线的拐点解： ，令，得令，得， 3分因为当时，当时，所以函数有极小值 5分又当时，当时，所以曲线的拐点为 7分7求过点且通过直线的平面方程解：由于所求的平面过已知直线，所求点在平面上，所求平面的法向量取， 2分， 5分所求平面方程为，即 7分得 分 四、 （本题满分9分）设曲线，过原点作其切线(1) 求切线方程；(2) 求由上述曲线、切线及轴围成的平面图形的面积；(3) 求由上述曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转所生成的旋转体的体积解：(1) 设切点为，已知切线过原点，将代入上式得切