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机械工程测试技术基础 1 第一章信号及其描述 第一节信号的分类与描述第二节周期信号与离散频谱第三节瞬变非周期信号与连续频谱第四节随机信号 2 第一节信号的分类与描述 一 信号的分类1 确定性信号和随机信号确定性信号 可表示为一个确定的时间函数 因而可确定其任何时刻的量值 随机信号 具有不能被预测的特性 无法用数学关系式来描述 只能通过统计观察来加以描述的信号 3 确定性信号又分为周期信号和非周期信号 周期信号 定义 满足下面关系式的信号 x t x t nT0 式中 T0 周期 非周期信号 定义 不具有周期重复性的确定性信号 非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类 4 非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周期信号两类 准周期信号 由多个具有不成比例周期的正弦波之和形成 或者称组成信号的正 余 弦信号的频率比不是有理数 瞬变非周期信号 或在一定时间内存在 或随着时间的增长而衰减至零的信号 5 x t 矩形脉冲信号 y t 衰减指数脉冲信号 z t 正弦脉冲 三种瞬变非周期信号 6 7 2 连续信号和离散信号分类依据 自变量 即时间t 是连续的还是离散的 信号的幅值是连续的还是离散的 连续信号 自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 自变量是连续 但幅值为离散的信号 则称为量化信号 离散信号 信号的自变量为离散值 但其幅值为连续值时 则称该信号为被采样信号 信号的自变量及幅值均为离散的 则称为数字信号 8 9 3 能量信号和功率信号能量信号 例如 在右图所示的电路中 x t 表示电压 瞬时功率P t x2 t R 若R 1 P t x2 t 瞬时功率对时间的积分即为能量 定义 当x t 满足关系式则称信号x t 为有限能量信号 简称能量信号 矩形脉冲 衰减指数信号等均属这类信号 10 功率信号 若信号在区间 的能量是无限的但它在有限区间 t1 t2 的平均功率有限 即亦即信号具有有限的 非零 平均功率 则称信号为功率有限信号 简称功率信号 11 二 信号的时域描述和频域描述时域描述 以时间为独立变量 反映信号的幅值随时间变化的关系 频域描述 以频率为独立变量 由信号的时域描述通过适当方法变换得到 反映信号的频率结构和各频率成分的幅值 相位关系 图1 4周期方波的傅里叶级数展开式 12 上式可改写为 式中 0 2 T0 0称为基波频率 简称基频 以 为独立变量 此式即为该周期方波的频域描述 在信号分析中 将组成信号的各频率成分找出 按序排列 得出信号的 频谱 若以频率为横坐标 分别以幅值或相位为纵坐标 便分别得到信号的幅频谱和相频谱 图1 5 13 14 15 表1 1的说明 每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱 因此 在频域中每个信号都需要同时用幅频谱和相频谱描述才是完整的 16 为什么要对信号进行频域描述 信号的时域描述反映了信号瞬时值随时间变化的情况 频域描述反映了信号的频率组成及其幅值 相角的大小 为解决不同问题 需掌握信号不同方面的特征 因而可采用不同的描述方式 例如 评定机器振动烈度 时域描述 和寻找振源 频域描述 两种描述方法能互相转换 而且包含同样的信息量 17 例如某大型水电站在某一发电工况下 其厂房产生强烈振动 按理论分析和经验估计 振源可能来自水轮机或发电机的机械振动 或来自流道某一部份 如引水管 涡壳 导叶 尾水管 的水体振动 为查找振源及振源向厂房传递的路径 在水轮发电机组和厂房的多处安置拾振器 在流道多处安置压力传感器 试验时 用多台磁带记录仪同步记录近百个测点的振动及压力波动 试验完后 对记录的信号进行频谱分析 查找出强振振源来自导叶与尾水管间的局部水体共振 18 第二节周期信号与离散频谱 一 傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间上 一个周期信号x t 当满足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数 式中 1 7 19 信号x t 的另一种形式的傅里叶级数表达式 式中 An称信号频率成分的幅值 称初相角 n 1 2 20 讨论 式中第一项a0为周期信号中的常值或直流分量 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波 二次谐波 三次谐波 n次谐波 将信号的角频率 0作为横坐标 可分别画出信号幅值An和相角随频率 0变化的图形 分别称之为信号的幅频谱图和相频谱图 由于n为整数 各频率分量仅在n 0的频率处取值 因而得到的是关于幅值An和相角的离散谱线 周期信号的频谱是离散的 例题1 1 求图1 6中周期三角波的傅里叶级数 21 二 傅里叶级数的复指数函数展开式由欧拉公式可知 代入式 1 7 有 令 22 则 或 这就是傅里叶级数的复指数展开形式 1 15 23 求傅里叶级数的复系数Cn 一般情况下 Cn是复数 可写成 其中 24 绘制复指数形式的频谱 幅频谱图和相频谱图实频谱图和虚频谱图 注意 复指数函数形式的频谱为双边谱 幅频谱为偶函数 相频谱为奇函数 三角函数形式的频谱为单边谱 二者的量值关系 25 例题1 2 画出余弦 正弦函数的实 虚部频谱图 周期信号的频谱的特点 周期信号的频谱是离散谱 周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角 幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小 频率越高 幅值越小 在频谱分析中 没必要取次数过高的谐波分量 26 三 周期信号的强度表述峰值和峰 峰值均值和绝对均值有效值和平均功率 27 第三节瞬变非周期信号与连续频谱 一 傅里叶变换设x t 为 T0 2 T0 2 区间上的一个周期函数 它可表达为傅里叶级数的形式 式中将cn代入上式得 28 当T0 时 区间 T0 2 T0 2 变成 另外 频率间隔 0 2 T0变为无穷小量 离散频率n 0变成连续频率 将上式中括号中的积分记为X 则有 1 26 1 27 1 25 29 在数学上 称X 为x t 的傅里叶变换 x t 为X 的傅里叶逆变换 记为把 2 f代入式 1 25 则1 26和1 27变为 1 28 1 29 这样就避免了傅里叶变换中出现1 2 简化了公式 且有 30 非周期函数x t 存在傅里叶变换的充分条件是x t 在区间 上绝对可积 即但上述条件并非必要条件 因为当引入广义函数概念之后 许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换 31 小结 从式 1 29 可知 一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加 式中X f df的是谐波ej2 f的系数 决定着信号的振幅和相位 X f 或X 为x t 的连续频谱 由于X f 一般为实变量f的复函数 故可将其写为将上式中的称非周期信号x t 的连续幅值谱 称x t 的连续相位谱 例题1 3 求矩形窗函数的频谱 32 33 求该函数的频谱 34 35 函数的幅频谱和相频谱分别为 36 二 傅里叶变换的主要性质奇偶虚实性 37 讨论 38 对称性时间尺度改变特性 39 对称性举例 40 尺度改变性质举例a k 1b k 0 5c k 2 41 时移和频移特性 42 43 卷积特性 44 微分和积分特性 45 三 几种典型信号的频谱矩形窗函数的频谱 46 结论 矩形窗函数在时域中有限区间取值 但频域中频谱在频率轴上连续且无限延伸 实际工程测试总是时域中截取有限长度 窗宽范围 的信号 其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘 因而所得到的频谱必然是被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积 所以实际工程测试得到的频谱也将是在频率轴上连续且无限延伸 47 函数及其频谱 1 定义在 时间内矩形脉冲S t 其面积为1 当 0时 S t 的极限称为 函数 也称为单位脉冲函数 函数用标有1的箭头表示 显然 t 的函数值和面积 通常表示能量或强度 分别为 48 49 2 采样性质若f t 为一连续信号 则有f 0 t 的函数值无穷大 强度为f 0 在 积分 有 对于有延时t0的 函数 t t0 有 50 3 与其他函数的卷积 x 51 4 频谱对 t 取傅里叶变换可见 函数具有等强度 无限宽广的频谱 这种频谱通常称为 均匀谱 52 53 利用对称 时移 频移性质 还可以得到以下傅里叶变换对 54 正 余弦函数的频谱密度函数 余弦函数的频谱利用欧拉公式 余弦函数可以表达为 其傅里叶变换为 正弦函数的频谱同理 利用欧拉公式及其傅里叶变换有 55 56 等间隔的周期单位脉冲序列函数称为梳状函数 表达式为 式中Ts为周期 n为整数 n 0 1 2 3 因为周期脉冲序列函数为周期函数 所以可以写成傅里叶级数的复指数函数形式 周期单位脉冲序列的频谱 57 58 因此 有周期单位脉冲序列函数的傅里叶级数的复数表达式 根据式 59 可得周期单位脉冲序列函数的频谱 周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列 时域周期为 频域周期则为 时域脉冲强度为1 频域脉冲强度则为 60 61 第四节随机信号 一 概述随机信号特点 不能用确定的数学关系式描述 具有不能被预测的瞬时值 其值的变动服从统计规律 描述随机信号必须采用概率统计的方法样本函数 随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察 记作xi t 样本记录 在有限时间区间上的样本函数 随机过程 同一试验条件下的全部样本函数的集合 总体 记为 x t 62 63 对随机过程常用的统计特征参数 均值 均方值 方差 概率密度函数 概率分布函数和功率谱密度函数等 均值 均方值 这些特征参数均是按照集合平均来计算的 即在集合中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均 为了与集合平均相区别 把按单个样本的时间历程进行平均的计算叫做时间平均 64 随机过程的分类 平稳随机过程过程的统计特征参数不随时间的平移而变化的过程 对于一个平稳随机过程 若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征 则该过程称为各态历经随机过程 本文仅限于讨论各态历经随机过程的范围 两点说明 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的 其中的许多都具有各态历经性 有的虽不是严格的各态历经过程 也可当作各态历经随机过程处理 测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程 以其时间平均来估计集合平均 非平稳随机过程 65 二 随机信号的主要特征参数均值 方差和均方值 均值各态历经随机信号的平均值反映信号的常值分量 即常值分量 式中 T为样本长度 即观测时间 方差方差描述随机信号的波动分量 反映偏离均值的波动情况 表示为 66 均方值各态历经信号的均方值反映信号的能量或强度 表示为 标准差标准差为方差的正的平方根 均方根值均方根值为正的平方根 即 67 概率密度函数概率密度函数