《轴的扭转》PPT课件.ppt

第九章轴的扭转 ChapterNine Torsion 本章内容小结 本章基本要求 9 1圆轴扭转的应力与强度 9 2圆轴扭转的变形与刚度 9 3圆轴扭转的超静定问题 背景材料 综合训练 背景材料 背景材料 理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法 掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律 并能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算 能进行简单的扭转超静定问题的分析计算 本章基本要求 9 1圆轴扭转的应力与强度 9 1 1传动轴的外力偶矩 传动轴传递的功率 传动轴传递的转矩 注意式中 m Pk和n的单位是固定的 8kN m 画出以下结构的扭矩图 单位 kN m 3kN m 6kN m 动脑又动笔 分析与讨论 从轴的扭转强度考虑 哪一种布置最合理 单位 kN m 9 1 2圆轴扭转的平截面假设 圆轴横截面在扭转时始终保持是平面 圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线 理想实验 实验目的通过圆轴扭转的变形推断平截面假设 过轴的平面上各点在扭转中的位移情况相同吗 圆轴两端的观察者对变形的结论应该完全相同吗 结论1各圆轴扭转是轴对称的 两端的观察者应得到完全相同的观察结论 横截面圆周上AB两点间的相对位置在扭转中会改变吗 如果AB两点没有保持在原来的圆周上 两端的观察者会得到相同的观察结果吗 结论2圆轴横截面在扭转时始终保持是一个平面 如果圆轴横截面上的直径在扭转时成了一条曲线 左右两端的观察者看到的这条曲线是相同的吗 结论3圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线 9 1 3圆轴扭转时横截面上的应力 推导思路 几何关系 平截面假设 物理关系 Hooke定律 力学关系 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 切应变与相对转角之间的关系 切应力与相对转角之间的关系 相对转角表达式及切应力表达式 切应力公式推导 几何关系 平截面假设 在外表面处的切应变 在离轴心r处的切应变 物理关系 Hooke定律 是外表面沿轴线方向上的切应变 d 是前后两个端面的相对转角 切应力公式推导 力学关系 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 分析与讨论圆轴扭转时横截面上切应力方向为什么总是垂直于半径的 切应力在横截面上分布规律 强度条件 重要数据 9 1 4圆轴扭转的强度计算 例如图的轴的许用切应力为60MPa 校核强度 若将实心圆轴改为内外径之比为0 7的空心圆轴 在强度相等的条件下 求空心圆轴外径 并求两者的重量比 轴安全 扭矩图 强度相等时两种轴Wp相等 实心轴 空心轴 两者重量比 取D1为66mm 例图中结构由两段等截面圆轴构成 圆轴总长度为L 全长上作用着均布力偶矩t 材料许用切应力为 要使圆轴重量为最轻 确定两段轴的长度L1和L2 以及直径d1和d2 分析 直径的确定必须满足强度条件 扭矩图 L1区段必须以B截面强度为准 L2区段必须以C截面强度为准 L1的大小制约了d1的大小 以L1为设计变量 将体积表达为L1的函数 例图中结构由两段等截面圆轴构成 圆轴总长度为L 全长上作用着均布力偶矩t 材料许用切应力为 要使圆轴重量为最轻 确定两段轴的长度L1和L2 以及直径d1和d2 在AB段中 B截面的扭矩最大 在BC段中 C截面的扭矩最大 轴的体积 要使轴的体积为最小 应有 例设圆轴横截面上的扭矩为T 试求其1 4截面上内力系的合力的大小 方向及作用点 分析圆轴横截面上只有切应力 原则上切应力乘以微元面积并在指定区域上的积分构成其合力 由于切应力方向在各处并不一致 因此不能直接积分 应将切应力往两个坐标轴方向分解 再分别求两个分量的积分 例设圆轴横截面上的扭矩为T 试求其1 4截面上内力系的合力的大小 方向及作用点 水平方向和竖直方向分量为 水平方向合力为 垂直方向合力为 对O点取矩 总合力为 例若密圈螺旋弹簧的平均半径R远大于簧丝直径d 且簧丝倾角小于5 当轴向压力为F时 求簧丝中的最大切应力 忽略簧丝曲率和倾角 的影响 簧丝中的扭矩 剪力所引起的切应力可认为是平均分布在断面上 该区域是如何平衡的 分析与讨论 前端面上应力是如何分布的 顶面上有应力吗 顶面上应力是如何分布的 顶面上的应力合力是怎样的 前后端面上的应力合力是怎样的 试对上述各部分合力进行定量计算 圆轴扭转的刚度用两端面的相对转角来表示 注意式中 的单位是弧度 9 2圆轴扭转的变形与刚度 GIp 抗扭刚度 torsionstiffness 单位长度相对转角 刚度条件 又 例若 70MPa 求许用转矩 若端面AB的相对转角与端面BC相对转角相等 求L1 许用转矩 故 只需对右半段进行计算 例总长度为2h的钻杆有一半在泥土中 若泥土对于钻杆的阻力矩沿长度均匀分布 钻杆的抗扭刚度为GIP 求钻杆的上下端面之间的相对转角 建立如图的坐标系 下半段的扭矩 故下半段的相对转角 上半段的扭矩为m 故上半段的相对转角 故上下端面之间的相对转角 例如图的空心圆轴两截面间的相对转角为0 4 弹性模量E为210GPa 求材料的泊松比 由公式 可得 又有 故有 力学家与力学史 圆轴扭转的切应力公式是由Coulomb于1784年首先建立的 Coulomb是法国物理学家 力学家 他在摩擦学 电磁学 粘性流体等方面有重要贡献 Charles AugustindeCoulomb 1736 1806 9 3圆轴扭转的超静定问题 求解圆轴扭转的超静定问题的主要思路 在圆轴扭转的超静定问题中 仍然沿用平截面假设 平衡条件 外力偶矩 不同区域的扭矩构成平衡关系 物理条件 扭矩与转角之间的线性关系 协调条件 不同区域的转角关系 例图中铜套与钢轴紧密结合 若GCu和GSt已知 求铜套与钢轴中的最大切应力 平衡条件 物理条件 协调条件 例图中铜套与钢轴紧密结合 若GCu和GSt已知 求铜套与钢轴中的最大切应力 平衡条件 物理条件 协调条件 例在如图的结构中 求两固定端的支反力偶矩 设两端的支反力偶矩分别为mA和mB 联立解得 分析与讨论 试画出该结构的扭矩图 如果沿用扭矩的符号规定来定义角位移的正负符号 试画出角位移的图形 转角与扭矩之间是什么关系 结论扭转中的外力偶矩 扭矩 角位移的关系可以与弯曲梁中的横向力 剪力 弯矩关系相比拟 本章内容小结 最大切应力 切应力在横截面上的分布规律 当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时 应综合考虑以确定最大切应力所在的截面 实心 空心 适用于变截面或有分布力偶矩作用的情况 适用于等截面且无分布力偶矩作用的情况 分段等截面圆轴应分段求出相对转角再求和 单位长度上的相对转角 扭转超静定问题 平衡方程物理方程协调方程 综合训练 对塑性材料制成的圆轴 在最大切应力超过弹性范围情况下 分别用理想弹塑性和线性强化模型 讨论横截面上的应力分布状况