简单的线性规划问题(一)

3 3 2简单的线性规划问题 一 引入新课 1 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8h计算 该厂所有的日生产安排是什么 引入新课 1 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8h计算 该厂所有的日生产安排是什么 1 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 引入新课 1 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8h计算 该厂所有的日生产安排是什么 1 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 2 将上述不等式组表示成平面上的区域 引入新课 3 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 引入新课 3 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 设生产甲产品x乙产品y件时 工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 上述问题就转化为 引入新课 3 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 设生产甲产品x乙产品y件时 工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 上述问题就转化为 当x y满足不等式 并且为非负整数时 z的最大值是多少 讲授新课 1 上述问题中 不等式组是一组对变量x y的约束条件 这组约束条件都是关于x y的一次不等式 所以又叫线性约束条件 讲授新课 1 上述问题中 不等式组是一组对变量x y的约束条件 这组约束条件都是关于x y的一次不等式 所以又叫线性约束条件 线性约束条件除了用一次不等式表示外 有时也用一次方程表示 讲授新课 2 欲求最大值或最小值的函数z 2x 3y叫做目标函数 讲授新课 2 欲求最大值或最小值的函数z 2x 3y叫做目标函数 由于z 2x y又是x y的一次解析式 所以又叫线性目标函数 讲授新课 3 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 讲授新课 3 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 4 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 讲授新课 3 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 4 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 5 由所有可行解组成的集合叫做可行域 讲授新课 3 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 4 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 5 由所有可行解组成的集合叫做可行域 6 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 它们都叫做这个问题的最优解 例题分析 例1 设z 2x y 式中变量x y满足下列条件 求z的最大值和最小值 讲授新课 4 2 2 4 6 y x O C A B 讲授新课 我们先画出不等式组 1 表示的平面区域 如图中 ABC内部且包括边界 点 0 0 不在这个三角形区域内 当x 0 y 0时 z 2x y 0 点 0 0 在直线l0 2x y 0上 4 2 2 4 6 y x O C A B 讲授新课 l0 4 2 2 4 6 y x O C A B 作一组和l0平行的直线l 2x y z z R 讲授新课 l0 4 2 2 4 6 y x O C A B 作一组和l0平行的直线l 2x y z z R 讲授新课 l0 可知 当l在l0的右上方时 直线l上的点 x y 满足2x y 0 即z 0 而且l往右平移时 z随之增大 在经过不等式组 1 表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中 4 2 2 4 6 y x O C A B 作一组和l0平行的直线l 2x y z z R 讲授新课 l0 讲授新课 4 2 2 4 6 y x O C A B l0 以经过点A 5 2 的直线l2所对应的z最大 以经过点B 1 1 的直线l1所对应的z最小 讲授新课 以经过点A 5 2 的直线l2所对应的z最大 以经过点B 1 1 的直线l1所对应的z最小 4 2 2 4 6 y x O C A B l2 l0 讲授新课 以经过点A 5 2 的直线l2所对应的z最大 以经过点B 1 1 的直线l1所对应的z最小 4 2 2 4 6 y x O C A B l1 l2 l0 讲授新课 以经过点A 5 2 的直线l2所对应的z最大 以经过点B 1 1 的直线l1所对应的z最小 所以 zmax 2 5 2 12 zmin 2 1 1 3 4 2 2 4 6 y x O C A B l1 l2 讲授新课 练习1 解下列线性规划问题 求z 2x y的最大值和最小值 使式中的x y满足 约束条件 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 作出直线l0 2x y 0 再将直线平移 当l0平行线l1过B点时 可使z 2x y达到最小值 当l0平行线l2过C点时 可使z 2x y达到最大值 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 作出直线l0 2x y 0 再将直线平移 当l0平行线l1过B点时 可使z 2x y达到最小值 当l0平行线l2过C点时 可使z 2x y达到最大值 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 l0 作出直线l0 2x y 0 再将直线平移 当l0平行线l1过B点时 可使z 2x y达到最小值 当l0平行线l2过C点时 可使z 2x y达到最大值 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 l1 l0 作出直线l0 2x y 0 再将直线平移 当l0平行线l1过B点时 可使z 2x y达到最小值 当l0平行线l2过C点时 可使z 2x y达到最大值 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 y x O 1 1 l1 l0 l2 作出直线l0 2x y 0 再将直线平移 当l0平行线l1过B点时 可使z 2x y达到最小值 当l0平行线l2过C点时 可使z 2x y达到最大值 讲授新课 解 先作出可行域 见图中 ABC表示的区域 且求得 zmin 2 1 1 3 zmax 2 2 1 3 y x O 1 1 l1 l0 l2 讲授新课 解答线性规划问题的步骤 讲授新课 解答线性规划问题的步骤 第一步 根据约束条件画出可行域 讲授新课 解答线性规划问题的步骤 第一步 根据约束条件画出可行域 第二步 令z 0 画直线l0 讲授新课 解答线性规划问题的步骤 第一步 根据约束条件画出可行域 第二步 令z 0 画直线l0 第三步 观察 分析 平移直线l0 从而找到最优解 讲授新课 解答线性规划问题的步骤 第一步 根据约束条件画出可行域 第二步 令z 0 画直线l0 第三步 观察 分析 平移直线l0 从而找到最优解 第四步 求出目标函数的最大值或最小值 例2 求z x y的取值范围 使式中的x y满足约束条件 讲授新课 讲授新课 例3 求z x2