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文档简介

第四节重积分应用举例 一 体积 曲顶柱体的体积为 2 空间区域的体积为 利用二重积分可以计算空间立体的体积 例1求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 被圆柱面 所截得的 解 设 由对称性可知 例2求球体 含在柱面内的 立体的体积 例3求半径为R的球面 与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积 R r 2Rcos M r 二 曲面的面积 设曲面的方程为 如图 曲面S的面积元素 曲面面积公式为 解 例求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 则所求体积为 例3 求x2 y2 a2与x2 z2 a2相截得立体的表面积 解 例4 求球面x2 y2 z2 a2的表面积 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 同理可得 三 质心 重心 1 平面薄片的质心 重心 设有一平面薄片 占有xOy面上的有界闭区域D 其面密度为 x y 设 x y 在D上连续 则由 得平面薄片的重心为 当薄片是均匀的 质心称为形心 或中心 解 因区域D关于y轴对称 故形心在y轴上 区域D的面积 回顾定积分公式 2 空间物体的重心 当物体是均匀的 重心称为形心 四 转动惯量1 平面薄片的转动惯量 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 设有一平面薄片 占有xOy面上的有界闭区域D 其面密度为 x y 设 x y 在D上连续 则 薄片对于原点的转动惯量 解 如图建立坐标系 对y轴的转动惯量为 同理 对x轴的转动惯量为 解 2 空间物体的转动惯量 对于x轴的转动惯量 对于y轴的转动惯量 对于z轴的转动惯量 解 G为引力常数 物体对点处单位质点的引力 五 引力1 空间物体对质点的引力 解 由积分区域的对称性知 解 由积分区域的对称性知 薄片对轴上单位质点的引力 G为引力常数 2 平面薄片对质点的引力 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用 立体的体积 曲面的面积 物理应用 质心 转动惯量 对质点的引力 注意审题 熟悉相关物理知识 六 小结 思考题 例3 求
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