向量组的秩-例题选讲.ppt

1 单个向量组成的向量组 1 若 0 则线性相关 2 若 0 则线性无关 两个向量组成的向量组 1 若对应分量成比例 则线性相关 2 若对应分量不成比例 则线性无关 复习线性相关性的判定理论 2 增加 减少 个数不改变相 无 关性 5 6 增加 减少 维数不改变无 相 关性 3 7 向量组 1 2 m线性相关性 x1 1 x2 2 xm m 0有非零解 齐次线性方程组AX 0有非零解其中A 1 2 m X x1 x2 xm T 8 设有n个n维向量 1 2 n 1 2 n线性相关 1 2 n 0 1 2 n线性无关 1 2 n 0 9 Rn中 n 1个向量一定线性相关 10 矩阵判别法 4 4 3向量组的秩 极大线性无关组与秩 2 向量组的等价 3 向量组的秩与矩阵的秩的关系 本节主要内容 5 4 3 1向量组的极大无关组与秩 定义1 设S是n维向量构成的向量组 在S中选取r个向量 如果满足 1 线性无关 2 任取S 总有线性相关 则称向量组为向量组S的一个 极大线性无关组 简称极大无关组 数r称为该向量组的秩 记为 r 1 2 s r或秩 1 2 s r 6 设有向量组 1 1 1 1 T 2 2 1 0 T 3 3 2 1 T 求向量组的秩和极大无关组 因 1 2线性无关 且 例1 所以 1 2为极大无关组 可知 1 3和 2 3也都是极大无关组 故秩 1 2 3 2 3 1 2 解 7 定理4 2设n维向量 1 2 m线性无关 而 1 2 m 线性相关 则 可由 1 2 m线性表示 且表法唯一 证由 1 2 m 线性相关 存在不全为零的数k1 k2 km l使得 下面证明只有l 0 反证法 线性表示唯一性定理 8 如果l 0 则有k1 k2 km不全为零 使 于是 1 2 m线性相关 与已知矛盾 从而l 0 故有 即 可由 1 2 m线性表示 下面来证明表示的唯一性 9 假若 有两种表示法 设 两式相减 得 由 1 2 m线性无关 得 可由 1 2 m唯一线性表示 故 10 设有两个n维向量组 若 I 中每个向量都可由 II 线性表示 则称向量组 I 可由向量组 II 线性表示 若向量组 I 和 II 可以互相线性表示 则称向量组 I 与 II 等价 定义2 4 3 2向量组的等价 等价的性质 自反性 对称性 传递性 n维向量组 存在数 使得 即 定义 存在r s矩阵K 使得Bn s An r 向量组 II 可由向量组 I 线性表示 12 极大无关组与原向量组的关系 极大无关组之间的关系 这都要用到两个向量组之间的关系 向量组极大无关组的几个问题 向量组与它的极大无关组等价 证 设 I 极大无关组 不妨设 II 性质1 的秩为r 是 I 的一个 13 即 II 可由 I 线性表示 故 I 与 II 等价 j显然可由 1 2 r线性表示 如果 j r 1 m 向量组 1 2 r j一定 线性相关 所以 j j r 1 m 可以由 1 2 r线性表示 I 可由 II 线性表示 14 证设 I II 是向量组S的两个极大无关组 由性质1知 I 与S等价 II 与S等价 由传递性 I 与 II 等价 向量组的任意两个极大无关组等价 性质2 设有n维向量组 若 I 线性无关 且 I 可由 II 线性表示 则r s 定理4 3 15 证 因为向量组 I 可由 II 线性表示 故有 线性无关 由矩阵判别法知 故r s I II 16 推论2 若 I II 都线性无关 且 I 与 II 等价 则r s 向量组的 两个极大无关组所含向量个数相等 推论3 若 I 可由 II 线性表示 则 秩 I 秩 II 如果向量组 I 可由 II 线性表示 且r s 则 I 线性相关 推论1 17 证设r I r r II s I II 分别是 I II 的极大无关组 显然 I II 含向量的个数分别是r与s 因为 I 可由 I 线性表示 I 可由 II 线性表示 而 II 可由 II 线性表示 所以 I 可由 II 线性表示 由定理4 3有r s 等价的向量组等秩 18 设 若向量组 1 2 3线性无关 证明向量组 1 2 3也线性无关 证1由已知可以解得用 1 2 3来表示 1 2 3的表达式 故两向量组等价 等秩 r 1 2 3 3 r 1 2 3 3 1 2 3线性无关 例2 19 证2 故两向量组等价 等秩 则 1 2 3线性无关 20 4 3 3向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理4 4 r An m A的列向量组的秩 分析 记r A r 往证的秩为r 即 只要证的极大无关组含r个向量 证 记Dr对应的r列为 是r维线性无关向量的接长 仍线性无关 是线性相关的 下证 21 j不在i1 i2 ir中 j在i1 i2 ir中 线性相关 r 1列对应的子矩阵记为A1 因为 是一个极大无关组 故 由 又有A的行秩 22 设AB 0 若A的列向量组线性无关 则B 0 若B的行向量组线性无关 则A 0 若B 0 则A的列向量组线性相关 若A 0 则B的行向量组线性相关 分析设B B1 B2 Bm AB 0 ABi 0 A的列向量组线性无关 AX 0只有零解 Bi 0 i 1 m B 0 其余情况可以类似得到 例3 23 秩等 极大无关组的位置对应相同 表示系数对应相同 当时 n维列向量组S 则向量组与 初等变换法 极大无关组和秩的求法 24 求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩 并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示 解通过初等行变换把A化为行最简形 例4 25 为一个极大无关组 26 解法1 是该向量组的一个极大无关组 例5 27 解法2 2 是该向量组的一个极大无关组 和也是 3 1 秩 3 28 总结 向量组的有关结论 一 理解A BC 二 S的极大无关组 1 定义 2 S 则可被极大无关组线表 且表法唯一 3 S与极大无关组 极大无关组 极大无关组 4 S的各极大无关组含向量个数相等 秩 三 重要结论 Th4 2 Th4 3 组 I 可被 II 线表示 r s 组 I 与 II 等价 r s 推2 推3 组 I 可被 II 线表 秩 I 秩 II 组 I 与 II 等价 秩 I 秩 II 四 秩 极大无关组 表示系数的求法 Th4 4 29 例题选讲 30 判断下列命题是否正确 1 若向量组线性相关 则其中每一向量都是其余向量的线性组合 解不正确 如e1 e2 2e2线性相关 e1不能用e2 2e2线性表示 ei是第i个单位向量 2 若一个向量组线性无关 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合 解正确 用反证法 若存在一向量是其余向量的线性组合 则线性相关 例1 31 3 若 1 2线性相关 1 2线性相关 则 1 1 2 2也线性相关 解不正确 如 1 0 2 0 线性相关 0 1 0 3 线性相关 但 1 1 2 3 线性无关 4 若 1 2 3线性相关 则 1 2 2 3 3 1也线性相关 解正确 不妨设 1可由 2 3线性表示 则 1 2 2 3 3 1可由 2 3线性表示 32 5 1 2 m线性无关 1 2 m中任何两个都线性无关 所以线性相关 中任何两个都线性无关 但 反例 解不正确 只是必要条件 非充分 33 设向量组 线性无关 线性相关 以下命题正确的是 A 可以由 线性表示 B 不可由 线性表示 C 可以由 线性表示 D 不可由 线性表示 例2 34 例3 R I R II r 不妨设 1 2 r是 I 的极大无关组 由 I 与 II 等秩知 1 2 r也是 II 的极大无关组 所以 能由 1 2 r线性表示 即 也能由 I 线性表示 所以 I 与 II 等价 显然 I 能由 II 线性表示