大学物理(上、下) 陈曙光 湖大出版下13-19.doc

1第十三章 静电场P38E2EE1q2ACq1B图13.1131 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强解答根据点电荷的场强大小的公式，其中1/(40) = k = 9.0109Nm2C-2点电荷q1在C点产生的场强大小为，方向向下点电荷q2在C点产生的场强大小为，方向向右C处的总场强大小为，总场强与分场强E2的夹角为132 半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+和-，求圆心处的场强ExxERdsEyOy解答在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为dq = ds，在O点产生的场强大小为，场强的分量为dEx = dEcos，dEy = dEsindsExxEREyOy对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为133 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强解答（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)olxxdlyP1r-LLd1在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场强大小通过积分得 将数值代入公式得P1点的场强为= 2.41103(NC-1)，方向沿着x轴正向olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2（2）建立坐标系，y = d2在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为 ，由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sin由图可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin2，因此 ，总场强大小为 将数值代入公式得P2点的场强为= 5.27103(NC-1)方向沿着y轴正向讨论（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得，保持d1不变，当a时，可得， 这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小（2）由式得，当a时，得 ， 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1RO图13.4134 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问为何值时，圆心O点处的场强为零解答设电荷线密度为，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强ROxddE在圆弧上取一弧元 ds =R d，所带的电量为 dq = ds，在圆心处产生的场强的大小为，由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为 dEx = -dEcos总场强为，方向沿着x轴正向OEExR再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为， 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为，方向沿着x轴负向当O点合场强为零时，必有，可得 tan/2 = 1，因此 /2 = /4，所以 = /2PbaQd图13.5135 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如图所示试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强PbaOxdxy解答（1）建立坐标系在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 d = d x，根据直线带电线的场强公式，得带电直线在P点产生的场强为，其方向沿x轴正向由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 场强方向沿x轴正向QbdOzdxxyrdE（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为d = d x，带电直线在Q点产生的场强为，沿z轴方向的分量为，设x = dtan，则dx = dd/cos2，因此积分得 场强方向沿z轴正向讨论（1）薄板单位长度上电荷为 = b，式的场强可化为，当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为， 这正是带电直线的场强公式（2）也可以化为，当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为，这也是带电直线的场强公式当b时，可得， 这是无限大带电平面所产生的场强公式136 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解答点电荷产生的电通量为e = q/0（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为1 = e/6 = q/60（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为1 = e/24 = q/240；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零137 面电荷密度为的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示求通过此半球面的电通量RO图13.7解答设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面球面内包含的电荷为 q = R2，通过球面的电通量为 e = q/0，通过半球面的电通量为e = e/2 = R2/20138 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2处各点的场强解答由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r R1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = l，穿过高斯面的电通量为，根据高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2）139 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强解答方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = ES2S1ES1S2EEd2rS0ES0在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =V = 2rS，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = r/0，(0rd/2)（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES，高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = d/20，(rd/2) 方法二：场强叠加法E2dyryoE1d（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为d = dy，产生的场强为 dE1 = d/20，积分得，同理，上面板产生的场强为，r处的总场强为E = E1-E2 = r/0（2）在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20，E就是平板表面的场强平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式ORaRO图13.101310 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为RR的小球体，如图所示，试求两球心O与O处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场解答挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加对于一个半径为R，电荷体密度为的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程P点场强大小为当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程P点场强大小为O点在大球体中心、小球体之外大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为，方向由O指向OO点在小球体中心、大球体之内小球体在O点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为，方向也由O指向OOarOrErErEP证明在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为，方向如图所示设两场强之间的夹角为，合场强的平方为 ，根据余弦定理得 ，所以 ，可见：空腔内任意点的电场是一个常量还可以证明：场强的方向沿着O到O的方向因此空腔内的电场为匀强电场-q+qOBDCA图13.111311 如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功解答正负电荷在O点的电势的和为零： UO = 0；在C点产生的电势为，电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R1312 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和BA平面的电荷面密度为2，B平面的电荷面密度为，两面间的距离为d当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？ 解答两平面产生的电场强度大小分别为EA = 2/20 = /0，EB = /20，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20，方向由A平面指向B平面两平面间的电势差为U = Ed = d/20，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qd/201313 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解答带电球面在外部产生的场强为，由于 ，当UR = 0时，1314 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（rR2）oR2R1R3证明方法一：并联电容法在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当R3趋于无穷大时，C2 = 40R2并联电容为 方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为oR2R1r图14.8148 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为r的均匀电介质，求电容C为多少？解答球形电容器的电容为对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：当电容器中充满介质时，电容为：由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：149 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为1和2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容d212d1图14.9解答假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2总电容的倒数为，总电容为 1410 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为的介质设沿轴线单位长度导线上的电荷为，圆筒的电荷为-，略去边缘效应求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？DS1S2S0rR2R1l解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为 q = l，根据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = /2r，方向垂直中心轴向外电场强度为 E = D/ = /2r，方向也垂直中心轴向外取一条电力线为积分路径，电势差为电容为 在真空时的电容为，所以倍数为C/C0 = /01411 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为r设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度解答（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q = Q0，根据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = Q0/4r2，方向沿着径向用矢量表示为D = Q0r/4r3电场强度为 E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿着径向由于D = 0E + P，所以 P = D - 0E = 在介质之外是真空，真空可当作介电常量r = 1的介质处理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，P = 0（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0 = Q0r/40r3；极化电荷q1产生的场强为E = q1r/40r3；总场强为 E = Q0r/40rr3由于 E = E0 + E，解得极化电荷为 ，介质层内表面的极化电荷面密度为在介质层外表面，极化电荷为，面密度为1412 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解答两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为W1:W2 = C2:C1 = 2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为W1:W2 = C1:C2 = 1:21413 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U将一块厚度为d相对介电常量为r的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解答平行板电容器的电容为C = 0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = 0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = 0rS/2d两个电容器并联，总电容为C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，静电能为W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1414 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为r的液体中求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度解答（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + r)0S/2d（2）电容器充电前的电容为C0 = 0S/d，充电后所带电量为 Q = C0U当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = 0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = 0rS/2d设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1 + Q2 = Q 由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2 解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为1415 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(r = 5)将电容器与300V的电源相连求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解答平行板电容器的电容为C0 = 0rS/d，静电能为 W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的电容为C = 0S/d（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2，电能器能量变化为W = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - r)0SU2/2d = -3.1810-5(J)（2）充电后所带电量为 Q = C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C，电能器能量变化为= 1.5910-4(J)1416 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内解答设圆柱形电容器电荷线密度为，场强为 E = /20r，能量密度为 w = 0E2/2，体积元为 dV = 2rldr，能量元为 dW = wdV在半径a到R的圆柱体储存的能量为当R = b时，能量为；当时，能量为，所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内1417 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为的电介质（忽略边缘效应）当这两个导体带有等量异号电荷(Q)时，求：（1）在半径为r(a r b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？解答（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 = Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = /2r = Q/2rl，场强为 E = D/ = Q/2rl，能量密度为w = DE/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄壳的体积为dV = 2rldr，能量为 dW = wdV = Q2dr/4lr（2）电介质中总能量为（3）由公式W = Q2/2C得电容为1418 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？解答当两个电容串联时，由公式，得 加上U = 1000V的电压后，带电量为Q = CU，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿 第十五章 稳恒电流的磁场 P135151 充满r = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率rSq-ql解答设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为设t时刻电容器带电量为q，则电荷面密度为 = q/S，两板间的场强为 E = / =q/r0S，电势差为 U = El =ql/r0S，介质中的电流强度为，负号表示电容器上的电荷减少微分方程可变为，积分得 ，设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为 =1.41013(m)152 有一导线电阻R = 6，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量（1）在24s内有稳恒电流通过导线；（2）在24s内电流均匀地减少到零 解答（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生的热量为 Q = I2Rt = 225(J)（2）电流变化的方程为I24ot/si/A1.252.5 ，由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在i-t图中，在024秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面积是相等的在dt时间内导线产生的热量元为dQ = i2Rdt，在24s内导线产生的热量为=300(J)153 已知铜的相对原子质量A = 63.75，质量密度 = 8.9103kgm-3 （1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过6Amm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？ （2）求T = 300K时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？解答（1）原子质量单位为u = 1.6610-27(kg)，一个铜原子的质量为m = Au = 1.05810-25(kg)，铜的原子数密度为 n = /m = 8.411028(个m-3)，如果一个铜原子有一个自由电子，n也是自由电子数密度，因此自由电子的电荷密度为e = ne = 1.341010(Cm-3)铜线内电流密度为 = 6106(Am-2)，根据公式 = ev，得电子的漂移速度为 v = e/ = 4.4610-4(ms-1)（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气”，电子做热运动的平均速度为其中k为玻尔兹曼常数k = 1.3810-23JK-1，me是电子的质量me = 9.1110-31kg，可得 = 1.076105(ms-1)，对漂移速度的倍数为/v = 2.437108，可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在热运动基础上的运动ICObaDA图15.4154 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形求圆心O处的磁感应强度B = ？lrIdlIdlCObaDA解答电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根据毕-萨定律：，圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为，由于 dl = ad，积分得OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零在AC段，电流元在O点产生的磁场为，由于 l = bcot( - ) = -bcot，所以 dl = bd/sin2；又由于 r = b/sin( - ) = b/sin，可得 ，积分得同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2O点总磁感应强度为讨论（1）假设圆弧张角为，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为（2）有限长直导线产生的磁感应大小为BI1b2对于AC段，1 = /2、2 = 3/4；对于CD段，1 = /4、2 = /2，都可得上述公式可以直接引用155 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处求圆心O处的磁感应强度B = ？XYRIZo图15.5解答在直线磁场公式中，令1 = 0、2 = /2，或者1 = /2、2 = ，就得半无限长导线在端点半径为R的圆周上产生的磁感应强度两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = 0I/2R半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为Bx = 0I/4RO点的磁感应强度为场强大小为，与X轴的夹角为156 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I求正方形中心O处的磁感应强度B = ？IODBCA图15.6解答正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：，令1 = /4、2 = 3/4、R = a/2，AD在O产生的场强为，O点的磁感应强度为，方向垂直纸面向里xO2CIOxRBO1C2aIRB图15.7157 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场证明方法一：用二阶导数一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为，方向相同，总场强为B = B1 + B2一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一