2013年高考数学试卷分析[1].doc

2013年高考数学试卷分析2013年普通高考数学课标卷遵循课程标准版考试大纲和考试说明的各项要求，试题科学、规范、试卷结构、题型、题量相对稳定，难度设置比较合理。试题从数学基础知识、数学思维方法和学科能力出发，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质，考查考生的数学素养和学习潜能，试卷贴近中学数学实际，有利于中学数学教学和课程改革，有利于高校选拔有学习潜能的新生，是一份难得的，具有较高信度、效度、必要的区分度和适当的灵活度的好试卷。 、总体评价一、试卷结构全卷分为第卷和第卷两部分（共计150分）。第卷为12个选择题，全部为必考内容（均为单选题，每题5分，共60分）。第卷为非选择题，分为必考和选考两部分。必考部分由4个填空题（每题5分，共20分）和5个解答题（每题12分，共60分）组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”三个解答题，考生从中任选一题（每题10分，若多做，则按所做的第一部分给分，总分10分）作答。二、试卷考点内容试卷内容覆盖高考所有考点的80%左右，且都符合考纲大纲和考试说明的各项要求，试卷在全面考查基础知识的同时，重点突出，解三角形（或数列）、立体几何、统计与概率、解析几何、函数与导数等主干知识在解答题中得到了重点考查。同时，在选择题和填空题中覆盖了集合、函数、复数、算法、三视图、二项式定理、数列、推理、导数运用、线性规划、向量、三角函数等内容。选学内容继续以选考题的形式出现，突出了课程内容的选择性。三、试卷特点1、注重基础考查，试题区分度明显选择、填空题注重基础知识、基本方法、基本技能的考查，试题简洁平稳，难度适中，有利于稳住考生情绪，发挥最佳水平；解答题呈现了高中数学主干知识的重点，试题均以多问的形式出现，难度层次分明，有利于考生的个性发展。2、淡化技巧重视通性通法，能力立意强化思维纵观全卷，突出体现了对五个能力及两个意识考查的同时,加强了对数学思想与方法的考查，试题注重通性通法，淡化了解题的特殊技巧。、试题分析一、选择题（1）已知集合，则（A）0，1，2 （B）（C）-1，0，2 （D）【考查目标】本题考查集合的概念和表示方法，集合与集合之间的关系，考查考生的逻辑推理能力。【解题思路】由,故选A。【试题评价】试题以考生最熟悉的知识呈现，体现面向全体考生、注重考查基础知识的特点，考查考生的逻辑思维能力。（2）设复数满足，则（A）、（B）（C）（D）【考查目标】本题考查复数的基本概念及复数代数形式的运算。【解题思路】得 故选A 【试题评价】试题以全体考生熟悉的复数的概念及复数代数形式呈现，体现了对基础知识与基本技能的有机结合，从而消除了考生的紧张情绪，促使考生以平和的心态稳定发挥。（3）等比数列的前n项和为，已知， = 9，则=（A）（B）（C）（D）【考查目标】本题考查等比数列的概念及前n项和公式的运用。考查考生运算求解能力。【解题思路】由得得又由，故选C。 【试题评价】试题以数列中最基本的等比数列的概念及前n项和公式呈现，考查考生对基础知识的运用及运算求解能力，有利于中学数学教学。（4）已知为异面直线，平面，平面。直线满足，则（A）且 （B）且（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于【考查目标】本题主要考查借助空间图形对空间点、线、面进行位置关系的判定，考查考生的空间想象能力。【解题思路】因为平面，平面且为异面，所以，平面与平面不平行，故A错误；又因为平面，则直线与平面不垂直，故B错误；由条件知平面和平面相交，因为平面，平面，则都与和的交线垂直，又因为，所以，与和的交线平行，故D正确。【试题评价】试题以直线与平面垂直、直线与直线垂直、平面与平面相交等性质来判定直线与直线的位置关系，从而考查了考生的空间想象能力。（5）已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()（A）-4（B）-3（C）-2 （D）-1【考查目标】本题主要考查二项式定理，利用二项展开式的通项公式求解展示中的项。考查考生的运算求解能力及化归思想。【解题思路】因为(1x)5的二项展开式的通项为(0r5，rZ)，则含x2的项为ax(105a)x2，所以105a5，a1.【试题评价】试题解决的关键是要分析出展示中的项是怎样产生的。由于1+ax中只能提供1和ax两项，所以只需找出的展开式中项即可。（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A） （B）（C） （D）【考查目标】本题考查考生对程序框图中每一个程序的作用和基本逻辑结构的理解，要求考生领会算法含义和算法思想，考查考生的逻辑思维能力和数字处理能力。【解题思路】第一：；第二:10； 第十：,，故选B.【试题评价】随着信息技术的发展和普及，算法思想应该成为现代中学生必须具备的一种数学素养，算法是考生必须具备的新“双基”。本题设计面向全体考生，让考生在解决数学问题的过程中理解程序框图的基本逻辑结构和语句，理解算法思想并能在实践中自觉应用。本题准确地把握了算法教学的能力要求。（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为【考查目标】本题不仅考查考生对立体几何知识和数学思想方法的掌握程度，更是考查考生空间想象能力和逻辑思维能力。【解题思路】由空间直角坐标系及四面体图形可知点（1,1,0）和点（0,1,1）在zox平面内的投影为（1,0,0）和（0,0,1）。故选A【试题评价】试题主要考查空间几何体三视图的判断，考生需要结合几何体的直观图判断三视图的形状，注意图中虚实线的含义。能面向全体考生，注重基础知识，准确把握考试说明对立体几何内容的能力考查要求，试题设计新颖，能有效地考查考生的空间想象能力，有利于促进中学数学教学。（8）设,则（A） （B） （C） (D)【考查目标】本题考查对数的运算性质及对数函数的基本性质。考查考生的化归能力。【解题思路】由, , 因为 ，所以abc,故选D。【试题评价】试题利用对数的运算法则将a、b、c所表示的式子转化为对数、大小的比较，根据对数函数的性质即可得出结论。从而体现了数学的化归思想。（9）已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()(A) (B) ( C)1 (D)2答案：B【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查考生分析问题、解决问题的能力，查考生运算求解能力、作图能力及数形结合思想和转化思想。【解题思路】解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2xy1，因为直线2xy1与直线x1的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线ya(x3)过点(1，1)，代入得，所以.答案：B【试题评价】试题面向全体考生，侧重知识和方法的应用，有效检测考生对线性规划问题的理解和应用。（10）已知函数下列结论中错误的是（A）（B）函数的图像是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则【考查目标】本题考查导数在研究函数中的应用，考查了函数思想和转化思想及数形结合思想。，【解题思路】由题意知，导函数的图象开口向上，若是的极小值点，则是方程=0的较大根，所以选项C错误，故选C。【试题评价】试题考查函数与导数的关系，利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重点知识。（11）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或【考查目标】本题考查抛物线的概念、标准方程和几何性质及圆的基础知识，考查数形结合、方程、化归等数学思想，考查考生分析问题和解决问题的能力。【解题思路】解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得则又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为将代入得，即，所以由，得，解之得p2，或p8.所以C的方程为或故选C.【试题评价】试题重点考查抛物线的基本知识和圆的相关性质，注重通性通法，淡化了解题技巧，有利于促进中学数学教学。（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A） (B)（，） ( C)（ ，） (D) , ）【考查目标】本题主要考查直线方程的基础知识及数形结合、分类讨论等数学思想，考查考生分析问题和解决问题的能力。【解题思路】分成三种情况讨论（图略）：、当过点且与直线相交于点D时，因为的面积为面积的一半，所以点D到AB的距离为OC的一半，故D坐标 ，又、都在上，所以由 解得 ； 、当和轴交点M在与点之间时，不妨设为，则；又与直线相交于点，由 ， 又，则 得即，因为,故、当和轴交点在A点左侧时，由知b不能超过；但也不能等于0。当趋于0时，直线近似平行于轴 。不妨设，则直线为且与线段CA,CB分别相交于M,D两点，根据直角三角形ABC的边长AC=， BC=，AB=2,及面积为，可得CM=CD=1，则MD=,所以的ND边上的髙为，则 ，因为所以。 综上可知，的取值范围为：，故选B。 【试题评价】试题根据直线在坐标系中的不同位置及直线的基本知识，结合图形，采用分类讨论方法确定截距的取值范围，为考生灵活运用数学知识、思想方法解决实际问题提供了广泛空间。二、填空题（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.【考查目标】本题考查向量的概念、几何意义、模和向量夹角的概念，考查平面向量的加减运算、数量数量积运算的求法，考查考生的运算求解能力。【解题思路】由条件知,由,【试题评价】试题注重知识的理解和综合运用，有利于推进中学数学教学。（14）从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=_.【考查目标】本题是古典概型公式的运用，考查考生分析问题及运算能力。【解题思路】由取出的两数之和为5可知，这两数为1与4或2与3两组，而概率为。所以，从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数共有28组不同的结果。由得出，故填8。【试题评价】试题根据古典概型的概率求出基本事件的个数，再运用组合数公式进行运算求解。（15）设为第二象限角，若，则=_.【考查目标】本题考查三角函数基本公式的简单的恒等变换及数学的化归思想。考查考生的运算求值能力。【解题思路】由得 得又由，得，因为为第二象限角，所以，所以，即。故填。【试题评价】试题根据两角和的正切公式求出的正切值。利用转化思想将弦化切得出结论，考查了数学的化归思想及考生的运算能力。（16）等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_答案：49解析：设数列an的首项为a1，公差为d，则S1010a145d0，S1515a1105d25.联立，得a13，所以Sn.令f(n)nSn，则，.令f(n)0，得n0或.当时，f(n)0,时，f(n)0，所以当时，f(n)取最小值，而nN，则f(6)48，f(7)49，所以当n7时，f(n)取最小值49.【试题评价】试题注重对基础知识和运算能力的考查，有利于中学数学教学。三解答题（17）ABC的内角A、B、C的对边分别为，已知。（）求B； （）若，求ABC面积的最大值。【考查目标】本题考查考生对正弦定理、余弦定理、三角恒等变形、三角形内角和定理及三角形面积公式的综合应用能力及运算求解能力。【解题思路】()由已知和正弦定理得 又故 由,及的 ，又。() 的面积由已知及余弦定理得 ，又，故 ，当且仅当时，等号成立，因此面积的最大值为。【试题评价】试题面向全体考生，考生容易入手，在第()问中，考生运用正弦定理把题干中的边角方程关系转化为关于角的三角函数方程，这是问题解决的关键。在第()问中，考生运用余弦定理获得关于b,c的两个方程，这是问题解决的基本思路。（18） 如图，直棱柱中，别是，的中点。（）证明：平面 ； （）求二面角的正弦值【考查目标】本题考查直棱柱的概念、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查二面角的概念和计算，考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【解题思路】(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.【试题评价】试题以考生熟悉的直棱柱，通过问题的分层设计，使不同层次考生的水平都得以发挥。试题准确把握相关几何要素，把“综合推理论证”和“向量计算验证”巧妙融入试题设计中，使空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到充分考查，体现了课程标准对立体几何教学的能力要求。（19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t,该农产品。以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示一个销售季度内经销该农产品的利润。（）将T表示为x的函数（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例频率/组距00300025002000150010组距150140130120110100如：若则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100，110的概率），求T的数学期望。【考查目标】本题考查样本频率分布直方图的意义、作用以及用样本频率分布估计总体分布思想，考查离散型随机变量的数学期望和方差。考查考生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力和创新应用能力。【解题思路】（）当时，,当时，所以，（）由（）知利润T不少于57000元，当且仅当.由直方图知需求量 的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7。（）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P01020304所以【试题评价】试题的情境是考生熟悉的设计了随机现象中的一个简单的统计决策问题，这也是生活中经常面对的问题。试题展示了统计学应用的一个方面：分析数据、处理数据，从数据中提炼信息，从而为科学决策提供依据。试题将概率统计的知识、方法、思想和应用有机地结合，既考查了考生的数据处理能力，也对考生提高学习概率统计知识的兴趣、培养考生的应用能力、提高考生解决实际问题的能力等方面起着很好的引导作用，体现了新课程注重情感、态度、价值观、过程、实践和能力的教学理念。(20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： 右焦点的直线交M与A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为。()求M的方程（）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【考查目标】本题考查椭圆的定义、方程、几何性质和直线的斜率，直线与曲线的位置关系，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力。【解题思路】（）设，则， 得 又 ， 则 又由题意知，M的右焦点为，因此，所以曲线M的方程为（）由，因此。由题意可设直线CD的方程为 ，设。由得，于是。因为直线CD的斜率为1，所以。由已知四边形ABCD的面积。当n=0时，S取的最大值，最大值为。所以四边形ABCD面积的最大值为。【试题评价】试题围绕解析几何的重点内容展开，解答时需要多深入认识图形的几何特征并向代数形式转化，突出考查了解析几何的思想方法。试题难易程度恰当，注重考查考生数学思想能力的同时也对考生运算求解能力提出较高的要求。全面体现解析几何的教学目标，对教学具有良好的导向作用。（21）已知函数()设是的极值点，求m,并讨论的单调性；（）当时，证明0【考查目标】本题考查函数的概念和性质，考查导数的运算和利用导数研究初等函数性质的方法以及分内讨论的数学思想，考查考生灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力和考生的逻辑思维能力、运算求解能力和创新应用能力。【解题思路】() 。由x=0是f(x)的极值点，得，所以m=1.于是的定义域为，所以。函数。在上单调递增，且，所以当(-1,0)时，0；当(0,+)时， 0 。 所以在（-1,0）上单调递减，在（0，+）上单调递增。（）m2,x(-m,+)时， ln(x+m) ln(x+2), 故只需证明当m=2时，f(x) 0.当m=2时，函数在（-2，+）上单调递增。又0， 0，故在（-2，+）有唯一实根，且（-1,0）。当x (-2, )时，0；当 (，+)时, 0，从而x=时取得最小值。由得,ln(+2)=,故f(x)f()=0.综上得，当2时,f(x)0.【试题评价】试题分布设问，逐步推进，考查由浅入深，重点突出，能较好地达到考查目的。此外，试题重多角度考察了利用导数研究函数性质及导数的基础知识和解题方法，而且对考生的逻辑推理能力，区分度高，使考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能得到展现。（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC-AE=DC-AF,B、E、F、C四点共圆。（）证明：CA是ABC外接圆的直径；（）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。 【考查目标】本题考查四边形外接圆的性质，相似三角形的判定及性质的掌握及应用，考查考生的逻辑推理能力。【解题思路】(1)因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.【试题评价】试题背景较为简单，以平面几何基本定理解决问题，考查考生的逻辑推理能力。题目难度适当，符合课程标准和考试说明对几何证明选讲的要求。（23）（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知动点p，Q都在曲线c（为参数）上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点。（）求M的轨迹的参数方程（）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。【考查目标】本题考查参数方程及参数的意义，考查考生综合运用基本知识的运算求解能力。【解