例析抽象函数问题的求解策略.doc

例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学 贺明荣 （200940）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。一般地，抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此，学生常常感到难以掌握，教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法，供参考。1、合理递推例1：函数f具有下列性质：f(x)+ f(x-1) =x2如果f(19)=94，那么f(94)除以1000的余数是多少？ 解： 由f(x)+ f(x-1) =x2得f(x) =x2 - f(x-1) 又f(19)=94 ， f(20)=202 f(19) ， f(21)=212 f(20)= 212 - 202 + f(19)， 依次类推，可得f(94)=942932+922912+222212+202f(19)= 94+93+92+91+ +22+21+202-f(19)= 74+40094=4561，所以，余数为561评注： 当f(x)是定义在自然数集N上的函数时，可根据题中所给函数方程，通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解 2、适当赋值例2、设函数y=f(x)（xR 且x 0），对任意实数x1 、x2 满足f(x1)+ f(x2)= f(x1x2) (1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) 已知y=f(x)在（0，+）上为增函数，解不等式f(x)+f( x - )0证明：(1) 令x1 =x2 =1 ， 得f(1)+f(1)=f(11) f(1)=0 ； 令x1 =x2 = -1 ，得f(-1)+f(-1)=f(-1)(-1) = f(1)=0 ， f(-1)=0 (2) 令x1 =x2 = x ，得2f(x)=f(x2)； 令x1 =x2 = -x ， 得2f(-x)=f(x2)； f(-x)=f(x) ， 即y=f(x)为偶函数(3) f(x)+f( x - )0 , 即fx (x -)f(1) , 或 fx (x -)f(-1) , 由(2)和y=f(x)在（0，+）上为增函数 , 可得0x(x -)1 或 -1x(x -)0 解得 x 且 x0 , 评注： 对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的 3、巧妙换元例3、 设f(x)的定义域为xx0,且x1，满足f(x)+f()=1+x ， (1) 求f(x) 解： 令x = (y0，y1)，并将y 换成x， 得f()+f()=1+ ， (2) 再令(1)中x = (y0，y1)，将y换成x，得 f()+f(x)=1+ ， (3) 由(1)+(3)-(2) ， 得2f(x)=(1+x)+(1+)-(1+)， 即f(x)=， 易验证 f(x)= 满足方程（1） 评注： 根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需要的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换），得到一个或几个方程，然后设法从中求其解4、利用函数性质例4、已知定义在R上的函数f(x)满足 （1）对于任意x ，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) ； （2）当x0时，f(x)0，且f(1)= - 2 ，求f(x)在-3 ， 3上的最大值和最小值解：任取-3x1x23 ，由条件（1）得f(x2)=f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)， f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ， x2 - x1 0 ，由条件（2）得 f(x2-x1) 0 ， f(x2) f(x1) ， f(x)在-3 ， 3上 单调递减在（1）中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， f(0)=0再令x=-y ， 得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， f(-x)= -f(x) ， 从而f(x)为奇函数，因此，f(x)在-3 ， 3上的最大值为 f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)= -f(1) -f(1) -f(1)= -3f(1)=6最小值为 f(3)= -f(-3)= -6 评注： 根据题目所给的条件，往往需要探求函数是否还具有哪些特殊的性质，比如，函数的单调性、奇偶性、周期性等等，本题是运用函数的性质得到解答的一个典型，它将奇偶性和单调性有机地结合起来，而函数的单调性是解决最值问题和有关不等式问题的常用性质。 5、类比探求例5、 已知定义在R上的函数f(x)对于任意x ， y R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) （1） ，若存在常数c0，使得f( )=0，求证：f(x)是周期函数证明： 由（1）得， f(x+c)+f(x)=2f(x+)f()=2f(x+)0=0 ， f(x+c)+f(x)=0 ， f(x+c)= - f(x) ， f(x+2c)=f(x+c)+c= - f(x+c)= f(x) ， 又因为c0，所以f(x)是周期函数，2c是它的一个周期评注： 通过对题目所给条件与结论的比较并联想已学过的知识，开拓思路，即可找到解题的关键对于本题，我们若联想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy ， 再类比余弦函数y=cosx的性质：cos = 0，又其周期为2p = 4 ，故，从中得到启示，并进一步探求f(x)的周期是否为 4 =2c 6、正难则反例6、 已知函数f(x)在区间（-，+）上是增函数，a 、bR ， （1）证明：若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)； （2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论证明：（1）由a+b0，得 a-b， 函数f(x)在区间（-，+）上是增函数， f(a)f(-b)； 同理，f(b) f(-a) ， f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) （2）首先， （1）中命题的逆命题是： 若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0 此逆命题为真命题现证明如下： （用反证法） 假设a+b0不成立， 即有a+b0，则 a-b， b-a， 根据单调性， 得 f(a)f(-b)， f(b)f(-a)， 从而f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，这与已知f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) 相矛盾故a+b0不成立，即a+b0成立 ，因此（1）中命题的逆命题是真命题评注： 当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略 以上通过实例介绍了求解抽象函数问题的几种常用策略，只有深刻理解概念，掌握好一般规律，灵活运用技巧（往往还需结合几种解题策略），才能快速、准确地寻找到解题的突破口， 以下几题供参考1、 对每一实数对x、y ，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，若f(-2)=-2试求满足f(a)=a的所有整数( 答：递推，a=1或a=-2)2、 函数的定义域关于原点对称，且满足以下两个条件：()若x1，x2 是f(x)定义域中的数，则f(x1-x2) = ;；()f(a)=1（常数a0）试证明：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数3、 已知函数f(x) 满足 af(x)+f( )=cx ，其中a 、b 、c是不为零的常数，且ab ，求f(x) ( 答： f(x)=) 4、 函数f(x)的定义域为R，且f(x+1) 1-f(x)=1+f(x)，又知f(1)=2 + ，试求f(2002) 的值 ( 答： f(2002) = 1-2)5、 是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：f(n)0 ，nN；f(n1+n2)= f(n1)f(n2)，n1 、n2 N ； f(2)=4 同时成立？若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，说明理由 （ 答： 存在且f(x)=2x ， xN ）6、 设f(x)是定义在R上的函数，其图像关于x=1对称，对任意x1，x2 ，都有f(x1+x2)= f(x1)f(x2) ，f(1)=a () 求f( ) 和f( )； () 证明： f(x)是周期函数 ； (