专题跟踪练习：圆锥曲线.doc

1 专题跟踪练习专题跟踪练习 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 1 两个正数 a b 的等差中项是 一个等比中项是 且则双曲线的 9 2 2 5 b a 1 2 2 2 2 b y a x 离心率为 A B C D 5 3 41 4 5 4 41 5 2 已知 直线和曲线有两个不同的 2 0 4 y x y yx 2ymxm 2 4yx 交点 它们围成的平面区域为 M 向区域上随机投一点 A 点 A 落在区域 M 内的概率为 若 则实数 m 的取值范围为 P M 2 1 2 P M A B C D 1 1 2 3 0 3 3 1 3 0 1 3 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若 3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 4 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 2 B 3 C 5 D 10 5 下列命题中假命题是 A 离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直 2 B 过点 1 1 且与直线 x 2y 0 垂直的直线方程是 2x y 3 03 C 抛物线 y2 2x 的焦点到准线的距离为 1 D 1 的两条准线之间的距离为 2 2 3 x 2 2 5 y 4 25 6 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于点 A 若 OAF O 为坐 标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 2 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 7 已知直线 0 2 kxky与抛物线 C xy8 2 相交 A B 两点 F 为 C 的焦点 若 FBFA2 则 k A 3 1 B 3 2 C 3 2 D 3 22 8 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 w w w k s 5 u c o m 9 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至多有 一个交点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 10 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为 xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 二 填空题 11 若 22 1 5Oxy 与 22 2 20 OxmymR 相交于 A B 两点 且两圆在点 A 处的切线互相垂直 则线段 AB 的长度是 w 12 已知双曲线 则一条渐近线与实轴所构成 2 2 1 2 2 2 2 eRba b y a x 的离心率 的角的取值范围是 13 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 3 12 FPF 的大小为 14 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在 一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 15 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为22 则 m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 16 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为 60 o 则双曲线 C 的离心率为 6 2 17 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合 则的值为 2 2ypx 22 1 63 xy p 三 解答题 18 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为 5 5 x 离心率5e 求该双曲线的方程 如图 点A的坐标为 5 0 B是圆 22 5 1xy 上的点 点M在双曲 线右支上 求MAMB 的最小值 并求此时M点的坐标 w w w k s 5 u c o m 4 19 本小题满分 14 分 设椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 20 本小题满分 12 分 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 2 2 求 a b 的值 C 上是否存在点 P 使得当 l 绕 F 转到某一位置时 有 OBOAOP 成立 若存在 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程 若不存在 说明理由 21 本小题满分 14 分 如图 已知圆 G 222 2 xyr 是椭圆 2 2 1 16 x y 的内接 ABC的内切圆 其中A为椭 圆的左顶点 1 求圆G的半径r 2 过点 0 1 M作圆G的两条切线交椭圆于EF 两点 证明 直线EF与圆G相切 已知椭圆 C 的离心率为 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 2 2 两点 当 l 的斜率为 1 时 坐标原点 O 到 l 的距离为 x y A B 0 C M E F G 5 o y X 2 2 2 参考答案 一 选择题 1 答案 D 解析 由已知得 9 20 ababab 5 4ab 22 41cab 选 D 41 5 c e a 2 答案 D 解析 已知直线过半圆上一点2ymxm 2 4yx 当时 直线与 轴重合 这时 故可 1P M 排除 A C 若 如图可求得当 故选 D 2 2 P M 3 答案 A 解析 解 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 4 答案 C 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 5 答案 D 解析 对于 A e a b 渐近线 y x 互相垂直 真命题 对于 B 设所求直2 线斜率为 k 则 k 2 由点斜式得方程为 2x y 3 0 也为真命题 对于 C 焦点 F 0 准线 x d 1 真命题 对于 D a 5 b 3 c 4 d 2 2 1 2 1 假命题 选 D 2 25 c a 2 总结点评 本题主要考查对圆锥曲线的基本知识 相关运算的熟练程度 以及思维的灵活 性 数形结合 化归与转化的思想方法 6 答案 B 6 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为 2 4 a yx 它与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线方程为 2 8yx 故选 B 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算 考查数形结合的数学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而引发 的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况 这里加绝对值号可以做到合二 为一 7 答案答案 D 解析解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 2 0 由由2FAFB 及第二定义知及第二定义知 2 22 BA xx联立方程用根与系数关系可求联立方程用根与系数关系可求 k 2 2 3 8 答案 B 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 9 答案 A 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 10 答案答案 C 解析 1 由题知2 2 b 故 0 2 0 2 123 210 FFy 0143 1 32 1 32 21 PFPF 故选择 C 解析 2 根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 22 1 22 xy 则左 右焦点坐标 分别为 12 2 0 2 0 FF 再将点 0 3 Py代入方程可求出 3 1 P 则可得 12 0PF PF 故选 C 7 二 填空题 1 答案 4 解析 由题知 0 0 0 21 mOO 且53 5 m 又 21 AOAO 所以有 525 52 5 222 mm 4 5 205 2 AB 2 答案 4 3 解析 依题意有 即 得22 c a 2 2 24 c a 22 2 24 ab a 2 2 13 b a 13 b a 43 3 解析解析 u c o m本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属于基础知识 基本运算的考查 答案答案 2 120 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 第 13 题解答图 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填2 120 4 答案 21 1 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 8 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 5 本小题考查直线的斜率 直线的倾斜角 两条平行线间的距离 考查数形结合的思想 解析 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 1 l的 倾斜角为 o 45 所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 故填写 或 6 答案 6 2 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角 分别是 b c b是虚半轴长 c是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以 3cb 所以2ab 离心率 36 22 c e a 7 答案 6 解析 本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识 双曲线的右焦点 F 3 0 是抛物线的焦点 所以 p 6 22 1 63 xy 2 2ypx 3 2 P 三 解答题三 解答题 1 1 解 由题意可知 双曲线的焦点在x轴上 故可设双曲线的方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 设 22 cab 由准线方程为 5 5 x 得 2 5 5 a c 由 5e 9 得5 c a 解得1 5ac 从而2b 该双曲线的方程为 2 2 1 4 y x 设点 D 的坐标为 5 0 则点 A D 为双曲线的焦点 22MAMDa 所以 2 2 MAMBMBMDBD B是圆 22 5 1xy 上的 点 其圆心为 0 5 C 半径为 1 故 1101BDCD 从而 2 101MAMBBD 当 M B在线段 CD 上时取等号 此时 MAMB 的最小值为101 直线 CD 的方程为5yx 因点 M 在双曲线右支上 故0 x 由方程组 22 44 5 xy yx 解得 54 24 54 2 33 xy 所以M点的坐标为 54 2 4 54 2 33 w w w k s 5 u c o m 2 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 设该圆的切线方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm w w w k s 5 u c o m 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 10 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的 切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足 OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 11 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 w w w k s 5 u c o m 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有关参 数问题以及方程的根与系数关系 3 解析 本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力 第一问直接运用点到直线的距离解析 本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力 第一问直接运用点到直线的距离 公式以及椭圆有关关系式计算 第二问利用向量坐标关系及方程的思想 借助根与系数关系公式以及椭圆有关关系式计算 第二问利用向量坐标关系及方程的思想 借助根与系数关系 解决问题 注意特殊情况的处理 解决问题 注意特殊情况的处理 解 设 0 cF 当l的斜率为 1 时 其方程为Ocyx 0 到l的距离为 22 00 c c 故 2 2 2 c 1 c w w w k s 5 u c o m 由 3 3 a c e 得 3 a 22 cab 2 C 上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有OBOAOP 成立 由 知 C 的方程为 2 2x 2 3y 6 设 2211 yxByxA 1 xkylxl的方程为轴时 设不垂直当 12 C OBOAOPP 使上的点成立的充要条件是 点的坐标为 2121 yyxxP 且 6 3 2 2 21 2 21 yyxx 整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 632 632 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxCBA上 即在 又 故 0332 2121 yyxx 将 并化简得代入 632 1 22 yxxky 0636 32 2222 kxkxk w w w k s 5 u c o m 于是 2 2 21 32 6 k k xx 21x x 2 2 32 63 k k 2 2 21 2 21 32 4 2 1