小学六年级数学竞赛试题及详细答案C级.pdf

小学六年级数学竞赛试题及详细答 案 C级 一 计算下面各题 并写出简要的运算过程 共15分 每小 题5分 二 填空题 共40分 每小题5分 1 在下面的 中填上合适的运算符号 使等式成立 1 9 9 2 1 9 9 2 19 9 2 1992 2 一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米 25厘米 15厘 米 并且它的下底是最长的一条边 那么 这个等腰梯形的周长 是 厘米 3 一排长椅共有90个座位 其中一些座位已经有人就座了 这 时 又来了一个人要坐在这排长椅上 有趣的是 他无论坐在哪 个座位上都与已经就座的某个人相邻 原来至少有 人已经就 座 4 用某自然数a去除1992 得到商是46 余数是r a r 5 重阳节 那天 延龄茶社来了25位老人品茶 他们的年龄恰 好是25个连续自然数 两年以后 这25位老人的年龄之和正好是 2000 其中年龄最大的老人今年 岁 6 学校买来历史 文艺 科普三种图书若干本 每个学生从中 任意借两本 那么 至少 个学生中一定有两人所借的图书属 于同一种 7 五名选手在一次数学竞赛中共得404分 每人得分互不相 等 并且其中得分最高的选手得90分 那么得分最少的选手至少 得 分 至多得 分 每位选手的得分都是整数 8 要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的 小铜管 每锯一次都要损耗1毫米铜管 那么 只有当锯得的38毫 米的铜管为 段 90毫米的铜管为 段时 所损耗的铜管 才能最少 三 解答下面的应用题 要写出列式解答过程 列式时 可 以分步列式 可以列综合算式 也可以列方程 共20分 每小 题5分 1 甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路 乙工程队每 天比甲工程队多修100米 现由甲工程队先修3天 余下的路段由 甲 乙两队合修 正好花6天时间修完 问 甲 乙两个工程队每 天各修路多少米 2 一个人从县城骑车去乡办厂 他从县城骑车出发 用30分钟 时间行完了一半路程 这时 他加快了速度 每分钟比原来多行 50米 又骑了20分钟后 他从路旁的里程标志牌上知道 必须再 骑2千米才能赶到乡办厂 求县城到乡办厂之间的总路程 3 一个长方体的宽和高相等 并且都等于长的一半 如图 12 将这个长方体切成12个小长方体 这些小长方体的表面积 之和为600平方分米 求这个大长方体的体积 4 某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局 要求每 个包内所 多35本 第2次他们把剩下的书全部领来了 连同第一次多的零头 一起 刚好又打11包 这批书共有多少本 四 问答题 共35分 1 有1992粒钮扣 两人轮流从中取几粒 但每人至少取1粒 最多取4粒 谁取到最后一粒 就算谁输 问 保证一定获胜的对 策是什么 5分 2 有一块边长24厘米的正方形厚纸 如果在它的四个角各剪去 一个小正方形 就可以做成一个无盖的纸盒 现在要使做成的纸 盒容积最大 剪去的小正方形的边长应为几厘米 6分 3 个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品 需要如图13所示的 a b 两种形状的铁皮毛坯 现有甲 乙两块铁皮下脚料 如图14 图15 图13 图14 图15中的小方格都是边长相等 的正方形 金师傅想从其中选用一块 使选用的铁皮料恰好适合 加工成套的这种铁皮制品 成套 指 a b 两种铁皮同 样多 并且一点材料也不浪费 问 1 金师傅应当从甲 乙两块铁皮下脚料中选哪一块 3分 2 怎样裁剪所选用的下脚料 请在图上画出裁剪 的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯 5分 4 只修改21475的某一位数字 就可以使修改后的数能被225 整除 怎样修改 6分 5 1 要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子 每块巧 克力最多只能切成两部分 怎么分 5分 2 如果把上面 1 中的 4个孩子 改为 7个孩子 好不好 分 如果好分 怎么分 如果不好分 为什么 5分 详解与说明 一 计算题 说明 要想得到简便的算法 必须首先对题中每个数和运算 符号作全面 马上就应该知道它可以化为3 6 而3 6与36只差一个小数点 于 是 又容易想到把 654 3 36 变形为 6543 3 6 完成了这步 就 为正 采用了同样的手段 这种技巧本报多次作过介绍 说明 解这道题可以从不同的角度来观察 解法一是先观 察 比较分子部分每个加数 连乘积 的因数 发现了前后之间 的倍数关系 从而把 1 3 24 作为公因数提到前面 分母部分也 作了类似的变形 而解法二 是着眼于整个繁分数 由分子看到 分母 发现分子部分的左 中 右三个乘 分子部分括号内三个乘积的和约去了 本题是根据 数学之友 7 第2页例5改编的 3 解法一 解法二 说明 解法一是求等比数列前n项和的一般方法 这种方法本 报217期第一版 好伙伴信箱 栏中曾作过介绍 由于本题中后一个 加数总是前一个加数的一半 因而 只要添上一个最小的加数 就能凑成 2倍 也就是它前面的一个加数 这就不难想到解法 二 二 填空题 1 解 1 9 9 2 1 9 9 2 19 9 2 83 3 8 1992 或 1 9 9 2 1 9 9 2 19 9 2 83 2 12 1992 本题答案不唯一 只要所填的符号能使等式成立 都是正 确的 说明 在四个数字之间填上三个运算符号 使它们的计算结 果为某个已知数 这是选手们熟悉的 算式谜 题 而这道题却不 容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少 这就需要把1992 分解为三个数连乘积的形式 1992 83 3 2 2 2 因为83 3 2 2 2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式 所以填法就不 唯一了 2 解 55 15 25 2 120 厘米 说明 要算周长 需要知道上底 下底 两条腰各是多长 容易判断 下底最长 应为55厘米 关键是判断腰长是多少 如 果腰长是15厘米 15 2 25 55 说明上底与两腰长度之和恰好等 于下底长 四条边不能围成梯形 所以 腰长只能是25厘米 读 者从本报190期第三版 任意三根小棒都能围成三角形吗 一文中 应当受到启发 3 解 最少有 说明 根据题意 可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的 两人之间都有两个空位 但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共 有多少个座位 因为已经就座的人最左边一个 最右边一个 既 可以坐在左边 右边 起第一个座位上 也可以坐在左边 右 边 起第二个座位上 如图16所排出的两种情况 表示已经就 座的人 表示空位 不过 题目中问 至少 有多少人就座 那就应选第二种情 况 每三人 一组 每组中有一人已经就座 1 2 图16 4 解法一 由 1992 46 43 14 立即得知 a 43 r 14 解法二 根据带余除法的基本关系式 有 1992 46a r 0 r a 由 r 1992 46a 0 推知 由r 1992 46a a 推知 因为 a是自然数 所以 a 43 r 1992 46 43 14 说明 本题并不难 因此应尽可能运用简单的方法 迅速地 算出答案 解法一是根据 1992 a的商是 46 因而直接用 1992 46 得到了a和r 解法二用的是 估值法 5 解法一 先算出这25位老人今年的岁数之和为 2000 25 2 1950 年龄最大的老人的岁数为 1950 1 2 3 4 24 25 2250 25 90 岁 解法二 两年之后 这25位老人的平均年龄 年龄处于最中 间的老人的年龄 为2000 25 80 岁 两年后 年龄最大的老人的岁数为80 12 92 岁 年龄最大的老人今年的岁数为92 2 90 岁 说明 解法一采用了 补齐 的手段 详见本报241期第一版 削平 与 补齐 一文 当然 也可以用 削平 法先求年龄最 小的老人的岁数 再加上24 解法二着眼于 25人的平均年龄 先 算年龄处于最中间的老人的岁数 算起来更简便些 6 解 根据 抽屉原理 可知至少7个学生中有两人所借图书 的种类完全相同 说明 本题是抽屉原理的应用 应用这个原理的关键是制造 抽屉 从历史 文艺 科普三种图书若干本中任意借两本 共有 史 史 文 文 科 科 史 文 史 科 文 科 这六种情况 可把它们看作六只 抽 屉 每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一 换句话说 如果把借书的学生看作 苹果 那么至少7个苹果放入六个抽屉 才能有两个苹果放在同一个抽屉内 本题是由本报234期 奥林匹 克学校 拦的例2改换而成的 7 解 得分最低者最少得 404 90 89 88 87 50 分 得分最低者最多得 404 90 1 2 3 4 77 分 说明 解这道题要考虑两种极端情形 1 要使得分最低的选手的得分尽可能地少 在五名选手总 分一定的条件下 应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才 行 第一名得分是已知的 90分 这就要求第二 三 四名的 得分尽可能靠近90分 而且互不相等 只有第二 三 四名依次 得89分 88分 87分时 第五名得分最少 2 要使得分最低的选手得分最多 在总分和第一名得分一 定的条件下 应当使第二 三 四 五名的得分尽可能接近 考 虑到他们的得分又要互不相等 只有当第二 三 四 五名的得 分为四个连续自然数时才能做到 用 削平 的方法可以算出第五 名最多得多少分 本题是根据 数学之友 7 第46页第13题改编的 8 解 设38毫米 90毫米的铜管分别锯X段 Y段 那么 根 据题意 有 38X 90Y X Y 1 1000 39X 91Y 1001 要使损耗最少 就应尽可能多锯90毫米长的铜管 也就是说 上面式中的X应尽可能小 Y尽可能大 由于X Y都必须是自然 数 因而不难推知 X 7 Y 8 即38毫米的铜管锯7段 90毫米 的铜管锯8段时 损耗最少 说明 选手们读题之后 可以马上想到 要使损耗最少 应 尽可能多锯90毫米长的铜管 但必须符合 两种铜管都有 两种 铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米 两个条件 这样算起 来就不那么简单了 这种题目 借助等量关系式来进行推理比较 方便 不过 列方程时可别忘掉那损耗的1毫米 而且损耗了几 个 1毫米 也不能算错 应该是 总段数 1 列出方程式之后 还有两点应当讲究 1 变形要合理 2 要选用简便算法 如上面解法中 把1001写成7 11 13 39 写成3 13 91写成7 13 使分子部分和分母部分可以约分 对于 迅速推知最后结果是大有帮助的 本题是 数学之友 7 第51页练习六中的原题 三 应用题 1 解法一 假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多 那么 两队一共修的路就要比4200米少600米 这3600米就相当于甲工程 队用15天 15 3 6 2 修完的 列式为 4200 600 3 6 2 3600 15 240 米 240 100 340 米 解法二 设甲工程队每天修路X米 那么乙工程队每天修 路 X 100 米 根据题意 列方程 3X 6 X X 100 4200 解得X 240 从而 X 100 340 米 答 甲工程队每天修路240米 乙工程队每天修路340米 说明 假设 是我们解应用题时经常采用的算术方法 它体 现了机智 敏捷 能迅速得到答案 本题根据本报第234期第二 版 思考题解答 一栏中的例题改编而成 2 解 从题目可知 前 30分钟行完总路程的一半 后 20分钟 没有把另一半行完 比总路程的一半少2千米 换句话说 后20分 钟比前30分钟少行了2000米 为什么会少行呢 原因有两方面 1 后20分钟比前30分钟少行10分钟 2 后20分钟比前30分 钟每分钟多行50米 这样 容易推知前30分钟里每10分钟所行的 路程是20 50 2000 3000 米 前30分钟每分钟行 3000 10 300 米 总路程为 300 30 2 18000 米 答 县城到乡办厂之间的总路程为18千米 说明 解本题的关键是 1 通过比较 知道这个人前30分 钟比后20分钟多行多少路程 2 找出前30分钟比后20分钟多行 2000米的原因是什么 详见本报209期 抓住矛盾找原因 一文 3 解法一 设大长方体左 右 面面积为X平方分米 则大长 方体表面积为10X 切成12个小长方体后 新增加的表面积为 3X 2 2X 2 14X 12个小长方体表面积之和为 10X 14X 600 X 25 V 25 10 250 立方分米 解法二 把大长方体的表面积看作 1 则切成12个小长 方体后 V 25 5 2 250 立方分米 答 这个大长方体的体积为 250立方分米 说明 这道题比较简单 只要明白把一个几何体切成两部分 后 新增加的表面积等于切面面积的2倍 这个关系 不过 在计 算新增加表面积时 稍不留心就会弄错 本题根据本报第226期第 一版 教你思考 栏中的例题改编的 又因为10包 25本 35本 11包 所以1包 60本 14 11 60 1500 本 解法二 列方程解 则有 7X 14Y 35 1 5X 11Y 35 2 1 2 得ZX 3Y 70 3 1 2 得12X 25Y 4 3 6 得12X 18Y 420 5 比较 4 5 两式 有 25Y 18Y 420 解得Y 60 12X 25 60 1500 本 答 这批书共有1500本 说明 这道题目里的数量关系其实很容易看出 解法一几乎 是心算出结果的 所以 不能把问题想得很复杂 解法二比较容 易想到 但设 未知数 也很有讲究 如果设这批书有X本 变形就 比较麻烦了 四 问答题 1 答 保证一定获胜的对策是 1 先取1粒钮扣 这时还剩 1991粒钮扣 2 下面轮到对方取 如果对方取n粒 1 n 4 自己就取 5 n 粒 经过398个轮回后 又取出398 5 1990 粒 钮扣 还剩1粒钮扣 这1粒必定留给对方取 说明 本题只是把本报233期 奥林匹克学校 栏对策问题 的 例1 改掉一个字 胜 改为 输 一字之差 对策就要改 变 我们知道 解对策问题有一个基本思路 把失败 输 的可 能留给对手 本题中 谁取到最后一粒钮扣谁就算输 因而 要 想获胜 就必须抢到第1991粒 想到这一点 就容易找到保证获 胜的对策了 2 答 剪去的小正方形边长应为4厘米 说明 要回答这道题 可以先到一个表来比较一下 通过比 较 容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时 做成的纸盒容积 最大 从上面表中一下子可以看出结果 还可以设被剪去的小正方形边长