2011学年上学期.doc

铁力市初中数学活动方案活动目的：为了促进我市初中数学课堂教学有效性，提高教师专业水平，为广大教师提供学习与研讨交流学习教学的经验的平台，同时，为了推动省教育学院数学教研室关于“数学变式”这一科研课题在我市的开展，举行本次活动。活动主题：初中数学“变式教学”研究活动地点：铁力市第三中学活动时间：2011年10月27日（星期四）上午活动形式：理论讲座与作课实践相结合参会人员：铁力市教师进修学校领导和教研员及初中全体数学教师。承办单位：铁力市第三中学（数学教研组）活动程序：7:20 签到7:45-8:30 作课（课题：直角三角形全等的变式，作课教师：张显慧）8:40-9:25 作课（课题:一道规律习题的变式，作课教师：于成光）9:40-10:25 作课（课题：等腰三角形三线合一与三角形中位线的综合变式，作课教师：张峰）10:40-11:10 评课及交流研讨11:10-11:30 对变式教学的认识 主讲人：张 峰铁力市教师进修学校2011年10月20日在变式练习中提高初中学生数学技能变式训练和变式教学理论讲座一、问题的提出当今初中学生的数学技能存在诸多问题，主要表现为：一，学生的数学运算技能减弱。二，学生的图形处理技能和推理论证技能较弱。究其原因，我觉得有以下两点。其一，教师虽重视运算技能训练但不讲究方法。认为只要多练就能“熟能生巧”并提高运算技能，但是大量的、单一的、机械重复的练习题大大降低了学生运算的灵活性，使学生运算技能得不到提高。其二，教师把题目中的知识点孤立。不注重知识之间的联系，对题目的本质特征的把握和挖掘深度不够。由于中学数学中的数学技能以认知性技能为主，因而利用变式练习进行科学的技能训练对顺利有效的形成数学技能具有重要意义。为更好地讲解这一主题，我们首先对相关概念进行一下界定。二、核心概念的理解练习：为了获得熟练技巧而经常进行某种动作。变式练习：是指在其它教学条件不变的情况下，概念和规则的例证的变化。技能：教育心理学中，一般认为是通过练习而形成的合乎法则的活动方式。数学技能：依照心理学对技能的一般阐述，数学技能可定义为：在学习数学的过程中通过训练得以数学学习任务的一种行动方式或心智行动方式。也可以说是在个体身上通过数学练习而固定下来的自动化活动方式。三、利用变式练习提高初中学生数学技能的研究数学技能的学习一般需要通过传授与练习来完成，练习是学生形成技能的基本途径。不仅在技能的形成阶段需要一定的练习，而且在技能形成以后仍需要练习，才能使技能保持下来并得到发展。利用变式练习可以让学生把握问题的本质特征，同时数学技能也得到一定的发展。（一）利用概念变式促进学生数学技能的形成概念变式是概念的外延集合的变式，概念变式的主要作用是使学生获得对数学概念的多角度理解。在实践过程中，我们发现概念变式通过图形变式、反例变式、形式变式等促进学生数学技能的形成。1.图形变式。抽象语言描述的定理在数学中往往需要和图形结合起来理解，这也是数学中常说的“数形结合”。利用图形变式帮助理解概念往往收到良好的效果。例如，在理解垂径定理：“如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧”时，可以用下面的图形变式进行辨析：下列哪个图形可以用垂径定理？ 上图中的第1个图是标准化的图形，后4个图是变换垂径定理的非本质属性，突出它的本质属性。通过定理的图形变式让学生对垂径定理的应用条件有了更全面的理解。2.反例变式。反例变式在初中数学中有着重要的作用。利用反例变式可以让学生对概念的理解更加深刻。例如，在学习了“角”的概念后，让学生辨析：下面图形中，哪些是角？通过几个反例让学生在比较中认识角并掌握角的定义。后4个图形都不是角，而是“角”的非概念变式非概念图形。反例有利于学生批判性的思考并使学生的数学技能在批判过程中得以提高。3.形式变式。在知道某个概念的形式后，适当的进行变式，学生对比对该概念的形式后认识更加深刻。例如，二次函数的定义：解析式形如 的函数叫做二次函数。理解概念时可以用下面的变式：下列函数中哪些是二次函数？（1） （2） （3） （4） （5） （6）学生通过与学习过的正、反比例函数和一次函数等作比较，对二次函数的概念有了深刻的认识和理解。上述变式主要是基于概念之间的逻辑关系和学生容易出现的错误。通过变式，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系，另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征。（二）利用内容变式促进学生数学技能的发展内容变式是通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，目的是使学生抓住问题的本质，加深对问题的理解，变套式为新式，变模仿为创新。内容变式通常通过变化条件、变化结论、条件与结论互换等使学生对题目中所涉及知识点的内涵更好地把握。1.变化条件。变化条件是初中数学变式练习中常用的方式。例如，在用待定系数法求一次函数的解析式中，笔者做了如下四个变式：问题：已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8。求这个函数的解析式。变式1：已知一个一次函数经过点（2，-1）和（5，8），求这个函数的解析式；变式2：已知一个一次函数经过点（2，-1），且与y轴交点到原点的距离为8，求这个函数的解析式；变式3：已知一个一次函数经过点（2，-1），且平行于直线y=3x+2，求这个函数的解析式；变式4：已知一个一次函数平行于直线y=3x+2，且与y轴交点到原点的距离为8，求这个函数的解析式。“以上变式涵盖了用待定系数法求一次函数解析式的四种形式。通过这四种变式，主要是说明用待定系数法求一次函数的解析式只要找到两个条件，问题就可以迎刃而解。通过不同条件的变化，学生的心智技能得到很好的发展。2.变化结论。在题目中变化结论常常是对题目的深层挖掘，学生在深层挖掘题目涵义的同时巩固知识并提高解决问题的能力。例如，已知直线y=3x+6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点O是坐标原点，求AB的长。变式1：求AOB的面积；变式2：在x轴上找一点C，满足ABC是以AC为腰的等腰三角形，求点C的坐标；变式3：在x轴上找一点C，满足ABC是等腰三角形，求点C的坐标；变式4：在x轴上找一点C，满足ABC是直角三角形，求点C的坐标。以上四个变式是在题目条件不变的基础上，不断地变化结论，逐层挖掘题目深层涵义，让学生通过一道题目的解决既巩固所学知识又增强了知识间的应用，同时推理技能和运算技能都得到相应的发展和提高。3.条件与结论互换。对一些题目适当的对调一下条件和结论，是对题目中所考查知识点的灵活运用。例如，已知：OD平分AOB，EDOB，求证：EOD是等腰三角形；变式1：已知：如图，EOD是等腰三角形，EDOB，求证：OD平分AOB；变式2：已知：如图，EOD是等腰三角形，OD平分AOB，求证：EDOB；问题中条件“OD平分AOB，EDOB”与结论“EOD是等腰三角形”的互换对学生的逆向思维的培养和推理技能的提高有很大的帮助。一个题目通过互换条件或结论对题目进行有效的变式，往往达到事半功倍的效果。（三）利用铺垫变式促进学生数学技能的提高铺垫变式是在解决一个问题之前，根据学生解决问题的难度而设计的从学生的已知出发，通过化归最终解决问题。数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”(弗里德曼等，1985)。下图是数学问题解决的变式铺垫图。在解决数学问题中，经常通过适当的变式进行铺垫，逐层推进，以达到解决问题的目的。例如，为了更好的利用相似三角形的性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”去解决问题，笔者做了以下几个铺垫：铺垫1：如图1，已知:ABC中, 内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高,AH交GF于K, GF=18,BC=48, EF=10求AK的长；铺垫2：如图1，在ABC中, 内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高,AH交GF于K, 且DE：EF=2：1，BC=48,AH=16,求内接矩形的长和宽；铺垫3：如图2，在ABC中, 内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高,AH交GF于K, 且DE：EF=1：2，BC=48,AH=16,求内接矩形的长和宽；铺垫4：ABC中, 内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高,AH交GF于K, BC=48,AH=161）若矩形相邻两边之比为2:1,求相邻两边的长2）若矩形相邻两边之比为1:1,求相邻两边的长问题：如图3，已知:在ABC中, 内接正方形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高,AH交GF于K, BC=48,AH=16,求内接正方形的边长。学生在解决问题时利用已有知识解决起来有些困难，所以在解决问题之前做了以上几种变式，逐步引导并过渡到问题，为问题的解决起到了一个很好的铺垫作用。通过搭建适当的“台阶”使学习者完成原先完成不了的任务，这其实就是源自前苏联学者维果斯基提出的脚手架理论的“最近发展区”概念。有了前面四个铺垫，学生在解决问题之前，推理技能和运算技能已得到相应的发展，问题的解决也变的轻而易举。（四）利用方法变式促进学生的数学技能的应用方法变式是指一道题目有多种不同的解法，即我们通常说的“一题多解”。运用方法变式可以引导学生对同一材料从不同角度、不同方位去思考，探求不同的解答方案，从而拓宽思路并使学生的数学技能在不同的方法变式中得到进一步发展。例如，证明等腰梯形判定定理“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”。除课本上给出的方法外，还可引导学生得出以下几种证法：证法二：见图4，作DEAB交BC于E，可得B=DEC，又B=C，DEC =C，DECD，又DEAB，AB=CD。证法三：见图5，作AEBC于E，DFBC于F，由证明ABEDCF，而得ABCD。证法四：见图6，分别延长 BA、CD交于点E，由证明EBEC，EAED，得ABCD。这几种证法分别用到了等角对等边、全等三角形的对应边相等、等式性质等证明线段相等的方法，体现了知识的纵向、横向的结合。辅助线的添设也各具典型性，展现了解决梯形问题一般添加辅助线的方法。这样一题多解的训练，既加强新旧知识的联系，又拓宽了证明思路。同时，学生的推理技能和图形处理技能在不同的解法中也得到不同程度的提高。四、研究结论与思考变式练习的目的是使学生在练习过程中把握题目的本质特征，达到“以不变应万变”的目的。变式练习有两个好处：一是通过变化了的非本质特征的题组训练，使学生熟悉技能的操作程序；二是通过变式训练，学生在形式变化中把握不变的东西，将程序性知识内化，从而促进技能向纵深方向迁移。通过实践我认为，利用变式练习提高初中学生的数学技能可以从以下几个方面着手：1.利用变式练习培养学生的练习兴趣，是提高数学技能的源动力。明确变式练习的目的，根据内容的内在联系，通过针对性的变式训练让学生了解每一种变式都有它的特定目的，从而激发学生的练习兴趣，使他们自觉地产生完成练习的内动力，提高练习效率。2. 利用变式练习培养学生的练习技巧，是提高数学技能灵活运用的关键。利用变式练习设置合适的梯度，然后逐步增加技巧性因素，从而在变式的过程中掌握、保持和巩固数学技能。3. 利用变式练习合理安排练习时间和次数，是提高数学技能的有力保证。利用变式练习有计划、有目的的练习，恰当的练习时间