数学北师大版九年级上册中考总复习 特殊的平行四边形.docx

中考总复习 特殊的平行四边形1、 学习目标 1、应用特殊平行四边形的概念、性质及判定进行合理的论证与计算 2、应用特殊四边形的性质与判定，学会解决特殊四边形问题的基本方 法 3、通过例解与练习深化特殊四边形的性质及判定方法，提高解决实际问题能力 4、学生的合情推理能力；二、以题带点，做中回顾1、关于平行四边形ABCD的叙述正确的是( C ） A.若ABBC，则平行四边形ABCD是菱形. B.若ACBD,则平行四边形ABCD是正形. C.若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形. D.若AB=AD，则平行四边形ABCD是正方形.2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE/BD，DE/AC . 则四边形OAED为（ B ） A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、无法确定 A E B O D 点拨：前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四边形的判定 . C （2题图） 3、 知识及考点梳理1、特殊的平行四边形性质特殊的平行四边形图形边角对角线平行四边形 对边： 平行且相等 对角： 相等 对角线： 互相平分矩形 对边： 平行且相等 四个角：都是直角 对角线：互相平分且相等菱形四条边：都相等 对角： 相等 对角线：互相平分且垂直 正方形四条边：都相等 四个角： 都是直角 对角线：互相平分、垂直 且相等2、特殊的平行四边形的判定有一个角是直角有一组邻边相等 矩形对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直且相等 有一组邻边相等且有一个角是直角 平行四边形 正方形对角线互相垂直对角线相等 有一组邻边相等有一个角是直角 菱形四、经典真题例析1、在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF, 添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ D ） A. BC=AC B. CFBF C. BD=DF D. AC=BF B 思路点拨：由BC的垂直平分线EF可得BE=CE，BF=CF， E D F 又由BE=BF，能推知BE=CE=CF=BF，四边形 BECF为菱形，在此基础上，只要再有一 个角是直角，或者对角线相等即可， A C 四个选项中只有D不能推知，故选D. 1题图2、 如图，AE/BF,AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. A D E （1）求AOD的度数. O （2）求证：四边形ABCD是菱形. B C F 思路点拨 ：（1）利用平行线的性质，可得 2题图 BAD与CBA互补.由角平分线的定义，可得BAO与ABO互余，从而推得AOD=90. （2）由AE/BF，AC平分BAE，BD平分ABF，得BAC=BCA，ABD=ADB，可得AD=AB=BC. 从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形ABCD是平行四边形，再由（1）得四边形ABCD是菱形. 反思：通过前面两例，我们感悟到，平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定定理是 解题的依据与关键，同学们一定要牢固掌握。3、 阅读理解 阅读下面的材料：小颖遇到这样一个问题，如图1，在ABC中，DE/BC，分别交AB于D，交AC于E，已知CDBE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值. 小颖发现，过点E作EF/DC，交BC延长线于点F，构造BEF，经过推理和计算，能够使问题得到解决 （如图2）（1）请回答：BC+DE的值为 34 .（2）参考小颖思考问题方法，解决问题：如图3，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求AGF的度数. （60） A A F E D E D E AB G B C B C F D C （图1） （图2） （图3）思路点拨：（1）由已知DE/BC及所作辅助线EF/DC，可得四边形DCFE为平行四边形. 再由CDBE进而推出EFBE，BEF=90，在RtBEF中，BE=5，EF=CD=3，所以BC+DE=BC+CF=BF= 5+3 = 34有方法更简单：四边形中，若两条对角线有特殊的位置关系和数量关系时，不妨尝试“平 移对角线”方法，这里就是平移对角线CD，从而构造直角三角形，使问题得以解决.注意：这里5与3是两直角边的长，同学们容易得出错误结论，要谨慎！（2） 这里要求AGF的度数，在原始位置有困难，我们可以设想把AGF平移到容易求得的位置. 由已知可得FE/AB/CD, EF=AB=CD,所以四边形FDCE为平行四边形，因此平移FD到EC，即连接EC就把AGF平移到ACE的位置（两直线平行，同位角相等），因此求出ACE的度数即可，又AC=BF=DF，再连接AE（AE=BF），可得AC=EC=AE，ACE为等边三角形，所以AGF=ACE=60.反思：这里通过平移具有特殊位置关系和数量关系的线段的方法，使问题变得简单，此题中连接EC是关键.注意：这里的F、B、C三点不一定在同一直线上.5、 当堂检测 1、如图，菱形ABCD中，B=60，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ D ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 202、如图，正方形ABCD的顶点B作直线m，过点A，C作m的垂线，垂足分别为点E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为 103、如图，在ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.（1） 求证：四边形ADCE是矩形；（2） 若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为163，CD=4， 求AOD的度数 F A AC D B B F E m D O E E C C D B A （1题图） （2题图） （3题图）3题答案 （1）证明： 四边形ABDE是平行四边形 AE/BC，AB=DE，AE=BD D是BC中点 CD=BD CD/AE，CD=AE 四边形ADCE为平行四边形 AB=AC，D为BC中点 ADBC ADC=90 四边形ADCE为矩形. （2） 四边形ADCE为矩形，四边形ADCE面积为163，CD=4 ADCD=4AD=163 AD=43 DAC=30 OA=OD=OC=OE ODA=OAD=30 AOD=1204、（1）已知：如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. E、F分别是边 AD、DC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OEOF，则EF的长 5（2）如图2，若点O是正方形ABCO的一个顶点，且两个正方形的边长相等，将正方形 ABCO绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值正方形ABCD面积的四分之一 A B A D A E O O E D F CB F CB （图1） C （图2）思路点拨：（1）由已知可证DOECOF (或AOEDOF) AE=DF=4，DE=CF=3 在REDF中，根据勾股定理，就可求得EF=5. （2）由已知可证BOECOF (或AOEBOF) 所以重叠部分面积=SOBC （或SAOB）= S正方形ABCD.六、中考达标梯级训练 （一）选择题 1（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( ) A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D邻边互相垂直 【答案】C 2、 （2016，绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE/BD，DE/AC.若AC=4，则四边形OCED的周长（ ）A. 4 B. 8 C. 10 D. 12【答案】 B E D D CD F C A O C H OG A BB EA E B （2题图） （3题图） （4题图）3（2016内江）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OEBC,垂足为E，则OE长 ( )A B. C.5 D.4【答案】 B4（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ( )A2 B3 C5 D6 【答案】C二、填空题5（2016，钦州）如图，菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，CND的周长是10，则AC的长 _.【答案】66（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD连结AE，如果ADB=30，则E=_度【答案】157、如图所示的是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，点E为AB上一点，AE=5. 现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的边长【答案】5或52或45 B D C A D CN A D B C E A E B （5题图） （6题图） （7题图）三、解答题8如图，在平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,ABC=60，求tanADP的值.A F D A H FD P P B E CBE C （8图题）解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形ADBC,DAE= AEBAE是角平分线，DAE= BAEBAE= AEB，AB=BE，同理AB=AF，AF=BE，四边形ABEF是平行四边形，AB=BE，四边形ABEF是菱形；(2)作PHAD于H，四边形ABEF是菱形ABC=60，AB=4，AB=AF=4,ABF= 30,APBF.AP=AB=2，PH=，DH =5,tanADP= =.9(2016，无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CEAF连接DE、DF求证：DEDF F 【答案】 证明：四边形ABCD是正方形， A D ADCD,DABC90, FAD180DAB90. 在DCE和DAF中， B E C DCEDAF(SAS),（9图题） DEDF10(2016哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P求证：APBQ；在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长A D 【答案】 解：正方形ABCD, P ADBA,BAD90，即BAQDAP90, DPAQ, E ADPDAP90,Q BAQADP,B C AQBE于点Q,DPAQ于点P，(10图题） AQBDPA90, AQBDPA(AAS)， APBQ. AQAPPQ， AQBQPQ， DPAPPQ， DPBQPQ.11(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点如图，若A45，AB，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长如图，若2AEB180BED，ABE60，求证：BCBEDE如图，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想BED，ABD，CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论 E A A A E F E DB D B D B CC C 图1图2图3 （11题图） 【答案】解：在菱形ABCD中,ABAD,ABDE AA