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二项式定理 回顾 观察下面两个公式 从右边的项数 每项的次数 系数进行研究 你会发现什么规律 项数比左边次数多1 每项次数均为左边指数 a b指数a降b升 系数 尝试二项式定理的发现 猜想 a b 4 a b a b a b a b 展开后 会是什么样呢 你能从项数 次数 系数这几个方面谈一谈吗 展开式中 每一项是怎样得到的 既然这样 每一项的次数都应为几次 4次 展开后具有哪些形式的项呢 a4 a3b a2b2 ab3 b4 探索 a b 4 a b a b a b a b 在上面4个括号中 每一项在展开式中出现多少次 也就是展开式中各项系数为什么 因此 特点 项数比次数多1 每项次数为左边指数4 a降b升 系数为 按上述规律 我们能将 a b n展开吗 二项式定理 1 的展开式各项都是n次 即展开式应有下面形式的各项 2 展开式各项的系数 每个都不取b的情况有1种 即种 的系数是 恰有1个取b的情况有种 的系数是 恰有r个取b的情况有种 的系数是 有n都取b的情况有种 的系数是 右边多项式叫的二项展开式 它有n 1项 各项的系数叫二项式系数 4 5 二项式定理中 设a b 则 叫二项展开式的通项 用Tr 1表示即 Tr 1 这个公式所表示的定理叫二项式定理 1 弄清定理结构特征 项数 n 1次数 n a降b升 和为n系数 2 二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数 而项的系数是该项的数字因数 3 通项公式可用求展开式中任意一项 求时必需明确r 一般地 比所说的第几项少1 通项是针对 a b n的标准形式而言 而 b a n a b n的通项则分别为 注意 4 在定理中 令a 1 b x 则 尝试二项式定理的应用 例1 解 展开 解 例2 展开 先化简 再展开 计算出结果即可 例3 求 x a 12展开式中倒数第4项 分析 倒数第4项 是第几项 用通项公式时 r 解 展开式共13项 倒数第4项为它的第10项T9 1 例4 1 求的展开式的第4项的系数 2 求的展开式中的系数及二项式系数 解 1 的展开式的第四项是 的展开式的第四项的系数是280 2 的展开式的通项是 9 2r 3 r 3 的系数 的二项式系数 求二项展开式的某一项 或者求满足某种条件的项 或者求某种性质的项 如含有项的系数 有理项 常数项等 通常要用到二项式的通项求解 注意 1 二项式系数与系数的区别 2 表示第项 例题点评 课堂练习 课本P 31练习布置
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