方程的根与函数的零点教案.doc

方程的根与函数的零点 数学系10级4班骆家玉一、教学目标： 1、知识与技能： a、理解函数零点的定义； b、掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；数学 2、过程与方法： a、从一元二次方程根的求解以及相应函数图象，探索出零点的概念与方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系； b、通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法； c、特殊到一般的方法； 3、情感、态度与价值观： a、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值； b、培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯； c、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。二、教学重点 零点的概念及零点存在性的判定。三、教学难点 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。四、教学手段 PPT五、教学方法 教法：启发引导、类比、归纳教学学法：自主探索、探究式、合作交流六、教学过程设计（一）引入课题 问题引入：求方程（1）、3x2=0 （2）、x2-5x+6=0 （3）、91x2+73x-116=0（4）、lnx+2x-6=0的实数根。 问：一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度，之前我们学习了函数的概念以及函数的性质，思考一下我们能否用函数的思想去刻画方程的根呢？ 设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。（二）新知探究 1、零点的概念 问题1 求方程x22x30的实数根，并画出函数yx22x3的图象； 方程x22x30的实数根为-1、3。函数yx22x3的图象如图所示。 问题2 观察形式上函数yx22x3与相应方程x22x30的联系。 函数y0时的表达式就是方程x22x30。 问题3 由于形式上的联系，则方程x22x30的实数根在函数yx22x3的图象中如何体现？y0即为x轴，所以方程x22x30的实数根就是yx22x3的图象与x轴的交点横坐标。 设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 初步提出零点的概念：-1、3既是方程x22x30的根，又是函数yx22x3在y0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。 问题4 函数yx22x1和函数yx22x3零点分别是什么？ 函数yx22x1的零点是-1。函数yx22x3不存在零点。 设计意图：应用定义，加深对概念的理解。 提出零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（zero point）2、函数零点的判定： 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。想一想怎样求函数的零点？ 引导学生归纳出求函数的零点有两种方法： 代数法:求方程f(x)=0的实数根； 几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 3、函数零点的存在性定理 观察下面函数f（x）0的图象并回答 设计意图：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。引导根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论。 通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）0的根 针对定理提出疑问：（1）若只给条件f(a) f(b)0,能否保证函数y=f(x)在(a,b)一定有零点？（2）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)0一定成立吗?（3）零点唯一吗？ 通过反例运用图像解决学生提出的问题：A.若函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。C.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数yf(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。（三）新知应用与深化 例题 求函数的零点个数分析：用计算器或计算机作出x，的对应值表和图象。123456789-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f (2)0,则，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个 设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。（四）总结归纳 通过引导让学生回顾零点概念