对《同步学习》中一道习题的探究.docx

对同步学习中一道习题的探究原题是九上同步学习第53页的第3题，题目如下：经过对原题的深入思考后，我把题目改编如下：如图所示，ABC中，AB=AC，将ABC绕点逆时针旋转(0180)，得到ADE，BD和CE所在直线相交于点O，BC和DE所在直线相交于点H，AD和BC所在直线相交于点F， AC和DE所在直线相交于点G，连接AO、BE、CD、FG。（1）.求BOE，（2）.你还能得出哪些结果？请举例并证明。1.用观察分析的方法来求BOE。如原图易知ABD逆时针旋转角度BAC得到ACE， 所以BD逆时针旋转角度 BAC得到CE，所以BOE=180BAC。在原题中，BAC60， 所以BOE=180BAC120， 从式子 BOE=180BAC可知，BOE并不随旋转角变化而变化，只与BAC有关，从而容易求出BOE的度数。2. 还能得出以下结果：AO平分BAE和DAC;H在直线AO上； BEFGCD;ABFAEG、ABHAEH、AFHAGH、ADHACH、ABOAEO、ADOACO、BDHECH、BDFECG、DFHCGH、DFGCGF、DHOCHO、BDCECD、BHOEHO、BDEECB、BOCEOD；AFGADC、DHCGHFEHB、DOCBOE。DOC、DHC、FHG、BHE、FAG是等腰三角形。分三种情况讨论：060、=60、60180，现以060这种情况为例，用观察分析的方法来证明。方法1：如图， 设AX平分BAE，则有BAX-BAD=EAX-CAE，即DAX=CAX，所以AX也平分CAD。所以点B和点E、点D和点C关于AX对称，根据轴对称的概念与性质可知，BD所在直线与EC所在直线的交点、BC所在直线与ED所在直线的交点在在对称轴AX上，即点O、H在对称轴AX上，所以有：AO平分BAE和DAC; H在直线AO上。点F在AD上，所以点F关于AX的对称点在AC上，又点F在BC上，所以点F关于AX的对称点在DE上， 而AC与DE的交点为G，所以点F和点G关于AX对称， 所以BE所在的直线与CD所在的直线、FG所在的直线两两互相平行，即BEFGCD。方法2：易知ABE=AEB，容易得出，所以OB=OE，利用SAS或SSS都可证明得ABOAEO， 所以AO平分BAE，易得AO平分DAC。利用AAS（BHD=EHC、DBH=CEH、BD=CE）可得BDHECH，所以BH=EH，利用SAS或SSS都可证明得ABHAEH，所以有AH平分BAE，所以H在AO上。（也可利用SSS证ADHACH）证明BEFGCD有以下方法：用内错角相等或同位角相等、利用三角形全等得出对应线段相等后平行线分线段成比例、AO垂直BE、FG、CD。其余结果证明略。（从对称的角度去思考可容易得出。）另外两种情况=60、60180可类似分析。=60时图像如下：点O、D、F、G、H与C重合。60180时图像如下：若加上AC与BD、AD与CE、BE、FG、CD与各线的交点还能得出更多结果。若把原题的等边三角形改成正方形呢？如下图所示：正方形ABCD逆时针旋转一个角度得到正方形AEFG，进行类似探究。弱化条件，四边形ABCD中，AB=AD，