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一 可积的必要条件 二 可积的充要条件 三可积条件 三 可积函数类 一 可积的必要条件 定理9 2若函数 在 上可积 则 在 上必定有界 证 用反证法 在 上无界 则对于 的任一分割T 必存在属于T的某个小区间 在 上无界 在 的各个小区间 上任意取定 并记 若 使得 现对任意大的正数M 由于 在 上无界 故存在 于是有 这与 在 上可积相矛盾 从而定理得证 注 任何可积函数一定是有界的 但有界函数却不一定可积 例1证明狄理克雷函数 在 上有界但不可积 证 显然 对于 的任一分割 由有理数和无理数在实数中 的稠密性 在属于 的任一小区间 当取 全为有理数时 当取 全为无理数时 所以无论 多么小 只要点集 取法不同 全取有理数或全取无理数 积分和有不同极限 即 在 不可积 二可积的的充要条件 任给 显然有 Riemann可积的第一充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 其中 Riemann可积的第二充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 其中 Riemann可积的第三充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 注 连续函数 只有有限个间断点的有界函数和
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