复变函数解析函数.ppt

第二章解析函数 1 复变函数的导数定义 2 1解析函数的概念 GO 2 解析函数的概念 一 复变函数的导数 1 导数定义 如果w f z 在区域D内处处可导 则称f z 在区域D内可导 1 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零 2 z x iy z x i y f f z z f z 例1 2 求导公式与法则 常数的导数c a ib 0 zn nzn 1 n是自然数 证明对于复平面上任意一点z0 有 实函数中求导法则的推广 设函数f z g z 均可导 则 f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z 复合函数的导数 f g z f w g z 其中w g z 反函数的导数 其中 w f z 与z w 互为单值的反函数 且 w 0 思考题 例3问 函数f z x 2yi是否可导 例2 解 解 例4证明f z zRez只在z 0处才可导 证明 1 复变函数在一点处可导 要比实函数在一点处可导要求高得多 也复杂得多 这是因为 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故 2 在高等数学中要举出一个处处连续 但处处不可导的例题是很困难的 但在复变函数中 却轻而易举 3 可导与连续 若w f z 在点z0处可导w f z 点z0处连续 二 解析函数的概念 1 w f z 在D内解析在D内可导 2 函数f z 在z0点可导 未必在z0解析 例如 1 w z2在整个复平面处处可导 故是整个复平面上的解析函数 2 w 1 z 除去z 0点外 是整个复平面上的解析函数 3 w zRez在整个复平面上处处不解析 见例4 定理1设w f z 及w g z 是区域D内的解析函数 则f z g z f z g z 及f z g z g z 0时 均是D内的解析函数 定理2设w f h 在h平面上的区域G内解析 h g z 在z平面上的区域D内解析 h g z 的函数值集合G 则复合函数w f g z 在D内处处解析 2 2解析函数的充要条件 1 解析函数的充要条件 2 举例 如果复变函数w f z u x y iv x y 在定义域D内处处可导 则函数w f z 在D内解析 问题如何判断函数的解析性呢 一 解析函数的充要条件 记忆 定理1设f z u x y iv x y 在D内有定义 则f z 在点z x iy D处可导的充要条件是u x y 和v x y 在点 x y 可微 且满足Cauchy Riemann方程 上述条件满足时 有 证明 由f z 的可导C R方程满足上面已证 只须证f z 的可导函数u x y v x y 可微 函数w f z 点z可导 即 则f z z f z f z z z z 1 且 u i v a ib x i y 1 i 2 x i y a x b y 1 x 2 y i b x a y 2 x 1 y 令 f z z f z u i v f z a ib z 1 i 2故 1 式可写为 因此 u a x b y 1 x 2 y v b x a y 2 x 1 y 所以u x y v x y 在点 x y 处可微 由函数u x y v x y 在点 x y 处可微及满足C R方程f z 在点z x iy处可导 u x y v x y 在 x y 点可微 即 定理2函数f z u x y iv x y 在D内解析充要条件是u x y 和v x y 在D内可微 且满足Cauchy Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系 当一个函数可导时 仅由其实部或虚部就可以求出导数来 利用该定理可以判断哪些函数是不可导的 使用时 i 判别u x y v x y 偏导数的连续性 ii 验证C R条件 iii 求导数 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的 但是求复变函数的导数时要注意 并不是两个实函数分别关于x y求导简单拼凑成的 二 举例 例1判定下列函数在何处可导 在何处解析 解 1 设z x iyw x iyu x v y则 解 2 f z ex cosy isiny 则u excosy v exsiny 仅在点z 0处满足C R条件 故 解 3 设z x iyw x2 y2u x2 y2 v 0则 例2求证函数 证明由于在z 0处 u x y 及v x y 都是可微函数 且满足C R条件 故函数w f z 在z 0处解析 其导数为 例3 证明 例4如果f z u x y iv x y 是一解析函数 且确定 练习 a 2 b 1 c 1 d 2 2 3初等函数 3 对数函数 1 指数函数 2 三角函数和双曲函数 4 幂函数 5 反三角函数 一 指数函数 它与实变指数函数有类似的性质 定义 这个性质是实变指数函数所没有的 例1 例2 例3 二 三角函数和双曲函数 推广到复变数情形 正弦与余弦函数的性质 思考题 由正弦和余弦函数的定义得 其它三角函数的定义 详见P51 双曲正弦和双曲余弦函数的性质 三 对数函数 1 对数的定义 故 2 对数函数的性质 见 1 6例1 例4 四 乘幂与幂函数 乘幂ab 定义 多值 一般为多值 q支 2 当b 1 n n正整数 时