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怎样培养孩子的抽象思维？准确解码数学语言是关键2017-03-15外滩教育文 |LILIAN XU编辑 | 闻琛讨论回放某个周末的一早，虎虎妈把孩子做错的一道数学题发来数学群，希望大家帮忙一起讨论，到底是孩子真的错了，还是老师的批改太僵化武断。请看下图中的【九、2】这题：我们一致认为孩子没什么错误，孩子的思路只是跟标准答案不一样而已。很不幸，我们都错了，纵然我们不乏各种数学高手、数学专业博士，也因为匆忙一瞥而在此问题上犯了错。我想，如果我们自己做，肯定不会出错，但我们却没能鉴别出孩子的错误，这就是辅导数学题和自己做数学题的区别。下午我有空坐下来仔细看了这道题目，并且与群友展开了扣词抠图的讨论，终于能清晰地定义出了孩子此题判错的原因，甚至可能判错的老师都不一定能解释清楚。只看此图，孩子创造的这个规律完全无错，甚至可以说是常见的规律模式。那么为什么判错呢？因为这是在解一道数学题，无需放眼世界。这是在一定要求下的解题而不是自由地创作，判错的原因就是因为“没有按照题目要求”完成解题。我们一起再来解读一下题目要求：找规律，继续画下去：题目的要求是“找规律，继续画下去”，如果我们把这样不怎么专业的要求翻译成标准的数学语言，那么“找规律”=“识别模式”（Identify Pattern），“继续画下去”=“延续模式”（Extend Pattern），而孩子的解答属于“创造模式”（Create Pattern）。这样解构，你是否看出问题所在了？“创造模式”不是这道数学题的要求，因为题目只要求“延续模式”就可以了。就好像写作文一样，最差得分的作文往往都是因为偏题了。可能有人会问，延续模式和创造模式有什么区别呢？要分辨此中差异，需要引入模式识别中一个非常关键的概念叫“模式单元”（Pattern Unit）。当能把题目图式解构出来，就能识别出模式单元#1和模式单元#2，从而就能发现两个单元之间发生的变化有点类似音乐中的变奏，用符号表达的话可以称作ABABB，如果延续这个模式变奏，那么画下去就可以是ABABBABBBA（或者ABABBABBBBA）。我们再来解读孩子的回答为什么是创造模式而不是延续模式：从孩子的解答中可以看出，他对题目图式中的模式单元是如此划分的：从模式单元#1到模式单元#2呈现的是“重复”，也就是说模式单元#2完全copy不走样地复制了模式单元#1。而题目的图式中并没有出现“重复”这个模式变化，因此孩子没有延续，而是自己创造了“重复”这个模式。我没有在孩子的数学教材中看到过这样的概念定义和概念展开，倒是从美国一年级的数学教材中看到了Pattern Unit、Identify Patten、Copy Pattern、Extend Pattern、Create Pattern这些术语。从上面这道题目分析来看，各种吐槽对孩子的数学思维都无济于事。我们真正能做的是，在孩子做数学题时，提醒他们严谨地审题，准确无误地将文字语言转换成数学语言，借助合适的图式表征，将题目信息完全地解构。数学本质上是抽象和推理的学科，所以让孩子能掌握数学语言并通过丰富的经验来解题，这样的过程必然远优于刷题和套路的学习模式。作为父母真正要思考的是，当满世界的微信公众号都在高叫“三年级数学掉队是因为抽象思维能力弱”的时候，你确定知道什么叫抽象思维、什么叫抽象思维弱吗？你确定知道该如何培养抽象思维吗？卡夫卡曾说过：“相信一切事物和一切时刻的合理的内在联系，相信生活作为整体将永远延续下去，相信最近的东西和最远的东西。”抽象，大道至简，这就是数学思维的核心构成，当你能去除现象看本质，你本身就在着力同构这个世界。大数据喧嚣的时代，真正的核心其实就是解构世界的一个个经典算法，是算法在无比深刻地表达我们身处的现实世界。基于这些观察和思考，我最近考虑参考美国奥数总教头罗博深教授的建议，把有数学兴趣的孩子集结在一起，以美国的数学教材和竞赛题为媒介，控制孩子人数，引入专业的辅导老师，让孩子们在深刻地理解数学概念后掌握一定地解题技巧，同时还能掌握用英语学数学。尽管我们已经有一个家长集结的数学群，共同在群里探讨如何正确地教孩子数学，但孩子的数学兴趣小组依然充满深刻的意义，美国遍地开花的Math Circle可以佐证。在本文之后，又有不少家长将讨论引向深入，摘取部分，谨供参考。魏征找规律其实是找寻规律变化中那不变的部分。 例如我们常说的AB型规律，它的规律模式是 ABABABABABAB 它每一次的延伸处在不断变化中，即A和B的交替出现，但是我单拿出一个A或单拿出一个B都无法形成上面的模式。 但在这个规律模式中存在一个“不变”的单元就是：AB。 我将AB做为一个单元不断的反复出现，那么就可以得到上面的模式序列。 所以，这个“AB”就是循环节。 题目所表达的形式给了孩子定义简单循环节的机会，即单纯的重复规律。 按题目中的“本意”规律模式，算是一个双重规律，一是三角形和圆形交替出现，一是圆形每次+1。九里小叔关键在于呈现了什么？ abab是呈现了ab 循环，闭合了abba等其它规律的呈现。 这题就是要找呈现出来的规律是什么，而不是规定一个规律。魏征是的，孩子认为这个题目呈现出来的规律是简单的循环规律，即ABABB、ABABB。孩子在初期认知规律过程中，对于规律序列的推理是建立在位置和序列关系上的，而随着学习的深入逐渐可以转化为定义模式单元。魏征其实孩子出现这样的问题正是因为在定义规律时，忽略了题干中至少要有两项符合循环节，这个是根据某个规律模式定义循环节的前提！ 如果孩子具备这个意识，就不会出现后面的这个错误。LILIAN孩子的答案没有体现出他是否有效识别出Pattern Unit。这题目如果更完美来说，可以加一个Unit，孩子不应该存在辨识不出的问题。不过不吹毛求疵来说，题目没有不严谨的问题。规律题的核心就是Identify Pattern Unit，至于Pattern Unit之间是如何变化，有多少种变化，那是可以无限想象的。骐宝我是比较喜欢留白的，不喜欢把所有原理都说透，我觉得孩子可以有自己的想法和思路，只要说得通就行。比如这道规律题，如果孩子提出他的设想，他认为可以重复，我也不会否认他，因为我觉得只要他能够说得通就可以了。至于是否理解了规律的本义，现在理解不了，过段时间他肯定就可以理解了。LILIAN世间万态，留白也罢，创意也罢，那是组合之美。你可以各种描绘水的形态，可以是江河，也可以是小溪，可以是滴水，可以是涌