拉格朗日方程.ppt

1 动力学的基本方法 牛顿定律 动量定理动量矩定理动能定理 达朗贝尔原理 动静法 虚位移原理 动力学普遍方程 主讲人 2 动力学普遍方程 拉格朗日方程 写成广义坐标虚位移形式 猜想 与运动有关 可否表示成动能的某种形式 是动力学普遍方程的广义坐标形式 3 拉格朗日 1736 1814年 法国数学家 力学家及天文学家 只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法 奠定变分法之理论基础 发表大量有关变分法 概率论 微分方程 弦振动及最小作用原理等论文 写了继牛顿后又一重要经典力学著作 分析力学 1788年 书内以变分原理及分析的方法 把完整和谐的力学体系建立起来 使力学分析化 第二节拉格朗日方程 第二类 4 设 具有完整约束的非自由质点系有k个自由度系统的广义坐标为 由n个质点组成的完整 理想约束质点系 有k个自由度 则第i质点的虚位移 1 将虚位移变为广义坐标形式 5 虚位移 由广义坐标的独立性 2 将动力学普遍方程变为广义坐标形式 动力学普遍方程 1 代入 2 中 展开 其中 广义惯性力可否表示成动能的形式 广义惯性力 6 广义惯性力 3 将广义惯性力表示动能的形式 3 式对广义速度求偏导数 因 即 广义速度 则 由 3 由上两式比较可得 7 广义惯性力 5 6 代入 4 由 拉格朗日方程 第二类 4 得到拉格朗日方程 8 第二类拉格朗日方程几种形式 1 当主动力均为有势力时 设 L T V 拉格朗日函数 2 当主动力部分为有势力时 9 用拉格朗日函数表示的拉格朗日方程是否只要完整约束系统就可以 拉格朗日方程的推导中 要求系统的约束是何种约束 思考题1 思考题2 思考题3 对一个系统来说 有多少个第2类拉格朗日方程 10 例 质量为m 杆长为l 弹簧刚度为k的系统如图示 杆位于水平时是系统的平衡位置 试求系统微振动的周期 解 取平衡位置作为零势能位置 1个自由度 取q为广义坐标 系统的动能 系统的势能 拉格朗日函数 11 代入拉格朗日方程 wn为圆频率 12 对于具有完整理想约束的质点系 若系统的自由度为k 则系统的动力学方程为 为对应于广义坐标的非有势力的广义力 13 解 1 确定系统的自由度和广义坐标2 求系统的动能和势能3 求非有势主动力的广义力4 代入拉格朗日方程 例 图示机构在铅垂面内运动 均质杆AB用光滑铰链与滑块连接 弹簧原长时杆竖直 求系统运动微分方程 AB 2L 解 取广义坐标为x q 以x 0 q 0处为零势能位置 14 拉格朗日方程为2阶k维常微分方程组 令 令 代入拉格朗日方程 15 例 无重绳索一端悬挂质量m1物块 另一端绕质量m2 作滚动的空心圆柱 放置光滑表面 试求系统运动微分方程 解 2个自由度 取广义坐标 x1 x2 系统的动能 系统的势能 拉格朗日函数 以x1 x2 0处为零势能位置 16 代入拉格朗日方程 得 17 例 在图示系统中 已知 圆环C质量为m 半径为R 挂在一半径为r的固定圆柱O上 圆环C与圆柱O之间无相对滑动 试以q为广义坐标 用第二类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 解 1 确定系统的自由度和广义坐标2 求系统的动能和势能 拉格朗日函数 3 求非有势主动力的广义力 18 例 车厢质量为m 质心C 转动惯量 弹簧刚度如图所示 水平位置为静平衡位置 建立运动微分方程 解 系统自由度广义坐标 该系统外力均为有势力 选取零势能位置 系统动能 系统势能 拉格朗日函数 静平衡位置 静平衡位置为坐标原点 19 求偏导数 代入拉格朗日方程 20 例 半径r 质量m1的匀质圆柱体在重力作用下沿三棱体A无滑动滚下 三棱体在光滑水平面上滑动 三棱体质量m2 求三棱体加速度及圆柱质心O相