有限元法基础-4单元和插值函数的构造.ppt

第四章单元与插值函数 4 1面积坐标4 2Lagrange单元4 3Serendipity单元4 4体积坐标4 5Hermite插值 1 4 单元与插值函数 通过变分法或加权余量法建立有限元方程时 首先是在确定单元形状后 在单元域内假设场函数的试解 本章重点介绍构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点 有限元法基础 2 4 单元与插值函数 关键概念自然坐标面积坐标体积坐标Lagrange单元Serendipity单元 有限元法基础 3 4 单元与插值函数 广义坐标有限元法的存在的问题 1 建立单元插值函数方法繁琐2 形成单元矩阵过于复杂 有限元法基础 4 4 单元与插值函数 单元插值函数的构造与求解问题的微分方程无关插值函数的构造方法与单元形状有关与单元节点数量与位置有关与单元节点DOF的类型和数量有关 有限元法基础 5 4 单元与插值函数 有限元法基础 6 4 1面积坐标 定义在三角形内任意一点P的位置由其三角形子域的面积与三角形面积的比值确定 即其中A为三角形面积 为的面积 为的面积 为的面积 有限元法基础 7 4 1面积坐标 记则三角形内的点P表示为称为面积坐标 有限元法基础 8 面积坐标的性质1 与j m平行的线上具有相同的Li 4 1面积坐标 有限元法基础 9 4 1面积坐标 2 角点坐标为i 1 0 0 j 01 0 m 0 0 1 3 形心坐标为4 三角形三条边的坐标为j m边 Li 0 m i边 Lj 0 i j边 Lm 05 三个坐标只有2个是独立的 有限元法基础 10 4 1面积坐标 面积坐标与直角坐标的关系三角形单元的面积三角形内任意点P x y 有限元法基础 11 4 1面积坐标 有限元法基础 12 4 1面积坐标 面积坐标的微积分运算1 导数 有限元法基础 13 4 1面积坐标 2 面积分3 i j边长为l的线积分 有限元法基础 14 4 1面积坐标 例 有限元法基础 15 4 1面积坐标 例 均质等厚单元的自重 有限元法基础 16 4 1面积坐标 用面积坐标给出的单元的插值函数以面积坐标作为三角形单元的自然坐标 表示的插值函数 对每一个节点来讲 插值函数是对称的 有限元法基础 17 4 1面积坐标 1 线性单元 3节点三角形单元根据形函数的特点这样可用过其他两节点的直线方程来构成 例如节点1 可用2 3边的直线方程来构成插值函数 即 有限元法基础 18 4 1面积坐标 2 二次单元 6节点三角形单元节点1 节点4 通用表达式 角节点中节点注 有限元法基础 19 4 1面积坐标 2 三次单元 10节点三角形单元节点1节点4节点10 有限元法基础 20 4 2Lagrange单元 单元场函数的插值表示为插值函数满足下列性质 有限元法基础 21 4 2Lagrange单元 一维Lagrange插值1 总体坐标下的位移插值函数对于n个节点的一维单元 节点坐标为多项式插值可达n 1阶 即 有限元法基础 22 4 2Lagrange单元 当 2时令 则引进无量纲坐标 有限元法基础 23 4 2Lagrange单元 2 自然坐标下的位移插值函数对于n个节点的一维单元 节点坐标为多项式插值可达n 1阶 即或 有限元法基础 24 4 2Lagrange单元 当n 2时 通式 有限元法基础 25 4 2Lagrange单元 当n 3时 有限元法基础 26 4 2Lagrange单元 二维Lagrange单元二维Lagrange单元的场插值函数由一维Lagrange插值分别在两个方向插值 即场插值函数为 有限元法基础 27 4 2Lagrange单元 可以证明 有限元法基础 28 4 2Lagrange单元 一次单元 4节点单元双线性插值 有限元法基础 29 4 2Lagrange单元 二次单元 9节点单元角节点边中节点内部节点 有限元法基础 30 4 2Lagrange单元 三维Lagrange单元单元节点场插值函数 有限元法基础 31 4 2Lagrange单元 可以证明 有限元法基础 32 4 2Lagrange单元 Lagrange单元族的特点1 插值函数构造方便2 高次单元内部节点过多 影响计算效率 有限元法基础 平面单元内部节点数 n 1 m 1 33 4 3Serendipity单元 Serendipity单元族单元的节点仅配置在角点和边界上 不改变精度的情况下 减少内节点 Irons等首先提出 按字面意思是意外发现的 但有规律可循 有限元法基础 34 4 3Serendipity单元 Serendipity单元族 有限元法基础 35 4 3Serendipity单元 Serendipity插值函数的构造4节点单元的插值函数与Lagrange单元相同 有限元法基础 36 4 3Serendipity单元 8节点单元在边中点的插值函数 有限元法基础 37 4 3Serendipity单元 显然 有限元法基础 38 4 3Serendipity单元 Serendipity插值函数的一般构造方法 有限元法基础 39 4 3Serendipity单元 Serendipity单元族 有限元法基础 40 4 3Serendipity单元 二次平面单元 8节点单元 有限元法基础 41 4 3Serendipity单元 划线法构造插值函数二次平面单元 8节点单元由 得 有限元法基础 42 4 3Serendipity单元 平面四边形8节点单元插值函数 有限元法基础 43 4 3Serendipity单元 三维Serendipity单元族1 线性单元 8节点单元 有限元法基础 44 4 3Serendipity单元 2 二次单元 20节点单元插值函数完备到二次 有限元法基础 45 4 3Serendipity单元 Serendipity插值与Lagrange插值的差异Serendipity插值函数的多项式表示与Lagrange插值相比少都是二次完备 没达到三次完备 有限元法基础 46 4 3Serendipity单元 有限元法基础 47 4 3Serendipity单元 Lagrange插值项 有限元法基础 48 4 3Serendipity单元 Serendipity插值项 有限元法基础 49 4 3Serendipity单元 Serendipity插值与Lagrange插值的差异 有限元法基础 50 4 3Serendipity单元 在边 二次变化在边 二次变化单元的每条边上有三个节点 因此插值是协调的 有限元法基础 51 4 4体积坐标 定义 四面体中任一点P的位置由下列参数确定 有限元法基础 52 4 4体积坐标 四面体单元族 有限元法基础 53 4 4体积坐标 1 线性单元 4节点单元2 二次单元 10节点单元角节点边中节点 有限元法基础 54 4 4体积坐标 3 三次单元 20节点单元角节点边中节点面内节点 有限元法基础 55 4 4体积坐标 体积坐标的微分复合函数求导公式 有限元法基础 56 4 4体积坐标 体积坐标的积分 有限元法基础 57 4 5Hermite插值 特点1 多项式插值2 节点参数包含导数 例如3 在插值点上导数也连续4 0阶连续的Hermite插值就是Lagrange插值 有限元法基础 58 4 5Hermite插值 例 一维问题有n个节点 包含有2n个节点未知参数 可唯一确定2n 1次多项式的插值函数 有限元法基础 59 4 5Hermite插值 容易得到其中为Lagrange插值函数 有限元法基础 60 4 5Hermite插值 采用局部无量纲坐标时 端点为 有限元法基础 61 4 5Hermite插值 在无量纲坐标下 插值函数曲线 有限元法基础 62 4 5Hermite插值 二阶Hermite插值函数 有限元法基础 63 4 5Hermite插值 例 2节点梁单元 有限元法基础 64