直线与平面垂直的性质课时作业（附答案）

1 / 15 直线与平面垂直的性质课时作业（附答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 课时提升作业 (十 ) 直线与平面垂直的性质 一、选择题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 1.已知直线 l1， l2与平面 ，有下列说法： 若 l1 ， l1l2 ，则 l2 ； l1 ， l2=A ，则l1与 l2为异面直线； 若 l1 ， l2 ，则 l1l2 ； 若 l1l2 ， l1 ，则 l2. 其中正确的个数有 ( ) 个个个个 【解析】选 B. 错，因为 l2还可能在 内 . 错，当 Al1时， l1l2=A. 对，是线面垂直的性质定理 . 错， l2与 的位置关系不确定 . 2.(XX松原高一检测 )Bc是 RtABc 的斜边， AP 平面 ABc， PDBc 于点 D，连接 AD，则图中共有直角三角形的个数 是 ( ) 【解析】选 A.因为 AP 平面 ABc， Bc平面 ABc， 2 / 15 所以 PABc ，又 PDBc 于 D， PDPA=P ， 所以 Bc 平面 PAD， AD平面 PAD，所以 BcAD. 又 Bc是 RtABc 的斜边，所以 BAc 为直角 . 所以图中的直角三角形有： ABc ， PAc ， PAB ， PAD ，PDc ， PDB ， ADc ， ADB. 3.在空间中，下列说法正确的有 ( ) 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 平行于同一平面的两条直线互相平行； 两条异面直线不可能垂直于同一平面 . 个个个个 【解析】选 B.由公理 4 知 正确，由线面垂直的性质定理知 正确 .对于 ，空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能 .对 中的两条平行于同一个平面的直线，其位置关系不确定 . 4.(XX广东高考 )设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列说法中正确的是 ( ) A.若 l ， l ，则 B. 若 l ， l ，则 c.若 l ， l ，则 D. 若 ， l ，则 l 【解析】选 B.对于选项 A，两个平面 ， 平行于同一条直线，不能确定两平面平行还是相交 (若两平面相交能确定3 / 15 与交线平行 )；对于选项 B，垂直于同一条直线的两个平面平行 (直线是公垂线 )；对于选项 c，能推出两个平面相交且两个平面垂直；对于选项 D， l ， l ， l 都可能 . 5.如图，已知 ABc 为直角三角形，其中 AcB=90 ， m 为AB的中点， Pm垂直于 ABc 所在平面，那么 ( ) =PBPc =PBPc =PB=Pc PBPc 【解析】选 c. 因为 ABc 为直角三角形， m 为斜边 AB的中点， 所以 mA=mB=mc， 因为 Pm垂直于 ABc 所在平面， 所以 RtPmARtPmBRtPmc ， 所以 PA=PB=Pc. 【变式训练】已知直线 PG 平面 于 G，直线 EF ，且 PFEF于 F，那么线段 PE， PF， PG的关系是 ( ) PE PG 【解析】选 c.在 RtPFE 中， PEPF；在 RtPFG 中，PFPG. 6.(XX吉安高二检测 )如图，设平面 =EF ，4 / 15 AB ， cD. 垂足分别为 B， D，如果增加一个条件，就能推出 BDEF ，这个条件不可能是下面四个选项中的 ( ) EF 与 BD在 内的射影在同一条直线上 与 ， 所成的角相等 【解析】选 D.对于 A.若 Ac ， EF ，则 AcEF. 又 AB ， EF ，则 ABEF ， AB ， cD ， 所以 ABcD ， 故 ABDc确定一个平面，又 AcAB=A ， 所以 EF 平面 ABDc， BD平面 ABDc，所以 EFBD. 同理 B 也能推出 BDEF. 对于选项 c.由于 Ac 与 BD 在 内的射影在同一条直线上，所以平面 ABDc与平面 垂直，又因为 EFAB ，所以 EF 平面 ABDc，所以 EFBD. 对于 D，若 AcEF ，则 Ac 与 ， 所成的角也相等，但不能推出 BDEF. 二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 7.(XX无锡高二检测 )已知直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， mn= m，直线 am ， an ，直线 bm ， bn ，则直线 a， b 的位置关系是 _. 【解析】因为直线 am ， an ，直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， mn=m ，所以 a. 同理可证直线 b ，所以 ab. 5 / 15 答案： ab 8.若三个平面两两垂直，它们交于一点 A，空间一点 c1 到三个平面的距离分别为 5， 6， 7，则 Ac1的长为 _. 【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7， 6， 5， Ac1为体对角线，所以 Ac1=. 答案： 是 o 的直径，点 c 是 o 上的动点 (点 c 不与 A， B 重合 )，过动点 c 的直线 Vc垂直于 o 所在的平面， D， E 分别是 VA，Vc 的中点，则下列结论中正确的是 _(填写正确结论的序号 ). (1)直线 DE 平面 ABc. (2)直线 DE 平面 VBc. (3)DEVB. (4)DEAB. 【解析】因为 AB 是 o 的直径，点 c 是 o 上的动点 (点 c不与 A， B 重合 )， 所以 AcBc ， 因为 Vc垂直于 o 所在的平面， 所以 AcVc ，又 BcVc=c ， 所以 Ac 平面 VBc. 因为 D， E 分别是 VA， Vc的中点， 6 / 15 所以 DEAc ，又 DE平面 ABc， Ac平面 ABc， 所以 DE 平面 ABc， DE 平面 VBc， DEVB ， DE与 AB所成的角为 BAc 是锐角，故 DEAB 不成立 . 由以上分析可知 (1)(2)(3)正确 . 答案： (1)(2)(3) 三、解答题 (每小题 10分，共 20分 ) 10.(XX开封高一检测 )如图，三棱柱 ABc-A1B1c1 中，cA=cB， AB=AA1， BAA1=60. (1)求证： ABA1c. (2)若 AB=cB=2， A1c=，求三棱柱 ABc-A1B1c1 的体积 . 【解析 】 (1)如图， 取 AB的中点 o，连接 oc， oA1， A1B. 因为 cA=cB，所以 ocAB. 由于 AB=AA1， BAA1=60 ，故 AA1B 为等边三角形， 所以 oA1AB. 因为 ocoA1=o ，所以 AB 平面 oA1c. 又 A1c平面 oA1c，故 ABA1c. (2)由题设知 ABc 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形， 所以 oc=oA1=. 又 A1c=，则 A1c2=oc2+o，故 oA1oc. 因为 ocAB=o ，所以 oA1 平面 ABc，所以 oA1 为三棱柱7 / 15 ABc-A1B1c1 的高 . 又 ABc 的面积 SABc= ，故三棱柱 ABc-A1B1c1 的体积V=SABcoA1=3. 11.如图，直三棱柱 ABc-A1B1c1 中， Ac=Bc=1， AcB=90 ，AA1=， D 是 A1B1的中点 . (1)求证： c1D 平面 A1B. (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时，会使得 AB1 平面 c1DF？并证明你的结论 . 【解析】 (1)因为 ABc-A1B1c1 是直三棱柱， 所以 A1c1=B1c1=1，且 A1c1B1=90. 又 D 是 A1B1的中点， 所以 c1DA1B1. 因为 AA1 平面 A1B1c1， c1D平面 A1B1c1， 所以 AA1c1D ，又 AA1A1B1=A1 ， 所以 c1D 平面 A1B. (2)作 DEAB1 交 AB1于 E，延长 DE交 BB1于 F，连接 c1F，则 AB1 平面 c1DF，点 F 即为所求 . 证明：因为 c1D 平面 AA1B1B， AB1平面 AA1B1B， 所以 c1DAB1. 又 AB1DF ， DFc1D=D ， 所以 AB1 平面 c1DF. 【变式训练】如图所示， ABcD 为正方形， SA 平面 ABcD，8 / 15 过 A 且垂直于 Sc 的平面分别交 SB， Sc， SD 于点 E， F， G.求 证： AESB. 【证明】因为 SA 平面 ABcD， Bc平面 ABcD，所以 SABc ，又因为 BcAB ， SAAB=A ， 所以 Bc 平面 SAB， 又 AE平面 SAB，所以 BcAE. 因为 Sc 平面 AEFG，所以 ScAE. 又 BcSc=c ，所以 AE 平面 SBc， 所以 AESB. 一、选择题 (每小题 4 分，共 16 分 ) 1.已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 . 有下面四个说法： lm ； lm ； lm ； lm. 其中正确的说法是 ( ) A.B.c.D. 【解析】选 ， ，所以 l. 又因为 m ，所以lm. 正确 .lm ， l ，所以 m ，又因为 m ，所以 ， 正确 . 2.如图，在 RtAcB 中， AcB=90 ，直线 l 过点 A 且垂直9 / 15 于平面 ABc，动点 Pl ，当点 P 逐渐远离点 A 时， PcB 的大小 ( ) A.变大 B.变小 c.不变 D.有时变大有时变小 【解析】选 c.由于 BccA ， l 平面 ABc， 所以 Bcl ，即 BcAP ，又因为 APAc=A ， 故 Bc 平面 AcP， 所以 Bcc P，即 PcB=90. 3.(XX蚌埠高一检测 )线段 AB在平面 的同侧， A，B到 的距离分别为 5， 7，则 AB的中点到 的距离为 ( ) 【解题指南】利用线面垂直的性质求解 . 【解析】选 c.设 AB的中点为 m，分别过 A， m， B 向 作垂线，垂足分别为 A1， m1， B1，则由线面垂直的性质知AA1mm1BB1 ，四边形 AA1B1B为直角梯形， AA1=5， BB1=7，mm1为其中位线，所以 mm1=6. 4.(XX洛阳高一检测 )Po垂直于 ABc 所在平面 ，垂足为 o，若点 P 到 ABc 的三边的距离相等，且点 o在 ABc内部，则点 o 是 ABc 的 ( ) A.重心 B.垂心 c.外心 D.内心 10 / 15 【解析】选 D.如图所示，因为 Po 平面 ABc，所以 PoAB.又因为 PDAB ， PoPD=P ，所以 AB 平面 PoD，所以 ABoD.同理， oEBc ， oFAc. 又因为 PD=PE=PF，所以 oD=oE=oF. 所以 o 为 ABc 的内心 . 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5.(XX合肥高一检测 )如图，在正方体 ABcD-A1B1c1D1中， m， N 分别是棱 AA1， AB上的点 ，若 B1mN=90 ，则 c1mN=_. 【解析】因为 B1c1 平面 ABB1A1，所以 B1c1mN. 又 B1mN是直角， 所以 mNB1m. 又 B1c1B1m=B1 ， 所以 mN 平面 B1c1m. 所以 mNc1m ，所以 c1mN=90. 答案： 90 6.如图，在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中，点 P 在侧面 Bcc1B1及其边界上运动，并且总是保持 AP 与 BD1 垂直，则动点 P的轨迹为 _. 【解析】如图，先找到一个平面总是保持与 BD1垂直， 连接 Ac， AB1， B1c，在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中， 有 BD1 面 AcB1， 11 / 15 又点 P 在侧面 Bcc1B1 及其边界上运动， 根据平面的基本性质得： 点 P 的轨迹为面 AcB1与面 Bcc1B1 的交线段 cB1. 答案：线段 cB1 【变式训练】在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中， E， F， G， H 分别是棱 AD， DD1， D1A1， A1A 的中点， m 是 AB 的中点，点 N在四边形 EFGH的四边及其内部运动，则 N 满足什么条件时，有 mNA1c1. 【解析】连接 EG， Em， Gm， BD， 因为正方形 AA1D1D中， E， G 分 别为 AD， A1D1的中点， 所以 EGAA1. 因为 AA1 平面 A1B1c1D1， 所以 EG 平面 A1B1c1D1. 因为 A1c1平面 A1B1c1D1， 所以 A1c1EG. 因为在 ABD 中， Em是中位线，所以 EmBD. 因为 BB1DD1 且 BB1=DD1， 所以四边形 BB1D1D是平行四边形， B1D1BD. 所以 EmB1D1. 因为正方形 A1B1c1D1中， A1c1B1D1 ， 所以 A1c1Em. 因为 EmEG=E ， Em， EG平面 EGm， 12 / 15 所以 A1c1 平面 EGm. 因此，当点 N 在 EG 上时，直线 mN 平面 EGm，有 mNA1c1成立 . 三、解答题 (每小题 12分，共 24分 ) 7.(XX宿迁高二检测 )如图，在三棱锥 P-ABc 中，点E， F 分别是棱 Pc， Ac的中点 . (1)求证： PA 平面 BEF. (2)若平面 PAB 平面 ABc， PBBc ，求证： BcPA. 【解题指南】 (1)根据三角形中位线的性质，可得 EFPA ，再利用线面平行的判定定理，可证 PA 平面 BEF. (2)作 PoAB ，垂足为 o，根据平面 PAB 平面 ABc，可得Po 平面 ABc，所以 PoBc ，利用 PBBc ，可得 Bc 平面PAB，从而可得结论 . 【证明】 (1)因为点 E， F 分别是棱 Pc， Ac的中点， 所以 EFPA ， 因为 PA平面 BEF， EF平面 BEF， 所以 PA 平面 BEF. (2)作 PoAB ，垂足为 o， 因为平面 PAB 平面 ABc，平面 PAB 平面 ABc=AB， 所以 Po 平面 ABc，所以 PoBc ， 因为 PBBc ， PoPB=P ，所以 Bc 平面 PAB， 因为 PA平面 PAB，所以 BcPA. 13 / 15 【变式训练】如图，已知点 P 为平面 ABc外一点， PAB c，PcAB ，求证： PBAc. 【证明】过 P 作 Po 平面 ABc于 o，连接 oA， oB， oc.因为Bc平面 ABc，所以 PoBc. 又因为 PABc ， PAPo=P ， 所以 Bc 平面 PAo. 又因为 oA平面 PAo， 所以 BcoA. 同理，可证 ABoc. 所以 o 是 ABc 的垂心 .所以 oBAc. 又因为 PoAc ， oBPo=o ，所以 Ac 平面 PBo. 又 PB平面 PBo，所以 PBAc. 8.(XX山东高考 )如图，四棱锥 P-ABcD中， AP 平面PcD， AD Bc， AB=Bc=AD， E， F 分别为线段 AD， Pc的中点 . (1)求证： AP 平面 BEF. (2)求证： BE 平面 PAc. 【解题指南】 (1)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行来证明线面平行 . (2)本题考查了线面垂直的判定，在平面 PAc 中找两条相交14 / 15 直线与 BE垂直即可 . 【证明】 (1)连接 Ac交 BE于点 o，连接 oF，不妨设 AB=B