高数一第一次辅导讲义.ppt

高等数学 一 学习辅导第一部分 内容提要和考试要求一 函数 极限与连续 1 理解函数的概念 理解函数的两个要素 函数的定义域与函数的对应法则 2 理解函数的奇偶性和单调性 了解函数的有界性和周期性 3 了解反函数的概念 会求单调函数的反函数 4 理解和掌握函数的四则运算和复合运算 熟练掌握复合函数的复合过程 5 掌握基本初等函数的简单性质及其图象 了解初等函数的概念 6 了解函数极限的直观概念 7 理解函数在一点处左 右极限的概念 理解函数在一点处极限存在的充分必要条件 8 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法 9 掌握极限的四则运算法则 10 理解无穷小量概念 了解无穷大量概念 掌握无穷小量性质 了解无穷小量的阶的概念 11 理解函数在一点连续与间断的概念 掌握判断简单函数 含分段函数 在一点连续的方法 12 了解在闭区间上连续函数的性质 13 理解初等函数在其定义区间上性质 并会利用函数连续性求极限 二 一元函数微分学 1 理解导数的概念及其几何意义 2 会求曲线上一点处的切线方程 3 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则以及复合函数的求导方法 4 掌握隐函数的求导法 5 了解高阶导数的概念 会求函数的二阶导数 6 理解微分的概念 会求函数的一阶微分 7 熟练掌握用洛必达法则求 型未定式的极限方法 8 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增 减区间的方法 会利用函数的增减性证明简单的不等式 9 理解函数极值的概念 掌握求函数的极值 最大值与最小值的方法 并会求解简单的应用问题 10 会判定曲线的凹凸性 会求曲线的拐点三 一元函数积分学 1 理解原函数与不定积分的概念及其关系 掌握不定积分的性质 2 熟练掌握不定积分的基本公式 3 理解定积分的概念 基本性质 定积分中值定理 4 掌握微积分基本定理 即变上限积分定理 和微积分基本公式 即牛顿 莱布尼兹公式 5 运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分 6 运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单立体的体积 第二部分 解题方法和典型例题一 求极限的主要方法1 利用各极限定理与性质 包括左右极限定理 单调有界定理 夹逼准则等 2 运用四则运算公式与连续性求定式的极限 3 求未定式的极限 常用如下方法 1 未定式变形法 即运用初等变形 通分 约分 同乘同除 有理化分母与分子 求数列之和 用恒等式或三角公式变形 换元法 取对数等 化未定式为定式 再求出极限 2 利用重要极限与常用极限公式 利用等价无穷小求极限 3 利用洛必达法则求极限 作为导数的应用 例1求解 题目含和 需用左 右极限来求 左极限 右极限 所以原极限 1 例2求解 题目比较复杂 可用等价无穷小替换变简单 原式 例3设 求解先证数列存在极限 易知当时 假设时 则当时 所以 即是有界数列 由于 所以 从而 则 故是单调增加数列 从而数列必定存在极限 设 对等式两边取极限 得 从而 舍去 例4已知 求解因为 所以 从而 以代入原式得原式 所以 二 一元函数微分法1 要求掌握导数 微分及高阶导数的定义和几何意义 2 熟练掌握计算导数 导函数 微分及高阶导数的各种方法 特别是复合函数 隐函数求导公式 对数求导法等 例5设 求和解 当时 当时 由于不存在极限 所以在处不连续 故在不可导 即 不存在 例6求二次曲线上任一点处切线方程 解 由隐函数求导法 将方程两边对求导得 从而切线斜率故切线方程为 例7求函数的阶导数 解例8设对任何都满足 且 常数 求解令 则 从而 三 微分中值定理与导数的应用1 掌握罗尔定理 拉格朗日定理的条件 结论 几何意义 相互关系 2 熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限 包括七种类型 3 利用导数研究函数的各种性态 包括单调性 极值 最值及应用题 凹凸性及拐点 例9设 其中有二阶连续导数 且 1 确定的值 使在点处连续 2 求 3 讨论在点处的连续性 解 1 利用洛必达法则求极限 所以当时 这时在点处连续 2 时 时 用定义求导数 3 所以在处连续 四 计算不定积分的方法主要有 直接积分法 两个换元积分法 分部积分法 有理函数及可化为有理函数的积分法等 其中换元法和分部积分法是常用的两个主要方法 例10已知的一个原函数为 求 解因为 即 所以 例11已知 求 解令 则 从而 所以考虑到上式中的 且题目设时所以应取 从而应舍去 故 例12求解若先让凑成 计算将很复杂 应优先化简分母 原式 例13求解原式 五 定积分及其应用1 理解定积分的概念 基本性质 定积分中值定理 2 掌握微积分基本定理 即变上限积分定理 和微积分基本公式 即牛顿 莱布尼兹公式 利用求原函数 或不定积分 和牛顿 莱布尼兹公式计算定积分 3 运用定积分的换元法 包括第一类和第二类 和分部积分法计算定积分 4 运用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立体的体积 例14设函数在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 求证在 0 1 内至少存在一点 使 证明由已知的条件 满足定积分中值定理的条件 所以存在 使 从而 再由罗尔定理 存在 使 例15已知 求证 分析 被积函数在处不连续 所以不能应用积分上限求导公式 而要用分部积分法将改造成在处连续的另一函数 问题即可解决 证明其中约定于是新的被积函数在处连续 从而 另设 则所以例16求分析 对于被积函数含根式 绝对值或分段函数的积分 应设法去掉根号 绝对值或分段来计算 应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式 另设 则所以例16求分析 对于被积函数含根式 绝对值或分段函数的积分 应设法去掉根号 绝对值或分段来计算 应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式 解 原式例17 设在上连续 在内可导 且令 求证在内 证明由定积分中值定理 存在 使 从而 又因为 所以单调减少 从而 又 从而例18设曲线 轴和轴所围区域被曲线分成面积相等的两部分 其中为常数 试求的值 解 由 求得交点坐标为 分别记上 下两块的面积为和 则而 从而 故 例19计算下列定积分解 1 原式 2 令 则 从而移项得 3 原式例20 设在上连续 且求证 1 2 方程在内有且仅有一个根 证明 1 由积分变上限函数的性质知 2 又知在上连续 所以由零点存在定理 方程在内至少有一个根 又因 所以在上严格单调增加 从而方程在内仅有一个根 例21设 求 解 设 则原式 例22求下列极限 1 2 解 1 原式 2 例23求下列极限 1 2 解 1 原式 2 例24求下列极限 1 2 解 1 当时 所以 2 例25求下列函数极限 1 2 解 1 2 例26求下列极限 1 2 解 1 原式 2 另求下列极限 3 4 解 3 4 或 4 例27 求下列极限 1 2 解 1 因所以 2 因所以 例28求下列函数在分段点处的极限 1 2 解 1 即故 2 即故不存在 例29已知 求的值 解 因当时 由此及已知 可得必有 否则 将与已知矛盾 即从而有即 或由已知 必有即 由比较两端系数 得例30 若 求的值 解 此为 型极限 即因分母为的一次二项式 分子必为常数 即 例31判断函数的连续性 1 2 解 1 当时 处处连续 在分段点处 即 从而在不连续 2 当时 处处连续 分段点为 即所以 且 即 所以函数在也连续 从而在上连续 例32 求函数的间断点 解 函数在处没定义 因此为间断点 例33求函数的间断点解 为分段函数 分段点为对 有 即左 右极限存在但不相等 故其为间断点对 从而有 又从而为连续点 故只有为间断点 有 例34设函数在处可导 且 求解 由导数定义可知 例35讨论在处的可导性 解 虽然左 右导数都存在 但不相等 所以在处不可导 例36求下列函数的导数 1 2 3 4 解 1 函数是由复合而成的 于是 2 函数是由复合而成的 于是 3 4 例37求函数的极值 解 函数的定义域为 函数的导数为 令 得驻点 且是不可导点 列表讨论的极值如下 由上表可知 在处 函数取得极小值 在处 取得极大值 例38要造一圆柱形油桶 体积为V 问如何设计底半径R和高 才能使用料最省 此时 底直径与高的比是多少 解 依题意 桶的表面积为 令 解得