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文档简介

函数的极值及其求法 由单调性的判定法则 结合函数的图形可知 曲线在升 降转折点处形成 峰 谷 函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值 函数的这种性态以及这种点 无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义 值得我们作一般性的讨论 一 函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 二 函数极值的求法 定理1 必要条件 定义 注意 例如 注 这个结论又称为Fermat定理 如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值 此时导数不改变符号 不可导点也可能是极值点 可疑极值点 驻点 不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点 还须进一步判明 由单调性判定法则知 若可疑极值点的左 右两侧邻近 导数分别保持一定的符号 则问题即可得到解决 定理2 第一充分条件 是极值点情形 求极值的步骤 不是极值点情形 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3 第二充分条件 证 例2 解 注意 例3 解 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 例4 证 不易判明符号 例5 设f x 连续 且f a 是f x 的极值 问f2 a 是否是f2 x 的极值 证 分两种情况讨论 所以f2 a 是f2 x 的极小值 f2 a 是f2 x 的极大值 同理可讨论f a 是f x 的极大值的情况 例6 证 由Taylor公式 得 因此存在x0的一个小邻域 使在该邻域内 下面来考察两种情形 n为奇数 当x渐增地经过x0时 n为偶数 当x渐增地经过x0时 极值是函数的局部性概念 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点 函数的极值必在临界点取得 判别法 第一充分条件 第二充分条件 注意使
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