函数单调性与曲线的凹凸性.ppt_第1页
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文档简介

1 一 单调性的判别法 三 小结及作业 2 一 单调性的判别法 定理 3 证 应用拉氏定理 得 4 5 例2 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 6 2 函数在整个定义域上不一定是单调的 但在不同的区间上具有单调性 且改变单调性的点只可能是的点及导数不存在的点 7 3 讨论函数单调性的步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点 3 这些点将定义域分成若干个小区间 列表讨论 4 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 例如 8 例3 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 9 例4 解 单调区间为 10 例5 证 11 证明 因此 单调减少 f x 单调减少 也就是 12 13 问题 如何研究曲线的弯曲方向 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 14 1 曲线的凹凸与拐点的定义 定义1 设函数 在区间上连续 1 若恒有 则称的图形 是凹的 2 若恒有 则称的图形 函数图形上凹凸的分界点称为拐点 是凸的 15 2 曲线凹凸的判定 定理1 16 证 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 17 例1 判断曲线 的凹凸性 解 时 故曲线 在 上是向上凹的 说明 1 在个别二阶导数为0的点 若此点两侧二阶导数不变号 则不改变曲线的凹凸性 18 例2 解 注意到 19 例3 求曲线 的拐点 解 不存在 因此点 0 0 为曲线 的拐点 20 3 判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤 a 求出 b 求出使的点及不存在的点 c 检查在这些点左右两边的符号 从而决定曲线的凹凸区间及拐点 21 例4 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3 列表判别 点 0 1 及 均为拐点 故该曲线在 上凸 22 证明 23 24 三 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间 结论仍然成立 应用 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1 2 25 26 思考题 27 思考题解答 例 28 练习题 29 30 练习题答案 31 32 思考题 33 思考题解答 不能断定 例 但 34
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