高等流体力学第一讲.ppt

高等流体动力学 主讲 赵鹤 能源与动力工程学院动力工程系 一 课程名称 高等工程流体力学二 教材 张鸣远高等工程流体力学 第一版 西安交通大学出版社2006 7三 参考书 张鸣远高等工程流体力学练习题解西安交通大学出版社2008 8吴望一流体力学北京大学出版社 课程简介 第一讲 附录部分 数学基础 一 矢量的表征及运算 其中 分别表示x y z三个方向的单位矢量 高等流体力学中一般用表示 2 点积 3 叉积 结果为标量 1 表征 第一讲 附录部分 数学基础 二 场的概念 梯度及方向导数 1 场 一种函数 描述空间区域或空间与时间的函数数学场 用标量描述空间叫标量场 用向量表示叫向量场 2 哈密度算子 是一个具有微分及矢量双重运算性质的计算符号 拉普拉斯算子 是一个具有微分的标量算符 第一讲 附录部分 数学基础 3 标量场及梯度 标量场 标量场的等值 位 线 面 标量场的梯度 向量的方向导数 向量垂直于曲面 正向指向增加的方向 梯度 gradient 标量 矢量 3 矢量场 散度及旋度 第一讲 附录部分 数学基础 哈密顿算子 散度 矢量 标量 旋度 矢量 矢量 divergence div rotation rot 例 为一速度势函数 1 速度场的梯度速度 向量 2 速度的散度 不可压缩流体的连续性方程 流动相对体积膨胀率 3 速度的旋度 无旋流动 流体为绕通过其中心轴旋转角速度的2倍 第一讲 附录部分 数学基础 三 笛卡尔张量 一 指标表示法和符号约定 x y z分别计作x1 x2 x3 ax ay az分别计作a1 a2 a3 而三个单位矢量分别计作 1 指标表示法 也可表示为 i是自由指标 可取1 2 3 自由指标 可任意取下标值 2 求和约定 在同一项中如有两个指标相同时 就表示对该指标从1到3求和 重复出现的指标称为哑指标 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容 第一讲 附录部分 数学基础 北京工业大学市政学科部 马长明高等流体 水 力学讲稿 总结 方程同一项中只出现一次的指标为自由指标 同一项中如有两个指标相同时 为哑坐标 n为自由指标 m为哑指标 第一讲 附录部分 数学基础 3 张量的基本运算规则 1 克罗内克 Kroneker 符号 ij 是二阶单位张量 两矢量的点积可表示为 符号具有以下重要性质 第一讲 附录部分 数学基础 符号具有以下重要性质 第一讲 附录部分 数学基础 2 里奇 Ricci 置换符号 ijk 偶排列 即 123 231 312 奇排列 即 213 321 132有两个或两个以上指标相同 ijk是三阶张量 两矢量的矢量积 单位矢量的矢量积可表示为 第一讲 附录部分 数学基础 ijk与 ij的关系恒等式当i l时 有 第一讲 附录部分 数学基础 北京工业大学市政学科部 马长明高等流体 水 力学讲稿 第一讲 附录部分 数学基础 例题2 已知 求 1 定义标量 矢量和张量1 标量是一维的量 它只需1个数及单位来表示 如温度 密度 2 矢量则不仅有数量的大小 而且有指定的方向 它必需由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示 因此矢量是三维的量 3 三维空间中的二阶张量是一个9维的量 必须用9个分量才可完整的表示 如应力 变形速率 三维空间中的n阶张量由3n个分量组成 标量和矢量均可看作低阶张量 标量为零阶张量 而矢量为一阶张量 4 二阶张量有9个分量 通常也可表示为矩阵形式 即 四 二阶张量 2 二阶张量的代数运算1 张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等 设 若则若两个张量在某一直角坐标系中相等 则它们在任意一个直角坐标系中也相等 2 张量加减设 则张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减 只有同阶的张量才能相加减 3 张量数乘二阶张量乘以标量 则张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量 1 共轭张量设P是一个二阶张量 则也为一个二阶张量 称为P的共轭张量 可表示为 3 共轭张量 对称张量 反对称张量和张量的分解 若二阶张量分量之间满足则称此张量为对称张量 可表示为一个对称张量 只有6个独立的分量 2 对称张量 若二阶张量分量之间满足则称此张量为反对称对张量 可表示为一个反对称张量只有3个独立的分量 对角线各元素均为零 3 反对称张量 4 张量分解定理一个二阶张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和 容易验证上式右边第一项是对称张量 第二项是反对称张量 5 张量的微分运算法则梯度设矢量 则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量 一般来讲 一个n阶张量的梯度是阶张量 散度设二阶张量 一个二阶张量的散度是一个矢量 一般来讲 一个阶张量的散度是阶张量 利用哈密顿算子进行运算时 先进行微分运算 后进行矢量运算 例题6 分别写出在直角坐标下的表达式 例题3 设 求解 结果与一致 例题4 已知 求解 例题5 写出下述方程在直角坐标系中的表达式式中 是切应力张量 二阶对称张量 解 将上述矢量用张量表示法写出 流体的微观图景 流体的微观结构 1cm3液体中 含有3 3 1022个左右的分子 单个分子半径约为1 25 10 10m 27 V1cm3气体中 含有2 7 1019个左右的分子 0 02 V因此分子之间存在空隙 流体在空间上并不是连续分布的物质 第1章流体力学基本概念 一 连续介质假设 流体的宏观图景 宏观角度 在研究流体力学规律时 人们感兴趣的不是流体的这种微观上的分子热运动 而是由外部原因 如重力 压力差等作用引起的宏观上的整体定向运动 即 一般工程中 所研究流体的空间尺度要比分子距离大得多 第1章流体力学基本概念 设想 在宏观尺度上如果能将流体认为是由无穷多个 无穷小的 彼此紧密毗邻 连续不断的流体质点所组成的一种无间隙的连续介质 则有几个好处 1 使人们从分子运动的复杂性中解放出来 避免了流体分子运动的复杂性 只需研究流体宏观运动 3 可以把数学上的微积分手段加以应用 2 流体的一些物理量 比如密度 速度等等 皆可用表示为空间坐标和时间的连续函数 所以问题的关键是 研究的对象流体是否能适用于连续介质假设 第1章流体力学基本概念 微观尺度又足够大的物理实体 使得流体质点中包含足够多的分子 使各物理量的统计平均值有意义 如密度 速度 压强 温度 粘度 热力学能等宏观属性 而无需研究所有单个分子的瞬时状态 宏观尺度非常小 才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质 且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型 研究流适用于连续介质假设需具备的两个基本条件 对象流体要能适用于连续介质假设需满足那些要求 第1章流体力学基本概念 流体质点对微分子团尺度的这种宏观上足够小 微观上充分大的要求 在绝大多数情况下都是可以满足的 大量事实证明 连续介质力学在相当广泛的领域内给出了和实际吻合的结果 例如 气体在标准状态下 仅在10 5cm3这样一个宏观上看来非常小的体积里 就包含着2 7 1014个分子 这从微观上看又是非常大了 第1章流体力学基本概念 例如 高度真空下 气体稀薄 分子的平均自由程与气体流动通道的直径几乎同量级时 连续介质模型就不适用了 需要指出的是 但是 也应当指出 对于研究对象的宏观尺度和物质结构的微观尺度量级相当的情况 连续介质模型将不再适用 第1章流体力学基本概念 1 欧拉参考系 空间与时间相互独立 当采用欧拉参考系时 定义了空间的场 着眼于空间点 在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化 独立变量x y z t 二 欧拉和拉格朗日参考系 数学描述 某时刻t 某点的速度为 则速度为 同理 第1章流体力学基本概念 二 拉格朗日参考系 着眼于流体质点 描述每个流体质点自始至终的运动 即它的位置随时间变化 式中x0 y0 z0是t t0时刻流体质点空间位置的坐标 独立变量x0 y0 z0 t 用x0 y0 z0来区分不同的流体质点 而用t来确定流体质点的不同空间位置 2 2欧拉和拉格朗日参考系 数学描述 某质点在t0某时刻 位于 x0 y0 z0 则在t时刻位于 即 速度为 Eular与lagrange法的变换方法 1 已知lagrange表达式 变换 代入 2 由Eular方程得 积分 3 把t t0时 r r r0 代入 得 Eular坐标系优点 速度 密度 压强和温度为空间和时间的函数 可以用场论及适量 张量的知识求解 例2 1拉格朗日坐标系 x0 y0 z0 表示的流动规律为 求 1 Eular坐标表示的速度场 2 该流动是否是定常流动 3 求Lagrange和Eular坐标系下的加速度 2 由于uy uz中含有t变量 因此该流动为非定常流动 3 方法同 1 可求Lagrange和Eular坐标系下的加速度表达式 通常力学和热力学定律都是针对系统的 于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程 而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的 因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式 1 系统 某一确定流体质点集合的总体 随时间改变其空间位置 大小和形状 系统边界上没有质量交换 始终由同一些流体质点组成 在拉格朗日参考系中 通常把注意力集中在流动的系统上 应用质量 动量和能量守恒定律于系统 即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组 2 控制体 流场中某一确定的空间区域 其边界称控制面 流体可以通过控制面流进流出控制体 占据控制体的流体质点随时间变化 为了在欧拉参考系中推导控制方程 通常把注意力集中在通过控制体的流体上 应用质量 动量和能量守恒定律于这些流体 即可得到欧拉参考系中的基本方程组 三 系统和控制体 2 2欧拉和拉格朗日参考系 四 欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数 欧拉参考系 某一空间点上的流体速度变化 称当地导数或局部导数 拉格朗日参考系 在欧拉参考系下用表示流体质点的速度变化 流体质点的速度变化 即加速度 2 2欧拉和拉格朗日参考系 五 物质导数 流体质点的物理量随时间的变化率 物质导数又称质点导数 随体导数 设场变量 则表示某一流体质点的随时间的变化 即一个观察者随同流体一起运动 并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的随时间的变化 是拉格朗日参考系下的时间导数 六 在欧拉参考系下的表达式 在欧拉参考系下推导