《化工设备机械基础3版》第4章-弯曲nPPT课件.ppt

第四章弯曲 主要内容 1 弯曲的概念和实例 2 剪力和弯矩 3 剪力图和弯矩图 4 纯弯曲时梁横截面上的正应力 5 惯性矩的计算 6 弯曲正应力的强度条件 7 梁弯曲时的切应力 8 弯曲变形 9 提高梁弯曲强度和刚度的措施 第一节弯曲的概念和实例 工程实例 车间桁吊大梁 镗刀杆 工程实例 车削工件 工程实例 工程实例 火车轮轴 工程实例 力偶 力偶矩矢 与杆件的轴线垂直 弯曲变形的受力特点 外力的作用线与杆件的轴线垂直 力偶矩矢 与杆件的轴线垂直 以弯曲变形为主的杆件 弯曲变形的变形特点 轴线由直线变为曲线 梁 对称弯曲 条件 所有的载荷作用在纵向对称面内 结果 梁的轴线 是纵向对称面内的一条平面曲线 对称弯曲的条件 具有纵向对称面 外力都作用在纵向对称面内 梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线 常见构件的纵向对称面 形心主惯性轴 集中载荷 分布载荷 集中力偶 受弯杆的简化 1 梁本身的简化 以轴线代替 2 载荷的简化 集中载荷与均布载荷实例 分布载荷实例 线形分布载荷 力偶实例 力偶矩矢 与杆件的轴线垂直 固定铰支座 3 支座简化 活动铰支座 支座简化 固定端 支座简化 简支梁 一端为活动铰链支座 另一端为固定铰链支座 外伸梁 一端或两端伸出支座之外的简支梁 悬臂梁 一端为固定端 另一端为自由端的梁 4 梁的基本形式 简支梁 悬臂梁 梁的基本形式 镗缸轴 弯曲 悬臂梁 加扭转 塔设备受风载荷 地基固定 简化为悬臂梁 钢轨约束 外伸梁 梁的基本形式 卧式容器 内部充满介质和零部件 简化为外伸梁 梁的其他横截面形式 简支梁 外伸梁 悬臂梁 静定梁的基本形式 有内力 约束反力 静力学平衡方程解决 第二节剪力和弯矩 一 弯曲变形时横截面的内力 与横截面相切的分布内力系的合力 与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩 FS 剪力 M 弯矩 A 由外力引起 外力和外力偶都能引起 二 内力的大小 1 剪力大小 截面一侧所有外力的代数和 内力的大小 2 弯矩大小 截面一侧所有外力对 求内力的截面形心之矩的代数和 剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时 剪力为正 左上 三 内力的符号 1 剪力的符号约定 实用的方向约定 右下 的外力产生正剪力 使梁呈下凸时弯矩为正 2 弯矩的符号约定 左顺 弯矩符号的实用约定 所有向上的外力 产生正弯矩 右逆的 外力偶产生正弯矩 例1求下图所示简支梁1 1与2 2截面的剪力和弯矩 FB 解 1 求支反力 2 计算1 1截面的内力 3 计算2 2截面的内力 目录 1 确定支反力 2 用截面法求内力 第三节剪力图和弯矩图 一 内力方程 任意截面处的内力表示为截面位置的函数 梁截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化 利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩 以及梁危险截面的位置是梁的强度和刚度计算中的重要环节 F C 写内力方程 并画内力图 例2 简支梁受集中载荷作用 1 确定约束力 FAy Fb l FBy Fa l AC段 CB段 2 写内力方程 外力规律发生变化的截面 控制截面 集中力作用点 外力偶作用面 分布载荷的起点 终点等 AC CB 3 作内力图 危险截面位置 集中力作用点的左或右侧截面 a建立坐标系 b确定控制截面 c作图 仔细观察内力图的特点 写内力方程时注意事项 3 x截面处必须是任意截面 4 x截面处必须是远离外力的作用点 5 写出x截面处的内力就是内力方程 同时确定定义域 1 必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程 2 各段的分界点为各段梁的控制截面 写内力方程 并作内力图 例3 悬臂梁上作用均布载荷 二 内力图 危险截面位置 固定端截面处 1885年 俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图 被认为是历史上第一个使用弯矩图的人 a建立坐标系 b确定控制截面 c作图 仔细观察内力图的特点 例4 简支梁受均布载荷作用 写内力方程 并作内力图 1 确定约束反力 FAy ql 2 FBy ql 2 2 写内力方程 3 作内力图 危险截面位置 跨度中点 a建立坐标系 b确定控制截面 c作图 仔细观察内力图的特点 例4 简支梁受集中力偶作用 1 确定约束反力 FAy M l 2 写出内力方程 FBy M l 写内力方程 作内力图 3 画内力图 a建立坐标系 b确定控制截面 c作图 仔细观察内力图的特点 例5 悬臂梁受力如图所示 写梁的剪力方程和弯矩方程 作出梁的剪力图和弯矩图 1 列出梁的剪力方程和弯矩方程 AB段 BC段 a建立坐标系 b确定控制截面 c作图 仔细观察内力图的特点 总结1 1 简支梁的两端 悬臂梁的自由端 剪力的大小 集中力的大小 剪力的方向 左上右下为正 如果没有外力偶矩时 弯矩恒等于零 弯矩大小 有外力偶矩时 弯矩外力偶矩的大小 弯矩方向 满足左顺右逆 总结2 2 梁上没有均布载荷时 剪力的图 水平 斜直线 且剪力大于零时 弯矩图 弯矩图上升 剪力小于零时 弯矩图下降 总结3 3 有均布载荷的一段梁内 剪力图 斜直线 曲线 弯矩图 且均布载荷向上 剪力图上升 均布载荷向下 剪力图下降 且均布载荷向上 弯矩图下凸 弯矩图上凸 均布载荷向下 下雨天撑伞 总结4 4 集中力的作用点处 剪力图 突变 突变量 集中力的大小 突变的方向 顺集中力的方向 弯矩图 发生转折 总结5 6 5 剪力连续变化 过零点 弯矩取得极值 6 集中力偶处 剪力图 不变 弯矩图 突变 突变量 外力偶矩的大小 突变的方向 从左向右画 顺时针的外力偶引起弯矩图的上突 总结7 7 剪力 0的一段梁内 弯矩保持为常量 载荷集度 剪力和弯矩间的关系 载荷集度 剪力和弯矩关系 载荷集度 剪力和弯矩关系 1 q x 0 2 q 常数 3 剪力Fs 0处 M x 为x的一次函数 Fs 常数 剪力图为直线 弯矩图为斜直线 Fs x 为x的一次函数 M x 为x的二次函数 分布载荷向上 q 0 分布载荷向下 q 0 剪力图为斜直线 弯矩图为抛物线 抛物线呈凹弧 抛物线呈凸弧 下凸 上凸 弯矩取极值 左右两侧剪力变号 4 梁上作用集中力时 集中力作用处 剪力图突变 突变量等于集中力的大小 弯矩图发生转折 5 梁上作用集中力偶时 集中力偶作用处 剪力图不变 突变量等于集中力偶的大小 弯矩图发生突变 内力Fs M的变化规律 载荷 水平直线 or or 上斜直线 上凸抛物线 下凸抛物线 下斜直线 剪力图无突变 F处有尖角 斜直线 6 积分得 在和的两个截面上的剪力之差 等于两截面间载荷图的面积 在和的两个截面上的弯矩之差 等于两截面间剪力图的面积 校核已作出的内力图是否正确 微分关系的利用 快速绘制梁的内力图 不必再建立内力方程 1 计算约束反力 2 确定控制面 A B两个截面 约束力FBy右侧的截面 以及集中力qa左侧的截面 例 利用微分关系快速作梁的内力图 3 建立坐标系 4 确定控制面 5 画图 确定剪力等于零的截面位置 例3 利用微分关系快速作梁的内力图 A B F qa C a 2a 1 求约束反力 E 2 建立坐标系 3 确定控制截面 4 利用微分关系作图 例4 利用微分关系作梁的内力图 1 求支座反力 A B 1m 1m 4m F 3KN C D 2 建立坐标系 3 确定控制截面 4 利用微分关系作图 回顾与比较 内力 应力公式及分布规律 均匀分布 线形分布 第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力 一 纯弯曲 梁段CD上 只有弯矩 没有剪力 梁段AC和BD上 既有弯矩 又有剪力 纯弯曲 纯弯曲 横力弯曲 纯弯曲实例 纯弯曲 1 变形几何关系 2 物理关系 3 静力学关系 纯弯曲的内力 剪力Fs 0 横截面上没有切应力 只有正应力 弯曲正应力的分布规律和计算公式 1 变形几何关系 一 实验观察现象 施加一对正弯矩 观察变形 观察到纵向线与横向线有何变化 纵向线 由直线 曲线 横向线 由直线 直线 相对旋转一个角度后 仍然与纵向弧线垂直 变化的是 1 纵向线的长度 2 两横截面的夹角 各纵向线的长度还相等吗 各横向线之间依然平行吗 横截面绕某一轴线发生了偏转 二 提出假设 1 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面 于1695年提出梁弯曲的平面假设 瑞士科学家Jacob 贝努力 纵向纤维之间没有相互挤压 2 假设 观察纵向纤维之间有无相互作用力 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩 凹入一侧纤维 凸出一侧纤维 观察纵向纤维的变化 在正弯矩的作用下 偏上的纤维 缩短 偏下的纤维 伸长 缩短 伸长 纤维长度不变 中性层 中性层 L 0 L 0 L 0 既不伸长也不缩短 中性轴 中性轴上各点 0 各横截面绕 中性轴发生偏转 中性轴的位置 过截面形心 三 理论分析 y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离 点到中性轴的距离 两直线间的距离 公式推导 线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比 从横截面上看 点离开中性轴越远 该点的线应变越大 2 物理关系 虎克定律 弯曲正应力的分布规律 a 与点到中性轴的距离成正比 c 正弯矩作用下 上压下拉 当 P时 沿截面高度 线性分布 b 沿截面宽度 均匀分布 d 危险点的位置 离开中性轴最远处 还需确定中性轴Z的位置及中性层的曲率半径 3 静力学关系 从纯弯曲的梁截开一个横截面 如图所示 由于梁弯曲时横截面上没有轴向内力 所以这些内力元素的合力在x方向的分量为零 因为 说明y有正负 内力元素对z轴之矩的总和组成了横截面上的弯矩 结论 中性轴必通过横截面的形心 这样就确定了中性轴的位置 横截面合力为0 4 弯曲正应力计算公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系 正应力公式 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力计算公式 5 横截面上最大弯曲正应力 截面的抗弯截面系数 反映了截面的几何形状 尺寸对强度的影响 最大弯曲正应力计算公式 适用条件 对称弯曲 比例极限内 第五节惯性矩的计算 dy y y 一 横力弯曲 横力弯曲时的正应力 横截面上内力 剪力 弯矩 横截面上的应力 既有正应力 又有切应力 横力弯曲时的横截面 横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在 也不能保证纵向纤维之间没有正应力 纯弯曲正应力公式 弹性力学精确分析表明 横力弯曲最大正应力 二横力弯曲正应力 对于跨度L与横截面高度h之比L h 5的细长梁 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力 误差 2 满足工程中所需要的精度 弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力公式 1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲 2 弹性变形阶段 对称弯曲 推导弯曲正应力计算公式的方法总结 1 理想模型法 纯弯曲 剪力为零 弯矩为常数 2 实验 观察 假设 梁弯曲假设 3 外力 内力 变形几何关系物理关系静力学关系 4 三关系法 积分 应力合成内力 横力弯曲 应力法 5 数学方法 注意 1 计算正应力时 必须清楚所求的是哪个截面上的应力 3 特别注意正应力沿高度呈线性分布 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩 2 必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力 4 中性轴上正应力为零 并确定该点到中性轴的距离 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力 以及该点处应力的符号 6 熟记矩形 圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式 5 梁在中性轴的两侧分别受拉或受压 注意 正应力的正负号 拉或压 可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定 1 C截面上K点正应力 2 C截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 4 已知E 200GPa C截面的曲率半径 例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用 如图所示 1 截面几何性质计算 确定形心主轴的位置 确定中性轴的位置 确定形心的位置 2 求支反力 压应力 3 C截面上K点正应力 4 C截面上最大正应力 弯矩 公式 作内力图 5 全梁上最大正应力 危险截面 公式 6 已知E 200GPa C截面的曲率半径 作弯矩图 寻找最大弯矩的截面 分析 例T型截面铸铁梁 截面尺寸如图 求最大拉应力 最大压应力 计算最大拉应力 最大压应力 2 计算应力 1 求支反力 作弯矩图 B截面应力分布 9KN 1m 1m 4KN 1m A C B FA 2 5KNFB 10 5KN 应用公式 3 结论 C截面应力计算 C截面应力分布 应用公式 第六节弯曲正应力强度条件 弯曲正应力的分布规律 危险点 距离中性轴最远处 分别发生最大拉应力与最大压应力 1 塑性材料 抗拉压强度相等 无论内力图如何 梁内最大应力 其强度条件为 通常将梁做成矩形 圆形 工字形等 对称于中性轴的截面 此类截面的最大拉应力与最大压应力相等 因此 强度条件可以表示为 2 离中性轴最远处 要综合考虑弯矩M与截面形状Iz 1 弯矩的绝对值最大的截面上 塑性材料 c 塑性材料制成的 变截面梁 总之 梁内最大应力发生在 3 强度条件为 一简支梁受力如图所示 已知 空心圆截面的内外径之比 试选择截面直径D 若外径D增加一倍 比值 不变 则载荷q可增加到多大 3 作弯矩图 确定危险截面 分析 对称截面 1 塑性材料 2 已知图形对中性轴的主惯性矩 5 公式 4 确定危险点 进行强度校核 1 求支座反力 并作弯矩图 FA FB ql 2 2 确定危险截面 强度计算 若外径D增加一倍 不变 2 脆性材料 抗拉压强度不等 内力图形状有关 梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 最大应力通常与截面形状 通常将梁做成T形 倒T形等 关于中性轴不对称的截面 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘 由于脆性材料抗压不抗拉 或者 脆性材料梁的危险截面与危险点 上压下拉 上拉下压 危险截面只有一个 危险截面处分别校核 二个强度条件表达式 危险截面有二个 每一个截面的最上 最下边缘均是危险点 脆性材料梁的危险截面与危险点 各危险截面处分别校核 四个强度条件表达式 弯曲正应力强度计算的三个方面 1 强度校核 2 设计截面 3 确定许可载荷 例2 T型截面铸铁梁 截面尺寸如图示 试校核梁的强度 5 作弯矩图 确定危险截面 6 确定危险点 进行强度校核 分析 非对称截面 确定形心主轴位置 1 脆性材料 2 寻找形心 3 确定中性轴位置 4 计算图形对中性轴的主惯性矩 危险截面与内力图有关 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 4 确定危险截面 3 求支反力 作弯矩图 B截面应力强度计算 9KN 1m 1m 4KN 1m A C B FA 2 5KN 应用公式 5 结论 C截面强度计算 应用公式 满足强度条件 例2铸铁梁的截面为T字形 受力如图 已知材料许用拉应力为 许用压应力为 试校核梁的正应力强度和剪应力强度 若将梁的截面倒置 情况又如何 a 确定中性轴的位置 b 计算图形对形心主轴的惯性矩 1 平面图形几何性质计算 2 绘剪力图 弯矩图 计算约束反力 作内力图 3 正应力强度计算 对于A截面 3 正应力强度计算 对于D截面 正应力强度足够 结论 4 切应力强度校核 在A截面左侧 切应力强度足够 危险截面 计算公式 最大静矩 5 若将梁的截面倒置 此时强度不足会导致破坏 工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形 第八节弯曲变形 1 129 工程中的弯曲变形问题 一 为何要研究弯曲变形 仅保证构件不会发生破坏 但如果构件的变形太大也不能正常工作 1 构件的变形限制在允许的范围内 车削加工一等截面构件 如果构件的的变形过大 会加工成变截面 案例1 如果钻床的变形过大 受工件的反力作用 摇臂钻床简化为刚架 不能准确定位 案例2 车间桁吊大梁的变形 车间桁吊大梁的过大变形 会使梁上小车行走困难 造成爬坡现象 还会引起较严重的振动 案例3 桥梁如果产生过大变形 楼板 床 双杠横梁 等都必须把它们的变形限制在允许的范围内 屋顶 案例4 工程有时利用弯曲变形达到某种要求 汽车板簧应有较大的弯曲变形 才能更好的起到缓和减振的作用 案例1 案例2 当今时代汽车工业飞速发展 道路越来越拥挤 一旦发生碰撞 你认为车身的变形是大好还是小好 二 弯曲变形的物理量 扭转 拉伸 弯曲变形的物理量如何 1 挠曲线 2 挠度 v向上为正 3 转角 逆时针为正 截面形心在垂直于轴向 力的方向 的位移 横截面的角位移 截面绕中性轴转过的角度 弯曲变形的物理量 挠度v 弯曲变形的物理量 转角 挠曲线的微分方程 2 挠曲线方程 1 建立坐标系 xoy平面 就是梁的纵向对称面 在平面弯曲的情况下 变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线 该曲线方程为 3 挠度 转角物理意义 挠度的物理意义 挠曲线在该点处的纵坐标 转角的物理意义 过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为 挠曲线在该点处的切线斜率 挠曲线方程在该点处的一阶导数 转角的正方向 从x轴正向向切线旋转 逆时针转动为正 4 挠曲线微分方程 中性层处曲率 对于曲线y f x 在任一点处曲率 正好为xoy平面内的一条曲线 平面弯曲的挠曲线 所以曲线y f x 从数学上讲 是一条普通的平面曲线 从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线 挠曲线微分方程 适用于弯曲变形的任何情况 5 挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下 挠曲线是一条光滑平坦的曲线 故得挠曲线近似微分方程 符号规定 挠曲线近似微分方程 挠曲线为凹曲线 挠曲线为凸曲线 弯矩M与挠度的二阶导数 符号一致 适用范围 小变形 挠曲线的近似微分方程 积分一次 转角方程 积分二次 挠曲线方程 C D为积分常数 由梁的约束条件决定 积分法求弯曲变形 悬臂梁 梁的边界条件 简支梁 梁的边界条件 连续性条件 边界条件 连续性条件 例1悬臂梁受力如图所示 求和 取参考坐标系 1 列写弯矩方程 2 代入挠曲线近似微分方程中 积分一次 积分二次 转角方程 挠曲线方程 3 确定常数C D 边界条件 4 计算A截面的挠度和转角 A截面处 用叠加法求弯曲变形 一 叠加原理 在小变形 是线性的 材料服从胡克定律的情况下 挠曲线的近似微分方程 对应于几种不同的载荷 是线性的 弯矩可以叠加 近似微分方程的解也可以叠加 计算弯矩时 使用变形前的位置 二 叠加原理的特征 几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角 等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度 转角的向量和