高等数学-概率2.2随机变量的分布.ppt

第二章随机变量第二节随机变量的分布 设X是一个离散型随机变量 它可能取的值是x1 x2 xn 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X取哪些值 而且还应知道X取每个值的概率 一 离散型随机变量的分布 这样 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 例1 且 1 离散型随机变量的概率分布 称为离散型随机变量X的分布列 2 用这两条性质判断一个二元序列是否是概率分布 2 概率分布的基本性质 3 举例 例1 一批产品的废品率为5 从中任意抽取一个进行检验 用随机变量来描述废品出现的情况 即写出的分布 常见的离散型随机变量的概率分布之一 I 两点分布 设E是一个只有两种可能结果的随机试验 用 1 2 表示其样本空间 P 1 p P 2 1 p X 1 10 2 两点分布或0 1分布 例2 产品有一 二 三等品及废品4种 其一 二 三等品率和废品率分别为60 10 20 10 任取一个产品检验其质量 用随机变量描述检验结果并画出其概率函数图 例3 用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况 例4 社会上定期发行一种奖券 每券1元 中奖率为 某人每次购买1张奖券 如果没有中奖 下次再继续购买1张 直到中奖为止 求该人购买次数的分布 例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡 其中10个螺口 5个卡口 灯口向下放着 现在需用1个螺口灯泡 从盒中任取一个 如果取到卡口灯泡就不再放回去 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布 小结 求分布列问题 1 先求随机变量的所有可能取值 2 再求取每个值的概率 思考 将一颗骰子抛掷两次 以表示两次所得点数之和 以表示两次抛掷得到的小的点数 试求 的分布列 二 随机变量的分布函数 概率函数可以完全地描述一个离散型随机变量 但连续型随机变量是无法用分布列来描述的 因为 1 连续型随机变量X的所有可能取值充满一个区间 不可列 2 X取某一个具体的值的概率为零 意义不大 例如 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过 一位乘客对该汽车的通车时间一无所知 则该乘客的候车时间是一个连续型随机变量X 1 X的取值充满区间 0 5 2 P X 2 859 0 无太大意义 3 考虑P a X b P X b P X a 对于连续型随机变量X P x1 X x2 对于离散型随机变量X P X xk P X xk P X xk 1 P xk 1 X xk P X x2 P X x1 无论离散型r v 还是连续型r v 都可以用形如P X x 的概率来统一描述 这就是随机变量的分布函数 1 分布函数定义 2 分布函数的性质 设X 是一个随机变量 离散型或连续型 称函数F x P X x x 为随机变量X的分布函数 1 有界性 0 F x 1 x 2 单调性 F x 是x的单调不减函数 即若x1 x2 则F x1 F x2 3 4 右连续性 F x 0 F x x为任意实数 5 利用分布函数计算概率 P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 F x 至多有可列个间断点 并且在间断点处也右连续 P X x0 P X x0 1 F x0 1 F x0 0 3 离散型随机变量的分布函数 例1 求0 1分布的分布函数 并画出图形 已知概率函数 例2 求掷一枚骰子所得的点数的分布函数 并画出图形 例3 求已知离散型随机变量的分布函数如下 求的概率函数 离散型r v 的分布函数与概率函数的关系 1 从概率函数求分布函数 离散型随机变量X的分布函数图是阶梯曲线 在一切有正概率的点xk都有一个跳跃 跃度为P X xk 对F x 任何连续点x P X x 0 这一点对连续型随机变量也是成立的 2 从分布函数求概率函数 P X xk pk F xk F xk 0 k 0 1 2 离散型r v X在其分布函数F x 的所有跳跃间断点处取值 而其概率则是跳跃的幅度 三 连续型随机变量的分布 虽然分布函数可以统一地描述离散型和连续型两类随机变量的概率规律 但是就离散型随机变量而言 用概率函数描述更为直观和方便 那么 对连续型随机变量 能不能也找到一种更加方便和直观的描述方式呢 这就是连续型随机变量的概率密度 高尔顿钉板试验 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图 红线是拟合的密度曲线 可见 概率P a X b 就是区间 a b 上 红色曲线f x 之下的曲边梯形的面积 1 定义 如果存在一非负实函数f x 使随机变量X的分布函数F x 可以表示成则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率分布密度函数 简称概率密度 记作X f x 2 概率密度函数的性质 1 f x 0 2 3 区间概率P a X b 这两条性质是判断一个函数f x 是否某r v X的概率密度的充要条件 4 在f x 的连续点x处 有 5 连续型r v X取单点值的概率为0 即 6 P a X b P a X b P a X b 对 P X a 0 P a X b 要注意的是 密度函数f x 在某点a处的高度 并不反映X取值a的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 这就很直观的描述了连续型随机变量的概率规律 例1 在区间 4 10 上任意抛掷一个质点 用表示这个质点与原点的距离 则是一个随机变量 如果这个质点落在 4 10 上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比 求的分布函数和概率密度 3 举例 常见的连续型随机变量的概率分布之一 均匀分布 如果随机变量的概率密度为则称服从区间 a b 上的均匀分布 记作 U a b 例2 设连续型随机变量的分布函数为F x A Barctanx 1 确定常数A B 2 求的概率密度函数f x 3 求 例3 设连续型随机变量的概率密度为 求 1 常数A 2 的分布函数F x 3 落入区间的概率 例4 设连续型随机变量的概率密度为且 求常数a b