高中数学第一章缝隙-王洪涛.ppt

知识结构 学习指导 学法指导 本章的基本概念较多 要力求在理解的基础上进行记忆 数学思想 1 等价转化的数学思想 2 求补集的思想 3 分类思想 4 数形结合思想 解题规律 更多资源1 如何解决与集合的运算有关的问题 1 对所给的集合进行尽可能的化简 2 有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系 3 有意识运用数轴或其它方法直观显示各集合的元素2 如何解决与简易逻辑有关的问题 1 力求寻找构成此复合命题的简单命题 2 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题 集合基本概念 1 集合的分类 有限集 无限集 空集 2 元素与集合的关系 属于 不属于3 集合的表示方法 列举法 描述法 文氏图4 子集 空集 真子集 相等的定义 数学符号表示及相关性质 5 全集的意义及符号 6 集合中的元素属性 1 2 3 7 常用数集符号 NZQR 8 子集 数学表达式 9 补集 数学表达式 10 交集 数学表达式 11 并集 数学表达式 12 空集 它的性质 1 2 13 如果一个集合A有n个元素 CradA n 那么它有个子集 个非空真子集 注意 1 元素与集合间的关系用符号表示 2 集合与集合间的关系用符号表示 解不等式 1 绝对值不等式的解法 1 公式法 f x g x f x g x 2 几何法 3 定义法 利用定义打开绝对值 4 两边平方 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 求解原理 利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集 3 分式 高次不等式的解法 4 一元二次方程实根分布 一元二次不等式解法 当 0时 方程有两不等的根 x1 x2 当 0时 方程有一根 x0 当 0时 方程无解 x x x1或x x2 x R x x0 R x x1 x x2 简易逻辑 1 命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题 2 逻辑联结词 简单命题与复合命题 或 且 非 这些词叫做逻辑联结词 不含有逻辑联结词的命题是简单命题 由简单命题和逻辑联结词 或 且 非 构成的命题是复合命题 构成复合命题的形式 p或q 记作 p q p且q 记作 p q 非p 记作 q 3 或 且 非 的真值判断 1 非p 形式复合命题的真假与F的真假相反 2 p且q 形式复合命题当P与q同为真时为真 其他情况时为假 3 p或q 形式复合命题当p与q同为假时为假 其他情况时为真 4 四种命题的形式 原命题 若P则q 逆命题 若q则p 否命题 若 P则 q 逆否命题 若 q则 p 1 交换原命题的条件和结论 所得的命题是逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 所得的命题是否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得的命题是逆否命题 5 四种命题之间的相互关系 原命题为真 它的逆命题不一定为真 原命题为真 它的否命题不一定为真 原命题为真 它的逆否命题一定为真 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系 原命题逆否命题 原命题 若p 则q 否命题 若 p 则 q 逆命题 若q 则p 逆否命题 若 q 则 p 6 反证法 从命题结论的反面出发 假设 引出 与已知 公理 定理 矛盾 从而否定假设证明原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 7 如果已知pq那么我们说 p是q的充分条件 q是p的必要条件 判断两条件间的关系技巧 1 2 如果 则p是q的充分条件 如果 则p是q的必要条件 注意 1 复合命题的三种形式与假言命题中的四种命题的区别 2 复合命题中的 p或q 与假言命题中的 若p则q 它们的 P 的区别 范例分析 例1 设 B x a x b 且 求 a b的取值范围 分析 集合A是函数的值域 由3 3 x2 0可知 A是B的子集 a 0且 例2 若集合M x 2x2 5x 3 0 N x mx 1 且NM 求实数m的取值集合 分析 解一元二次方程2x2 5x 3 0 可得到解x的方程mx 1时 应对m作出讨论 当m 0时 N 此时NM成立 当m 0时 此时由NM 有或 解得m 2或 综上得m的取值集合为 0 2 例3 已知集合 那么PQ等于 A x 3 x 4 B x 0 x 3 C x 0 x 1或3 x 4 D x 0 x 1或3 x 4 更多资源 分析 解不等式 x 2 2得 2 x 2 2 可得P x 0 x 4 由不等式 得 可得Q x x 1或x 3 依据下图 得PQ x 0 x 1或3 x 4 于是得本题应选 D 分析 本题涉及到的集合都是未给出具体元素的抽象集合 研究其关系或运算 常借助于集合的文氏图进行 满足MN N的集合M N之间的关系只能是下图中的二种情况 于是可得 仍依上图可得 例5 已知集合P x y y 2x b Q x y x2 y2 2x 4 0 如果集合PQ恰有四个不同的子集 求实数b的取值集合 分析 本题关键在于认识 集合PQ恰有四个子集 的意义 由已知PQ恰有四个子集 故PQ中只可能有二个元素 从几何角度看 集合P表示一条直线 Q表示一个圆 PQ为以上直线和圆的公共点的集合 即直线和圆的公共点的个数为2 以此为据来求b的取值集合 直线方程变为2x y b 0 圆方程变为 x 1 2 y2 5 于是有解得 7 b 3 实数b的取值集合为 b 7 b 3 练习 B 0 x x 3 3 0 0 x y x2 y2 0 x y R 0 0 x y y x2 x y R 当x R时 x2 x 1 0 选B D 解 x2 12x 20 0得2 x 10 又x N 故I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 于是 2 5 7 9 10 2 4 6 7 10 2 7 10 易得A x x2 B x 1 x 2 再运用数轴可得 D 注意 集合P Q中的元素都是实数 而不是实数对 P Q可分别看作函数y x2 2 x R y x 2 x R 的值域 由于P y y 2 Q R PQ y y 2 5 如果集合M满足M 7 13 20 且M中至多含有一个奇数 那么符合上述条件的集合M共有 个 6个 分析 集合M满足两个条件 是集合 7 13 20 的真子集 其中至多含有一个奇数 即M的元素中或者没有奇数或者仅有一个奇数 还要注意空集是符合条件的 由上得M可能是 20 7 13 7 20 13 20 6 如图 I为全集 集合M N满足 MN 那么图中红色阴影部分用集合表示 可表示为 7 已知全集I R 集合A x x a 且 那么实数a的取值集合为 a a 2 A x 2 x 2 x x a 在数轴上寻找满足时点a的可能位置 8 若集合A x x2 px 2 0 B x x2 qx r 0 其中p q r x R 当AB 5 2 1 AB 1 时 p q r的值 12 依题意 x 1是x的方程x2 px 2 0的解 故1 p 2 0 p 1 A 1 2 B 1 5 x 1 x 5是x的方程x2 qx r 0的解于是r 1 5 5 q 1 5 6 p q r 12 例9 指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题 并判断复合命题的真假 1 菱形的对角线互相垂直平分 2 2 3 3 答案 1 p且q 真命题 2 p或q 真命题 3 非p 假 例10 设命题为 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0有实根 试写出它的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 思路 关于x的方程x2 x m 0有实根 等价于 1 4m 0 利用集合关系求解即可 例3 已知x y z均为实数 且 求证 a b c中至少有一个大于0 思路 至少一个 的反面是 都不 例11 命题p 一组对边平行的四边形是平行四边形 命题q 一组对边相等的四边形是平行四边形 写出由其构成的 p或q p且q 非p 形式的复合命