力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶.ppt

第二章 力系的简化与平衡 2 2力矩与力偶 力系的简化与平衡 2 力矩 1 力偶定义 3 力偶的等效条件和性质 5 算例 4 力偶的平衡条件 6 空间力偶 7 力对轴之矩 力系的简化与平衡 1 力偶定义 什么是力偶 力偶实例 力偶相关知识 力偶矩的计算 何谓力偶 由两个等值 反向 不共线的 平行 力组成的力系称为力偶 记作 什么是力偶 力偶实例 力偶作用面 二力所在平面 力偶臂d 二力作用线之间的垂直距离 力偶系 作用于刚体上的一群力偶 力偶相关知识 力偶矩的计算 说明 力偶对任意点O的矩Mo F F 力偶的作用效应取决于力的大小和力偶臂的长短 与矩心的位置无关 力偶矩的大小还可表示为 为以一力为底边 另一力的起点为顶点的三角形 力偶矩的计算 平面力偶对刚体的转动效应取决于 力偶矩的大小 力偶在作用平面内的转向 注意 力偶矩是一个代数量 正负号表示力偶的转向 通常以逆时针转向为正 反之为负 单位为N m 力偶和力一样都是最基本的力学量 力系的简化与平衡 2 力矩 平面中力对点之矩 力对点之矩矢 算例 平面中力对点之矩 力F对O点之矩的计算方法 的面积 两个要素 a 大小 力与力偶臂乘积 b 方向 转动方向 力系的简化与平衡 力对点之矩矢 力对点之矩矢的概念 力对点之矩矢的矢量积和解析表达式 力对点之矩矢的性质 合力矩定理 力对点之矩矢的概念 a 强度 力与力偶臂乘积 b 方位 转动轴的方位 c 方向 转动方向 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素 力矩矢量的方向 按右手定则 r 力矢 矢径 力F对O点之矩的计算方法 力对点之矩矢的矢量积和解析表达式 力对坐标原点O的矩为 x y 为力作用点A的坐标 为力在x 和y轴上的投影 力对点之矩的矢量运算 F r 由高等数学知 前已述及 由此可得 力矩的单位 或 力对点之矩矢的性质 当力沿其作用线移动时 保持不变 若使 则 或 F 0 无力作用 或 h 0 力通过矩心 互为平衡的两个力对同一点的矩的和 0 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应 可以以该点的一个矩矢来度量 这个矩矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和 合力矩定理 定理叙述 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对同一点力矩的代数和 定理证明 若n个力汇交于A点 则其合力为 用同时矢积上式两端 得到 定理的应用 应用1 当合力对某点的矩较难计算时 常可先将该力分解 通常为正交分解 然后用合力矩定理计算其力矩 应用2 当平面汇交力系平衡时 其合力为零 所以该汇交力系对任意点O的力矩等于零 从而 当平面汇交力系平衡时 可采用上面的力矩方程代替平面汇交力系的投影方程 由于平面汇交力系只有两个独立平衡投影的方程 所以只有两个独立的平衡力矩的方程 注意 求 解 按合力矩定理 已知 F 1400N 直接按定义 算例 求 解 由合力矩定理 得 已知 q l 合力及合力作用线位置 取微元如图 3力偶的等效条件和性质 如果两个力偶的力偶矩矢相等 大小相等 转向相同 则两力偶彼此等效 力偶的等效条件 同平面内力偶的等效定理的证明 设两力偶 F F 和 F0 F0 力偶矩相等 要求证明它们等效 已知 将分解 将分解 将力和移到A B点 同平面内力偶的等效定理的证明 去除和 和构成一个新的力偶 必有 可见力偶和等效 由于和等效 证得和等效 同平面内力偶的等效定理的证明 由于力偶和有相同的力臂d和相同的力偶矩 力偶的性质 性质一 力偶无合力 即主矢FR 0 力偶不能与一个力等效 因此不能与一个力平衡 力偶只能用力偶来平衡 性质二 力偶对其作用面内任一点的力矩都等于其力偶矩本身的大小 性质三 只要保持力偶矩大小不变 力偶可在作用面内任意移动 或移到另一平行平面 其对刚体的作用效果不变 性质三 保持力偶转向和力偶矩大小不变 分别改变力和力偶臂大小 其作用效果不变 平面力偶的特点 特点一 力偶只能用力偶来平衡 结论 力偶矩是力偶作用的唯一量度 力偶的表示方法 4 力偶系的平衡条件 由于力偶系的合成结果是一个合力偶矩 力偶系平衡充要条件为 合力偶矩等于零 上式的投影方程为 力偶系有三个独立的平衡方程 可以求解三个未知量 平面力偶系的平衡条件 充要条件 即 所有各力偶矩的代数和等于零 这个平衡方程质能求解一个未知量 根据力偶理论 一个力偶与一个力是不可能平衡的 图示圆盘O为何能在力偶M和力P的作用下保持平衡 平衡条件是什么 圆盘的半径为r 5算例 图示圆盘O为何能在力偶M和力P的作用下保持平衡 圆盘的中心O处作用有一个垂直方向约束力 该力与力P组成一个力偶 该力偶与力偶M保持平衡 圆盘的平衡条件为 求 光滑螺柱AB所受水平力 已知 解得 解 由力偶只能由力偶平衡的性质 其受力图为 已知 1 对圆轮O 2 对于杆AB 解得 求图示刚架支座A B的约束反力 因为力偶只能用力偶来平衡 所以BC杆受力图如下 对BC杆 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触 它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 转向如图 问m1与m2的比值为多大 结构才能平衡 解 取杆AB为研究对象画受力图 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束 则A处约束反力的方位可定 FC Mi 0 FA FC F AC a aF m1 0 m1 aF 1 FA 取杆CD为研究对象 因C点约束方位已定 则D点约束反力方位亦可确定 画受力图 FD FC FD FC F CD a Mi 0 0 5aF m2 0 m2 0 5aF 2 联立 1 2 两式得 力偶系 由两个或两个以上力偶组成的特殊力系 6 空间力偶系 空间力偶系合成结果仍然是一个力偶 其力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和 即 M 空间力偶系合成 上式的解析表达式为 合力偶矢在x y z轴上的投影等于各分力偶矢在相应轴上投影的代数和 计算出合力偶矩矢在x y z轴上的投影后 即可按照下述公式算得合力偶矩矢的大小和方向 力系的简化与平衡 7 力对轴之矩 力对轴之矩概念 力对坐标轴之矩 力对轴之矩与力对点之矩的关系 算例 将力向垂直于该轴的平面投影 力对轴的矩等于力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积 力F对z轴的矩等于该力在通过O点垂直于z轴的平面上的分量对于O点的矩 力对轴之矩概念 力对坐标轴之矩 将力向三个坐标轴方向分解 分别求三个分力对轴之矩 然后将三个分力对轴之矩的代数值相加 空间力对轴的矩等于零的条件 1 力通过轴线 2 力与轴线平行 力对轴之矩与力对点之矩的关系 结论 力对点之矩的矢量在某一轴上的投影 等于该力对该轴之矩 即 所以 可得 由右图可见 结论的说明 力F作用在边长为a的立方体上如图所示 求力F对各轴之矩 算例 解 力F的作用线与AO A O BC平行 与B C 重合 MAO F MA O F MBC F MB C F 0 力F的作用线与A B C O BB 和CC 相交 MA B F MC O F MBB F MCC F 0 求力F对AA OO A A和O O轴之矩 MAA F MOO F aF MA A F MO O F aF 求力F对AB OC BA和CO轴之矩 MAB F aF MBA F aF o A C C A O B F B MOC F aF MCO F aF 设曲杆OABD位于同一平面内 且OA垂直于AB AB垂直于BD 如图所示 在曲杆D点上作用一力P 其大小为p 2kN 力P位于垂直于BD的平面内 且于竖直线成夹角 30o 求力P分别对图示直角坐标轴的矩 P 解 1 根据力对轴的矩的定义计算 o Pyz 作和x轴垂直的平面M1 找出交点O 确定力P在平面M1内的分力Pyz 1 732kN 在平面M1内确定力Pyz到矩心O的距离即力臂d1 8cm 计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩 Mx P Mo Pyz Pyzd1 13 86kN cm 作和y轴垂直的平面M2 P 确定力P在平面M2内的分力Pxz P 2kN 在平面M2内确定力Pxz到矩心O的距离即力臂d2 3 464cm 计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩 My P Mo Pxz Pxzd2 6