计算机辅助几何造型技术-第2章.ppt

CAGD 计算机辅助几何造型技术 敖志强zhiqiangao 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 2 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 拉格朗日插值多项式 点斜式 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 3 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 可用来解决对有限多个数据点的代数多项式插值问题 但数据点越多 插值多项式的次数就越高 高次多项式一不容易计算 二会在曲线上产生不希望有的波动 三次样条函数及其力学背景 按给定的数据将型值点准确地点在图板上 打点 采用一种称为 样条 的工具 用压铁强迫它通过这些型值点 再适当调整这些压铁 让样条的形态发生变化 直至取得合适的形状 才沿着样条画出所需的曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 4 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 把样条看成弹性细梁 压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷 那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为求弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形 欧拉公式 平面曲线的曲率 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 5 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 对于 小挠度 曲线 方程近似为 由于在各小段上M是线性函数 所以y x 是x的三次多项式在整个梁上 y x 就是分段三次函数 但它具有直到二阶的连续导数 弯矩M是连续的折线函数 这一力学背景就导致了数学上三次样条函数概念的建立 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 6 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 三次样条函数的定义 设在区间其中 已知插值条件为 若有函数y x 适合下列条件 y x 在整个区间上二次连续可导 在每一个子区间上 y x 是的三次多项式 则称y x 是关于已知插值条件的三次样条函数 由样条函数构成的曲线称为样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 7 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线 在区间 0 1 上带一阶导数的插值问题 构造曲线段的方程为 求一阶导后有 将四个已知条件代入以上两式 即可解得方程的四个系数 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 8 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 可改写为 令 则曲线段方程为 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 9 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 称为埃尔米特基函数或三次混合函数 混合即为将已知条件混合在一起 突出已知条件在构造曲线过程中的作用 专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的的影响 而同端点的函数值无关 专门控制端点的函数值对曲线形状的的影响 而同端点的导数值无关 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 10 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 一些常用值 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 11 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 四个混合函数的图形 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 12 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 现在解决在任意区间上带一阶导数的插值问题 设对应于区间两端的函数值与一阶导数值分别为 进行变量转换 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 13 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 第i段曲线的表达式 矩阵形式 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 14 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 上式确定的函数y u 它本身及一阶导数具有连续性但二阶导数是否连续还不能确定 取决于m的取值 上式对x求导两次后 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 15 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 考察连续性 对于第i段曲线的末点 u 1 对于第i 1段曲线的始点 u 0 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 16 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 让两段曲线的二阶导数在该点连续 则两式必须相等 引入记号 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 17 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 可写为 称为样条函数的m 关系式 虽然此时还不知道各内节点上的 但正可以通过这些为保证二阶导数连续而建立起来的关系式解出 这些关系式是包含n 1个未知数 方程的个数是n 1个 还不足以完全确定这些未知数 还必须添加两个条件 一般取端点条件 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 18 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 端点条件1 已知曲线在两端点处的斜率 就化成关于n 1个未知量 n 1个线性方程 其中第一个方程为 第n 1个方程为 从而即可求出唯一的解 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 19 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 给定两端点的二阶导数 端点条件2 则在二阶导数公式中 i 0时 i n时 特别当两端二阶导数为0时 这种端点条件称为自由端点条件当曲线在端点出现拐点或与一直线相切时 可以使用 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 20 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 在求得所有的mi后分段三次曲线即可确定 整条三次样条曲线的表达式为 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 21 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线 区间 0 1 上 对应于两个端点的函数值与二阶导数值分别为 构造曲线段的方程 求导两次 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 22 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 已知条件代入两式 解得四个系数得 改写为 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 23 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 令 则曲线段方程为 新的混合函数 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 24 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 混合函数关系式 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 25 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 解决在任意区间的插值问题 已知条件 变量转换 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 26 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 仿照式 2 11 写出第i段曲线的表达式 矩阵形式 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 27 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 讨论连续性 求x导 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 28 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 第i段曲线的末点 第i 1段曲线的始点 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 29 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 两式右边相等 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 30 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 写为 称为M 关系式 有n 1个方程的线性方程组 含n 1个未知数必须再加上两个端点条件 条件一 给定两端点的二阶导数值 当端点导数值为0时称为自由端点条件 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 31 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 条件二 给定曲线在两端点处的斜率值 可分别写出第1段曲线始点和第n段曲线末点的一阶导数表达式 便可解得全部节点上的M值 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 32 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 三次样条的局限性 1 局部修改牵涉到整个样条的重新计算 2 不能解决具有垂直切线的问题 3 当曲线中夹有线段时拟合效果不好 4 在拟合有二阶导数不连续的曲线时 产生较大的波动 5 不具备几何不变性 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 33 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 解决曲线中夹有直线的方法 要求 第一 整条曲线具有统一的表达式 第二 在直线段上严格为直线第三 而在直线与曲线连接处不产生额外的波动 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 34 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 添加端点条件后的m关系式 若第i i 1两点间为直线 令 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 35 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 修改为 两点间严格为直线 它具有所需要的斜率 方程 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 36 参数样条曲线 函数出现多值 从而会使问题复杂化对大挠度曲线 即有近于垂直切线的曲线缺乏几何不变性 与曲线的几何特征相脱节 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 37 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 参数样条曲线 采用参数样条可解决垂直切线和无几何不变性的问题一般采用累加弦长参数样条 以累加弦长s为参数来表示曲线 为简单起见 现讨论用累加弦长参数样条来插值平面上的一批有序的点Pi 与型值点列Pi相对应的累加弦长为 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 38 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 39 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 累加弦长参数样条能解决 大挠度 的问题采用以近似弦长为参数的方程后 端点条件的换算用参数样条拟合某些封闭曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 40 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 给定曲率中心的曲线端点条件 封闭曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 41 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 42 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 43 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 44 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 45 极坐标下的 关系曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 46 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 弗格森曲线 弗格森 Ferguson 1963年在飞机设计中首先使用三次参数曲线来定义曲线和曲面 实际上 弗格森三次参数曲线段就是前面用艾米尔特插值得到的三次参数曲线段的矢值形式 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 47 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 导矢 与 T 0 与T 1 成正比例 于是可写成 同两端的单位切矢 切矢模长 0与 1的含义是 当 0与 1同时增大时仅仅会使曲线更丰满 而若只增大 0 则将会使更长的一段曲线在转入T 1 的方向之前保持接近T 0 的方向 当 0与 1的值很大时 曲线会出现弯折 尖点 和打圈圈 二重点 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 48 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 49 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 50 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 讨论如何保证弗格森三次参数曲线段合成的曲线达到二阶连续 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 51 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 后者也就是 其中T是再接合点处公切线的单位矢量 1和 2如前所述 是控制曲线段 丰满 程度的数量常数为常数 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 52 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 如果在接合处要求曲率连续 则必须使 将 2 28 代入上式得 这个关系式为 所满足 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 53 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 式中 为任意常数 这是因为上式两端左乘T后有 的作用是在保证接合处曲率相等的前提下使曲线设计着有更大的灵活性 综上所述得两参数曲线段之间位置 斜率和曲率连续的条件 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 54 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 弗格森把他的注意力集中在寻找达到曲率连续的做简单 最明显的方法上 于是他采用 这种最简单的连接办法 为了保证两参数曲线段之间的位置 斜率和曲率连续 有 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 55 二阶导矢 容易从式 2 26 求得 因此可把式 2 35 写成 拟合一条合成弗格森曲线 使之通过一批点 这些点的切矢量为 则可以把上式简化后的结果表为 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 56 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 这是相邻三点的切矢量之间的递推关系式 只要指定 就能根据这个方程组 仅仅利用位置信息确定所有其余的切矢量 当切矢量取这些值时即可保证合成曲线的曲率连续 这个过程和上述的建立一般三次样条曲线的过程十分类似 比较一下式 2 36 和m 关系式 2 9 的异同是很有意义的 如果令式 2 9 中 即得 2020 3 25 南昌航空大学航机学院 57 第二章三次样条曲线与参数样条曲线 由此可以看出 当节点均匀分布且适当选择坐标系的度量单位 使得所有的 的情况下 合成弗格森曲线的切矢量关系式和三次样条的m 关系式实质上完全一样 所以可以认为合成弗格森曲线是三次参数样条曲线的一种特殊情况 两者不同的地方是 在三次样条中考虑到子区间的长度 在累加弦长三次参数样条的情况下即为