连续控制系统的数学模型.ppt

1 第2章连续系统的数学模型 2 1系统数学模型的概念 2 3传递函数 2 2微分方程描述 2 4结构图 2 5信号流图 2 6系统数学模型的MATLAB表示 2 第2章连续控制系统的数学模型 2 1系统数学模型的概念 2 2微分方程描述 2 3传递函数 2 4结构图 2 5信号流图 2 6系统数学模型的MATLAB表示 3 2 1系统数学模型的概念 自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型 然后用数学的方法处理 数学模型 是根据系统运动过程的物理 化学等规律 所写出的描述系统运动规律 特性和输出与输入关系的数学表达式 4 2 1系统数学模型的概念 完全不同物理性质的系统 其数学模型具有相似性 5 2 1 1数学模型的定义与主要类型 静态模型与动态模型 静态模型是t 时系统的动态模型 输入输出描述模型 外部描述模型 与内部描述模型 连续时间模型与离散时间模型 参数模型与非参数模型 6 描述系统静态 工作状态不变或慢变过程 特性的模型 称为静态数学模型 静态数学模型一般是以代数方程表示的 数学表达式中的变量不依赖于时间 是输入输出之间的稳态关系 描述系统动态或瞬态特性的模型 称为动态数学模型 动态数学模型中的变量依赖于时间 一般是微分方程等形式 静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况 1 静态模型与动态模型 2 1 1数学模型的定义与主要类型 7 2 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型 如微分方程 传递函数 频率特性等数学模型 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入 输出之间的关系 所以称为内部描述模型 内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系 而且描述了系统内部信息传递关系 所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性 2 1 1数学模型的定义与主要类型 8 3 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号 数学模型分为连续时间模型和离散时间模型 简称连续模型和离散模型 连续数学模型有微分方程 传递函数 状态空间表达式等 离散数学模型有差分方程 Z传递函数 离散状态空间表达式等 2 1 1数学模型的定义与主要类型 9 4 参数模型与非参数模型从描述方式上看 数学模型分为参数模型和非参数模型两大类 参数模型是用数学表达式表示的数学模型 如传递函数 差分方程 状态方程等 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型 如脉冲响应 阶跃响应 频率特性曲线等 2 1 1数学模型的定义与主要类型 10 2 1 2建立数学模型的方法 机理分析建模方法 称为分析法 对系统各部分的运动机理进行分析 根据它们所依据的物理规律 化学规律分别列写运动方程 白箱 KCLKVL牛顿定律热力学定律等 实验建模方法 通常称为系统辨识 人为施加某种测试信号 记录基本输出响应 并用适当的数学模型去逼近 黑箱 建立系统的数学模型简称为建模 系统建模有两大类方法 或者说有两种不同的途径 11 分析法建立系统数学模型的几个步骤 建立物理模型 列写原始方程 利用适当的物理定律 如牛顿定律 基尔霍夫电流和电压定律 能量守恒定律等 选定系统的输入量 输出量及状态变量 仅在建立状态模型时要求 消去中间变量 建立适当的输入输出模型或状态空间模型 2 1 2建立数学模型的方法 12 实验法 基于系统辨识的建模方法 已知知识和辨识目的实验设计 选择实验条件模型阶次 适合于应用的适当的阶次参数估计 最小二乘法 最大似然估计 相关分析 时域 频域模型验证 将实际输出与模型的计算输出进行比较 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 2 1 2建立数学模型的方法 13 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来 实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识 由机理分析提出模型结构 然后用观测数据估计出模型参数 这种方法常称为 灰箱 建模方法 实践证明这种建模方法是非常有效的 2 1 2建立数学模型的方法 14 第2章连续控制系统的数学模型 2 1控制系统数学模型的概念 2 2微分方程描述 2 3传递函数 2 4结构图 2 5信号流图 2 6系统数学模型的MATLAB表示 15 第2章连续控制系统的数学模型 2 2微分方程描述 描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的微分方程称为微分方程模型 16 2 2微分方程描述 系统微分方程的形式与系统分类之间的关系 1 非线性微分方程描述的是非线性系统 2 线性微分方程描述的是线性系统 3 时变系统的微分方程的系数与时间有关 4 时不变 定常 系统的微分方程的系数与时间无关 17 根据系统的机理分析 列写系统微分方程的一般步骤为 1 确定系统的输入 输出变量 2 从输入端开始 按照信号的传递顺序 依据各变量所遵循的物理 化学等定律 列写各变量之间的动态方程 一般为微分方程组 3 消去中间变量 得到输入 输出变量的微分方程 4 标准化 将与输入有关的各项放在等号右边 与输出有关的各项放在等号左边 并且分别按降幂排列 最后将系数归化为反映系统动态特性的参数 如时间常数等 注意 由于实际系统的结构一般比较复杂 甚至不清楚内部机理 所以 列写实际工程系统的微分方程是很困难的 2 2微分方程描述 列写如图所示RC网络的微分方程 给定输入电压为系统的输入量 电容上的电压为系统的输出量 解设回路电流为i 由电路理论可知 电阻上的电压为 由基尔霍夫电压定律 列写回路方程式 电容上的电压与电流的关系为 消去中间变量u1 i得 令为电路时间常数 则 为RC网络的微分方程 它是一阶常系数线性微分方程 例2 1一阶RC网络系统 例2 2二阶RC网络系统给定输入电压为系统的输入量 电容C2上的电压为系统的输出量 i1 i2 思考 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联 分别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系 然后直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系 串联 T12 0 串联 T12 0 i2 i1 串联 T12 0 二阶RC网络虽然是两个一阶RC网络的串联 但应该注意到前面一个RC网络不是开路 后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载 T12系数项就反映了这一负载效应 23 一阶有源网络系统 二阶有源网络系统 思考 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网络的串联 为什么 25 图2 3所示为电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压Ua t v 为输入量 电动机转速 m t rad s 为输出量 列写微分方程 图中Ra La H 分别是电枢电路的电阻和电感 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转矩 激磁磁通为常值 例2 3 2 2微分方程描述 26 解 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能 也就是由输入的电枢电压Ua t 在电枢回路中产生电枢电流ia t 再由电流ia t 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm t 从而拖动负载运动 因此 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程 2 2微分方程描述 27 Ea是电枢反电势 它是当电枢旋转时产生的反电势 其大小与激磁磁通及转速成正比 方向与电枢电压Ua t 相反 即Ea Ce m t Ce 反电势系数 v rad s 电枢回路电压平衡方程 2 2微分方程描述 28 电动机转矩系数 N m A 由电枢电流产生的电磁转矩 N m 电动机轴上的转矩平衡方程 fm 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 N m rad s Jm 转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的 kg m 电磁转矩方程 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转矩 2 2微分方程描述 29 电动机机电时间常数 s 在工程应用中 由于电枢电路电感La较小 通常忽略不计 因而 可简化为 求出ia t 代入 同时 亦代入 得 电动机传递系数 2 2微分方程描述 30 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为 电动机的转速与电枢电压成正比 于是电动机可作为测速发电机使用 2 2微分方程描述 31 由牛顿定律 例2 4右图是弹簧 质量 阻尼器机械位移系统 试写质量 在外力F作用下 位移 的运动方程 F 都是时间的函数 图2 4弹簧 质量 阻尼器机械位移系统 2 2微分方程描述 32 第2章连续控制系统的数学模型 2 1控制系统数学模型的概念 2 3传递函数 2 2微分方程描述 2 4传递函数模型 2 5结构框图模型 2 6频率特性模型 33 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义设函数f t 满足 t0时 f t 分段连续则f t 的拉氏变换存在 其表达式记作 34 线性定理位移定理延迟定理终值定理 拉氏变换基本定理 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 35 初值定理 微分定理 积分定理 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 36 F s 化成下列因式分解形式 a F s 中具有不同的极点时 可展开为 拉氏反变换 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 37 b F s 含有共扼复数极点时 可展开为 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 38 c F s 含有多重极点时 可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 数学预备知识 拉氏变换 典型信号的拉氏变换 1 典型信号的拉氏变换 2 拉氏变换的性质 应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件 事实上 的极点均处在复平面的左半边 不满足终值定理的条件 几个拉氏变换定理的证明 44 拉氏变换的应用 求解微分方程 时域解 45 拉氏变换的应用 求解微分方程 求时域解 有理分式的分解 1 极点为相异实数的情况 47 有理分式的分解 2 出现极点为相同实数的情况 有理分式的分解 2 出现极点为相同实数的情况 有理分式的分解 3 出现极点为相异复数的情况 f t 例2 1中若已知 在例2 1中已经求得网络微分方程为 由拉氏变换法可得 1 52 式中 对 1 中各项求拉氏变换并代人各已知数据 整理后得 由于电路是突然接通电源的 故可将输入信号视为阶跃输入量 即 2 对 2 式求拉氏反变换 得到 1 式的时域解为 线性定常微分方程的求解 53 前两项是由网络输入电压产生的输出分量 而与初始条件无关 故称为零初始条件响应 后一项则是初始条件产生的输出分量 与输入电压无关 故称为零输入响应 两者统称为网络的单位阶跃响应 从上述时域响应式中求取输出的初始值即t 0时刻的值和终值即t趋于无穷大时的值 线性定常微分方程的求解 3 54 利用拉氏变换的初值定理 可以直接从 3 式中了解网络中输出电压的初始值和终值 当 的初始值为 的终值为 线性定常微分方程的求解 55 线性定常微分方程的求解 网络的输出则称为单位脉冲响应 即为 56 用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为 考虑初始条件 对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换 将微分方程转换为变量s的代数方程 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式对输出量拉氏变换函数求反变换 得到输出量的时域表达式 即为所求微分方程的解 线性定常微分方程的求解 57 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型 在给定外作用和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 系统结构和参数变化时分析较麻烦 用拉氏变化法求解微分方程时 可以得到控制系统在复数域的数学模型 传递函数 定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 2 3 1传递函数与脉冲响应函数的定义 系统微分方程与传递函数可以直接转换 设描述线性定常系统的微分方程为 因为控制理论着重分析系统的结构 参数与系统的动态性能之间的关系 所以 为简化分析 设系统的初始条件为零 在零初始条件下 对上式取拉氏变换 系统的输出为 单位脉冲输入信号下系统的输出 单位脉冲输入信号的拉氏变换为1 单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 单位脉冲输入信号下系统的输出为 可见 系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出 因此 系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性 所以也是系统的数学模型 通常称为脉冲响应函数 定义在零初始条件下 线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应 称为该系统的脉冲响应函数 记为g t 思考 求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应 单位阶跃响应 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系 60 例2 1所示RC网络的微分方程为 所以 系统的传递函数为 2 3 1传递函数与脉冲响应函数的定义 61 例2 2所示二阶RC网络的微分方程为 所以 系统的传递函数为 2 3 1传递函数与脉冲响应函数的定义 62 传递函数的性质 1 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数 与输入输出无关 2 传递函数概念仅适用于线性定常系统 具有复变函数的所有性质 3 传递函数是复变量s的有理真分式 即n m 4 传递函数是系统冲激响应的拉氏变换 5 传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系 6 由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均为实数 故零点和极点可以是实数 也可以是成对的共轭复数 2 3 1传递函数与脉冲响应函数的定义 63 2 3 2传递函数的表示方式 1 有理分式形式 传递函数的分母多项式D s 称为系统的特征多项式 D s 0称为系统的特征方程 D s 0的根称为系统的特征根或极点 分母多项式的阶次定义为系统的阶次 对于实际的物理系统 多项式D s N s 的所有系数为实数 且分母多项式的阶次n高于或等于分子多项式的阶次m 即n m 64 2 3 2传递函数的表示方式 2 零极点形式 将传递函数的分子 分母多项式变为首一多项式 然后在复数范围内因式分解 n m 得 称为系统的零点 为系统的极点 k为系统的根轨迹放大系数 65 2 3 2传递函数的表示方式 2 零极点形式 系统零点 极点的分布决定了系统的特性 因此 可以画出传递函数的零极点图 直接分析系统特性 在零极点图上 用 表示极点位置 用 表示零点 66 2 零极点形式 传递函数是s的复变函数 s是复数变量 67 传递函数是s的复变函数 s是复数变量 2 零极点形式 68 3 时间常数形式 将传递函数的分子 分母多项式变为尾一多项式 然后在复数范围内因式分解 得 式中 K为传递系数 通常也为系统的放大系数 为系统的时间常数 69 问题的提出自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型 这样 不仅避开了各种实际系统的物理背景 容易揭示控制系统的共性 而且使研究的工作量大为减少 能否找出组成系统数学模型的基本环节 任何线性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的一部分组合而成 2 3 3线性系统的基本环节 70 传递函数的一般形式实际系统中往往存在着延迟 输出量的变化落后于输入量变化的时间 称为纯滞后时间 若延时时间很短 可忽略不计 但许多系统尤其是过程控制中 延时时间往往很长 分析系统时必须考虑延时效应 下面举例说明 2 3 3线性系统的基本环节 71 如图所示溶解槽溶解系统 料斗中的溶质用皮带输送机送至加料口 2 3 3线性系统的基本环节 1 假设料斗的溶质直接落入溶解槽 则溶液浓度y t 与料斗加料量x t 的关系为 传递函数为 2 考虑运输带输送的延迟 则溶液浓度y t 与料斗加料量x t 的关系为 或 传递函数为 线性连续定常传递函数的一般形式为 73 2 3 3线性系统的基本环节 放大环节 比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 振荡环节 一阶微分环节 二阶微分环节 滞后环节 纯时滞环节 一个系统或一个元件 线性连续 总可以由一个或几个基本环节组成 有些基本环节在实际中可以单独存在 但象各种微分环节实际上是不能单独存在的 74 典型环节通常分为以下六种 1 比例环节式中K 增益特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 实例 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应式变送器等 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的 2 3 3线性系统的基本环节 75 2 惯性环节特点 含一个储能元件 对突变的输入其输出不能立即复现 输出无振荡 实例 一阶RC网络 直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节 2 3 3线性系统的基本环节 式T 时间常数 76 3 微分环节理想微分一阶微分二阶微分特点 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 实例 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节 2 3 3线性系统的基本环节 77 4 积分环节 5 振荡环节式中 阻尼比 自然振荡角频率 无阻尼振荡角频率 特点 环节中有两个独立的储能元件 并可进行能量交换 其输出出现振荡 实例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 电枢控制的直流伺服电机 特点 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 2 3 3线性系统的基本环节 78 6 纯时间延时环节 式中 延迟时间特点 输出量能准确复现输入量 但须延迟一固定的时间间隔 实例 管道压力 流量等物理量的控制 其数学模型就包含有延迟环节 2 3 3线性系统的基本环节 79 惯性环节从输入开始时刻就已有输出 仅由于惯性 输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值 惯性环节与延迟环节的区别 延迟环节从输入开始后在0 时间内没有输出 在t 之后 才有输出 80 第2章连续控制系统的数学模型 2 1系统数学模型的概念 2 3传递函数 2 2微分方程描述 2 4结构图 2 5信号流图 2 6系统数学模型的MATLAB表示 81 2 4 1结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递 变换过程 特点 具有图示模型的直观 又有数学模型的精确 结构图包含四个基本元素 1 信号线 2 引出点 测量点 这里的信号引出与测量信号一样 不影响原信号 所以也称为测量点 3 比较点 综合点 4 方块 83 2 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的流向 在直线旁标记信号的时间函数或象函数 3 比较点 合成点 综合点 SummingPoint两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 表示相加 表示相减 号可省略不写 控制系统的结构图是系统各元件特性 系统结构和信号流向的图解表示法 1 方框 BlockDiagram 表示输入到输出单向传输间的函数关系 2 14结构图中的方框 信号线 方框 2 4 1结构图的基本组成 84 注意 进行相加减的量 必须具有相同的量纲 4 分支点 引出点 测量点 BranchPoint表示信号测量或引出的位置 注意 同一位置引出的信号大小和性质完全一样 图2 15比较点示意图 2 4 1结构图的基本组成 85 1 考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数 并将它们用方框 块 表示 2 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方框连接起来 便可得到系统的结构图 系统结构图 也是系统数学模型的一种 2 4 2结构图的绘制 86 图2 17一阶RC网络 解 由图2 17 利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 对其进行拉氏变换得 例2 8画出下列RC电路的方块图 2 4 2结构图的绘制 87 将图 b 和 c 组合起来即得到图 d 图 d 为该一阶RC网络的方块图 2 4 2结构图的绘制 88 例2 9画出下列R C网络的方块图 由图清楚地看到 后一级R2 C2网络作为前级R1 C1网络的负载 对前级R1 C1网络的输出电压产生影响 这就是负载效应 2 4 2结构图的绘制 89 解 1 根据电路定理列出方程 写出对应的拉氏变换 也可直接画出该电路的运算电路图如图 b 2 根据列出的4个式子作出对应的框图 3 根据信号的流向将各方框依次连接起来 2 4 2结构图的绘制 90 2 4 2结构图的绘制 91 如果在这两极R C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器 如图2 22所示 则此电路的方块图如图 b 所示 2 4 2结构图的绘制 92 2 4 3结构图的简化 等效变换 为了由系统的结构图方便地写出它的闭环传递函数 通常需要对结构图进行等效变换 结构图的等效变换必须遵守一个原则 即变换前后各变量之间的传递函数保持不变 在控制系统中 任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联 并联和反馈三种基本形式连接而成 三种基本形式的等效法则一定要掌握 93 图2 23环节的串联连接 1 串联连接 特点 前一环节的输出量就是后一环节的输入量 结论 串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积 n为相串联的环节数 2 4 3结构图的简化 等效变换 94 图2 24环节的并联连接 特点 各环节的输入信号是相同的 均为R s 输出C s 为各环节的输出之和 即 2 并联连接 2 4 3结构图的简化 等效变换 结论 并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和 n为相并联的环节数 当然还有 的情况 95 图2 25环节的反馈连接 3 反馈连接 2 4 3结构图的简化 等效变换 96 4 比较点和分支点 引出点 的移动有关移动中 前 后 的定义 按信号流向定义 也即信号从 前面 流向 后面 而不是位置上的前后 2 4 3结构图的简化 等效变换 97 图2 26比较点移动示意图 放大 缩小 缩小 放大 2 4 3结构图的简化 等效变换 98 左 图2 27分支点移动示意图 缩小 放大 放大 缩小 右 2 4 3结构图的简化 等效变换 99 结构图化简求系统传递函数的基本方法 1 利用等效变换法则 通过移动比较点和引出点 消去交叉回路 变换成可以运算的几种基本的简单回路 2 将结构图变换为代数方程组 然后求解代数方程组 3 将结构图变换为信号流图 然后应用梅森增益公式 4 直接应用梅森增益公式 最好不用 2 4 3结构图的简化 等效变换 结构框图的化简例2 10 101 例2 11用结构图的等效法则 求图2 28所示系统的传递函数C s R s 解 这是一个具有交叉反馈的多回路系统 如果不对它作适当的变换 就难以应用串联 并联和反馈连接的等效变换公式进行化简 本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点 化简后 再后移至C点 然后从内环到外环逐步化简 其简化过程如下图 图2 28 2 4 3结构图的简化 等效变换 102 反馈公式 串联和并联 2 4 3结构图的简化 等效变换 103 2 4 3结构图的简化 等效变换 104 例2 12将例2 9的系统结构图简化 2 4 3结构图的简化 等效变换 105 简化提示 分支点A后移 放大 缩小 比较点B前移 放大 缩小 比较点1和2交换 结构图的化简 解方程组 例2 13 107 2 4 4反馈控制系统的传递函数 1 前向通路传递函数 假设N s 0打开反馈后 输出C s 与R s 之比 等价于C s 与误差E s 之比 2 反馈回路传递函数假设N s 0主反馈信号B s 与输出信号C s 之比 108 3 开环传递函数Open loopTransferFunction假设N s 0主反馈信号B s 与误差信号E s 之比 4 闭环传递函数Closed loopTransferFunction假设N s 0输出信号C s 与输入信号R s 之比 2 4 4反馈控制系统的传递函数 109 推导 因为 右边移过来整理得 即 2 4 4反馈控制系统的传递函数 110 5 误差传递函数假设N s 0误差信号E s 与输入信号R s 之比 代入上式 消去G s 即得 将 2 4 4反馈控制系统的传递函数 111 图2 18输出对扰动的结构图 利用公式 直接可得 6 输出对扰动的传递函数假设R s 0 2 4 4反馈控制系统的传递函数 112 7 误差对扰动的传递函数假设R s 0 图2 19误差对扰动的结构图 利用公式 直接可得 2 4 4反馈控制系统的传递函数 113 线性系统满足叠加原理 当控制输入R s 与扰动N s 同时作用于系统时 系统的输出及误差可表示为 注意 由于N s 极性的随机性 因而在求E s 时 不能认为利用N s 产生的误差可抵消R s 产生的误差 2 4 4反馈控制系统的传递函数 114 信号流图和梅逊公式 S J Mason 结构图是一种很有用的图示法 对于复杂的控制系统 结构图的简化过程仍较复杂 且易出错 Mason提出的信号流图 既能表示系统的特点 而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数 因此 信号流图在控制工程中也被广泛地应用 2 5信号流图 115 信号流图是表达线性代数方程组结构的一种图 节点 小圆圈表示变量或信号 称为节点 支路 连接两个节点的线段称为支路 增益 标在支路旁边的数学算子称为传递函数或传递增益 传递增益可以是常数 也可以是复变函数 当传递函数为1时可以不标 2 5 1信号流图的定义及其基本性质 116 用信号流图表示方程组的基本法则为 1 支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函数 例如 代数方程x2 ax1可以表示为图2 24所示信号流图 图2 24的信号流图 2 5 1信号流图的定义及其基本性质 117 信号只能沿支路以箭头方向传送 虽然代数方程x2 ax1可以写成 图2 25的信号流图 但在系统中当x1作为输入 x2作为输出时 信号流图就不能画成 2 5 1信号流图的定义及其基本性质 118 2 节点表示了系统中的信号 而且可以把所有输入支路的信号叠加 并把和信号等同地送到所有输出支路 其值均为所有输入信号乘各自的支路传递函数之和 如x4 a1x1 a2x2 a3x3可以表示成图2 26所示 图2 26x4 a1x1 a2x2 a3x3的信号流图 2 5 1信号流图的定义及其基本性质 119 标准作法 在构作信号流图时 通常将输入节点画在左边而输出节点画在右边 把 反馈 分支画在水平线下面 其它分支画成水平线或在水平线上边 自回环按其方向可以画在下面也可以画在上面 2 6 2信号流图的构造 120 1 由线性代数方程组构造信号流图构造步骤 1 把方程组写成 因 果 形式 注意 每个变量作为 果 只能一次 其余的作为 因 2 把各变量作为节点 从左到右按次序画在图上 3 按方程式表达的关系 分步画出各节点与其他节点之间的关系 2 6 2信号流图的构造 121 设线性系统由n个线性代数方程描述 若写成 则称为因果关系形式 其中 写在等式左端的变量为 果 写在等式右端的变量为 因 对于一个给定的线性方程组 其信号流图不是唯一的 但这些信号流图尽管形式上不同 但求解结果都是一样的 都描述了同一个系统 所以 这些信号流图是等效的 称为等效的非同构图 2 6 2信号流图的构造 122 2 由微分方程组构造信号流图只能表示线性代数方程 当系统是由线性微分方程描述时 则应首先通过拉氏变换将它们变换成线性代数方程 再整理成因果形式 作出系统的信号流图 2 6 2信号流图的构造 3 由系统结构图构造即按照结构图与信号流图的对应关系直接画信号流图 先分析结构图与信号流图的对应关系 124 因为结构图中有正反馈和负反馈 结构图的比较点计算时有加有减 而信号流图的节点则仅是相加 因此 结构图中比较点的 号要放到信号流图中支路传递增益中去 特别注意的是信号流图中的节点 一方面表示了系统中的信号 另一方面具有将输入支路信号相加 把和信号等同地送到所有输出支路的作用 2 6 2信号流图的构造 125 画出图2 31所示系统结构图的信号流图 图2 31系统方块图 解 用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可 也即可以与它前面的比较点共用一个节点 在比较点之前的引出点B 需设置两个节点 分别表示引出点和比较点 注意图中的 2 6 2信号流图的构造 126 信号流图通过变换 也可以得到只剩下输入节点和输出节点的信号流图 从而求出总的传递函数 1 加法 并联支路的简化n个同方向的并联支路 可用一个等效支路代替 等效支路的传递函数等于n个支路传递函数之和 2 5 3信号流图的变换法则与简化 2 乘法 串联支路的简化n个同方向串联支路可用一个等效支路代替 等效支路的传递函数为所有串联支路传递函数的乘积 127 3 支路移动法则 混合节点的消除 P43 要消除任一个有m个输入支路和n个输出支路的节点 可将该节点的m个输入支路分别沿n个输出支路作正向移动 即移动它们的未端 或将它的n个输出支路分别沿m个输入支路作反向移动 即移动它们的始端 作正向移动的支路始端不动 其未端移动到对节点来说是输出支路的另一支路的未端 作反向移动的支路的未端不动 其始端移动到对该节点来说是输入支路的另一支路的始端 支路移动后得出的新支路的传递函数为被移动的支路和沿其移动的支路的支路传递函数之积 2 5 3信号流图的变换法则与简化 128 4 自回环消除规则只经过一个支路又回到该节点的 统称为自回环 对于一个有m个输入支路 n个输出支路和l自回环的节点 如将m个输入支路的每个支路的传递函数除以 1 自回环的传递函数 n个输出支路的支路传输值不变 则可消除该节点的自回环 2 5 3信号流图的变换法则与简化 5 反馈环消除规则类似于结构图反馈回路的简化 129 a b x1 x2 2 5 3信号流图的变换法则与简化 5 反馈环消除规则类似于结构图反馈回路的简化 130 对于求解比较复杂的多回环系统的传递函数 具有很大的优越性 它不必进行费时的简化过程 而是直接观察信号流图便可求得系统的传递函数 2 5 4梅森增益公式 131 输入节点 源 仅具有输出支路的节点 图中的x1 输出节点 阱 坑 仅有输入支路的节点 有时信号流图中没有