第七章 空间解析几何与向量代数.doc

第七章 空间解析几何与向量代数1求点(2,3,1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点. 解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：； （2）x轴：，y轴：，z轴：； （3） 所属章节：第七章第一节难度：一级2求点（4，3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，3，5）到坐标原点的距离为，点（4，3，5）到轴的距离为，点（4，3，5）到轴的距离为，点（4，3，5）到轴的距离为.所属章节：第七章第一节难度：一级3把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标. 解答：设分点坐标为，则由条件，解得，即所求分点坐标为.所属章节：第七章第一节难度：一级4设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：所属章节：第七章第一节难度：一级5在yOz平面上求一点，使它与点A（3，1，2），点B（4，2，2）和点C（0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为，则由条件有，故，解得.即所求点为.所属章节：第七章第一节难度：一级6在z轴上求一点，使它到点A（4，1，7）和点B（3，5，2）的距离相等. 解答：设所求点为，则由条件有，故，解得.即所求点为.所属章节：第七章第一节难度：一级7已知向量a和b的夹角为60，且试求和解答：由于，代入已知条件，即可得；又由于，故.所属章节：第七章第三节难度：二级8设向量a和b的夹角为，且试求：（1）（2）解答：（1）； （2）.所属章节：第七章第三节难度：二级9设其中向量a和b的夹角为，试求及.解答：；由于，所以.所属章节：第七章第三节难度：二级10设且问： （1）k为何值时， （2）k为何值时，A与B为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1) 要使，则，即，代入条件即，解得； （2）要使以A与B为邻边的平行四边形面积为6，即，代入条件即，解得或所属章节：第七章第四节难度：二级11已知向量a+3b垂直于向量7a5b,向量a4b垂直于向量7a2b,试求向量a与b的夹角.解答：因为a+3b7a-5b，a-4b7a-2b，所以 (a+3b)(7a-5b)=0, (a-4b)(7a-2b)=0， 即 7|a|2+16ab-15|b|2 =0, 7|a|2-30ab+8|b|2 =0，由以上两式可得 , 于是 ，.所属章节：第七章第三节难度：二级12设求：解答：.所属章节：第七章第四节难度：二级13设试求下列各向量的坐标： （1） （2） （3）解答：（1）； （2）； （3）.所属章节：第七章第二节难度：一级14求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：；与坐标轴的夹角余弦分别为，故与坐标轴的夹角分别为.所属章节：第七章第二节难度：一级15已知一向量的起点是A(2,2,5),终点是B(1,6,7),试求： （1）向量在各坐标轴上的投影； （2）向量的模和方向余弦； （3）的单位向量.解答：由于向量，所以（1）向量在各坐标轴上的投影为（2）向量的模，方向余弦为； （3）的单位向量.所属章节：第七章第二节难度：一级16已知向量的起点坐标为（2，0，5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为.所属章节：第七章第二节难度：一级17 已知向量的终点为B（2，1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、4和7，求该向量起点A的坐标.解答：起点A的坐标.所属章节：第七章第二节难度：一级18已知向量求与同向的单位向量.解答：由于，单位化，与同向的单位向量为.所属章节：第七章第二节难度：一级19设向量且，试求l与m的值.（题目与解答不统一）如果题目中向量为，则答案为即原参考答案，下面按原题解答.参考答案：解答：由于，所以，解得或.所属章节：第七章第二节难度：一级20已知向量试求与解答：；.所属章节：第七章第四节难度：一级21已知和，试求向量在向量上的投影.解答：，.所属章节：第七章第四节难度：一级22设直线L通过点（2，1，3）和（0，1，2），求点（10，5，10）到直线L的距离.解答：设，点到直线的距离为，则利用，解得.所属章节：第七章第四节难度：二级23求点（1，3，2）关于点（1，2，1）的对称点.解答：设，所求点为，由题意知，即，解得.所属章节：第七章第四节难度：一级24求以向量为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于，所以所求六面体的体积为.所属章节：第七章第四节难度：三级25试证和四点共面. 解答：由题意，由于，所以四点共面.所属章节：第七章第四节难度：三级26确定球面的球心和半径.参考答案：球心（本题参考答案有误）解答：将原方程配方，得，故球心为，半径为.所属章节：第七章第五节难度：一级27一球面过坐标原点和三点，试确定该球面的方程. 参考答案：解答：设球面的方程为，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得，即球面方程为.所属章节：第七章第五节难度：二级28试求与距离相等的点的轨迹方程.参考答案：解答：设动点坐标为，则由条件有，故有，化简得.所属章节：第七章第五节难度：一级29指出下列方程所表示的曲面：（1） （2） （3） （4）解答：（1）母线平行于z轴的圆柱面； （2）母线平行于z轴的双曲柱面； （3）母线平行于x轴的椭圆柱面； （4）母线平行于x轴的抛物柱面.所属章节：第七章第五节难度：一级30说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1） （2） （3） （4）解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线或绕y轴旋转而成； （2）旋转抛物面，它由抛物线或绕z轴旋转而成； （3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线或绕z轴旋转而成； （4）圆锥面，它由相交的两条直线或绕z轴旋转而成.所属章节：第七章第五节难度：一级31建立下列旋转曲面的方程： （1）曲线绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面； （2）yOz平面上的椭圆绕z轴旋转一周所生成的曲面； （3）xOy平面上的双曲线绕y轴和x轴旋转一周所生成的曲面； （4）直线绕x轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1） （2） （3）绕y轴： 绕x轴： （4）所属章节：第七章第五节难度：一级32指出下列方程所表示的曲线： （1） （2） （3） （4） （5）解答：（1）平面x=3上的圆； （2）平面y=1上的圆； （3）平面x=2上的双曲线； （4）平面z=1上的抛物线； （5）平面x=2上的椭圆.所属章节：第七章第五节难度：一级33求曲线在xOy平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去，得，加上，即得.所属章节：第七章第五节难度：一级34求曲线在xOy平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去，得，加上，即得.所属章节：第七章第五节难度：一级35求下列曲线在xOy平面上的投影： （1） （2） 解答：（1）在所给方程中消去，得，加上，即得； （2）在所给方程中消去，得，加上，另外由知，故，于是投影曲线为 且.所属章节：第七章第五节难度：二级36求曲线在各坐标面上的投影：?解答：xOy面： yOz面：且 xOz面：且 所属章节：第七章第五节难度：二级37求下列各平面的方程： （1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，5，1）和（3，2，2）； （2）通过Ox轴和点（4，3，1）；（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为，将另外两点坐标代入即得； （2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为，将另一点坐标代入即得； （3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为，又通过点，故.所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点P（3，6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.解答：法向量为，所求平面的方程为，即.所属章节：第七章第六节难度：一级39求通过两点（8，3，1）和（4，7，2），且垂直于平面的平面方程.解答：由条件可设法向量为，由点法式方程得.所属章节：第七章第六节难度：二级40求通过点且垂直于两平面和的平面方程. 解答：由条件可设法向量为，由点法式方程得.所属章节：第七章第六节难度：二级41求一个通过点和且平行y轴的平面方程. 解答：由条件可设法向量为，由点法式方程得.所属章节：第七章第六节难度：二级42求a和b的值，使： （1）平面与平行； （2）平面与垂直. 解答：（1）要使平面与平行，则两个法向量平行，故有，解得； （2）要使平面与垂直，必须两个法向量垂直，故有，解得.所属章节：第七章第六节难度：一级43求过点（2，3，8）且平行于直线的直线方程. 解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程.所属章节：第七章第七节难度：一级44求过点（4，2，3）且垂直于平面的直线方程. 解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即，于是所求方程为.所属章节：第七章第七节难度：一级45求过点（1，2，1）且平行于直线的直线方程. 解答：已知直线的方向向量为，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为.所属章节：第七章第七节难度：二级46试求下列直线的标准方程： （1） （2） 解答：（1）令，代入方程，求得直线上一点坐标为，方向向量为，于是标准方程为（2）令，代入方程，求得直线上一点坐标为，方向向量为，于是标准方程为所属章节：第七章第七节难度：二级47确定下列直线与平面的位置关系： （1）与 （2）与解答：（1）直线的方向向量，平面的法向量，易证，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量，平面的法向量，易证，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节难度：一级48确定下列直线间的平行或垂直关系： （1）与 （2）与解答：（1）直线的方向向量为，直线的方向向量为， 由于它们平行，所以两条直线平行； （2）直线的方向向量为，直线的方向向量为， 由于它们垂直，所以两条直线垂直.所属章节：第七章第七节难度：二级49求直线与平面的交点和交角.参考答案： （参考答案有误？）解答：将直线方程改写成参数形式，代入所给平面方程，解得，再代回直线方程，即得交点； 由于直线的方向向量为，平面的法向量，所以交角的正弦为，于是交角为. 所属章节：第七章第七节难度：二级50求点（3，1，1）在平面上的投影.解答：过已知点向已知平面作垂线，参数形式为，代入已知平面解得参数，于是交点也即所求投影点为.所属章节：第七章第七节难度：二级51求点（2，3，1）在直线上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面，再将已知直线的参数方程代入，即得参数，两者交点即所求投影点为.所属章节：第七章第七节难度：二级52在平面上求作一直线，使它与直线垂直相交.解答：由于所求直线与直线垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程，联立已知平面方程，得一条直线，又由于所求直线与直线相交，将代入直线方程，可得，于是所求直线方程为，即.所属章节：第七章第七节难度：三级53通过点（1，0，4）作一直线，使它平行于平面且与直线 相交.解答：过点（1，0，4）作一平面，使它平行于平面，得，由于所求直线与已知直线 相交，将已知直线方程化为参数方程，代入平面方程，得交点，此为所求直线上另一点，过两点作出直线，即为所求.所属章节：第七章第七节难度：三级54求两异面直线和之间的距离.解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取，连接两点得向量，作与两条已知直线都垂直的向量，则所求距离为.所属章节：第七章第七节难度：三级55一直线通过点（1，2，1）并与相交，且垂直于直线求它的方程.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面，得，它与已知直线交于点，连接，即得所求直线.所属章节：第七章第七节难度：二级56求通过直线且平行于直线的平面方程.解答：过直线的平面束为，即，由于它与直线平行，故，解得，于是所求