江苏省南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题及答案.pdf

高三数学试卷 第 1 页 共 5 页 南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第 卷 必做题 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上 1 已知 2 31 x AxxR 21 1 3 x BxxR x 则AB 2 复数 1 zii i是虚数单位 在复平面内所对应点的在第 象限 3 某班有男生 30 人 女生 20 人 现采用分层抽样的方法在班上抽取 15 人参加座谈会 则抽到的女生人数为 4 按照程序框图 如图 执行 第 3 个输出的数是 5 抛物线 2 8yx 的焦点坐标为 第 4 题 第 13 题 高三数学试卷 第 2 页 共 5 页 6 若a是从 0 1 2 3 四个数中任取的一个数 b是从 1 2 两个数中任取的一个数 则 关于x的一元二次方程 22 20 xaxb 有实根的概率是 7 已知某圆锥底面圆的半径1r 侧面展开图是一个半圆 则此圆锥的体积为 8 已知等差数列 n a中 34 21aa 3 0a 则 n a的前 10 项和是 9 已知函数 2 4 1 4 x x f x f xx 则 2 5log 6 f 的值为 10 已知点 A 0 3 直线 l y 2x 4 设圆 C 的半径为 1 且圆心 C 在直线 l 上 若圆 C 上存在点 M 使得 MA 2 MO 则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 11 已知不等式 2 1 21 x x 的解集为 A 不等式 2 2100 xxmm 的解集为 B 若 xA 是 xB 的充分不必要条件 则实数 m 的取值范围是 12 已知0a 0b 且 31 126ab ab 则 3 ab ab 的最大值为 13 如图 已知ABAC 3AB 3AC 圆A是以A为圆心半径为 1 的圆 圆B 是以B为圆心的圆 设点P Q分别为圆A 圆B上的动点 且 1 2 APBQ 则CP CQ 的取值范围是 14 若 1 x 2 x是函数 2 ln2fxxmxx mR 的两个极值点 且 12 xx 则 1 2 fx x 的取值范围为 二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 已知 a b c 分别是 ABC 三个角 A B C 所对的边 且满足 acos B bcos A c cos A cos C 1 求证 A C 高三数学试卷 第 3 页 共 5 页 2 若 b 2 BA BC 1 求 sin B 的值 16 本小题满分 14 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AD 平面 BCC1B1 AD DB 求证 1 BC 平面 ADD1A1 2 平面 BCC1B1 平面 BDD1B1 第 16 题 B A C D D1 B1 A1 C1 17 本小题满分 14 分 如图 圆O是一半径为10米的圆形草坪 为了满足周边市民跳广场舞的需要 现规划 在草坪上建一个广场 广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形 其中 A B两点在O 上 A B C D恰是一个正方形的四个顶点 根据规划要求 在 A B C D四点处安装四 盏照明设备 从圆心O点出发 在地下铺设4条到 A B C D四点线路 OA OB OC OD 1 若正方形边长为10米 求广场的面积 2 求铺设的4条线路 OA OB OC OD总长度的最小值 第 17 题 高三数学试卷 第 4 页 共 5 页 18 本小题满分 16 分 如图 已知椭圆 C x 2 a2 y 2 b2 1 a b 0 的离心率为1 2 右准线方程为 x 4 A B 分别是椭圆 C 的左 右顶点 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M N 两点 其中 M 在 x 轴上方 1 求椭圆 C 的标准方程 2 设线段 MN 的中点为 D 若直线 OD 的斜率为 1 2 求 k 的值 3 记 AFM BFN 的面积分别为 S1 S2 若S1 S2 3 2 求 M 的坐标 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x lnx a x 1 a R 1 若函数 f x 在 x 1 处的切线为 y 2x b 求 a b 的值 2 记 g x f x ax 若函数 g x 在区间 0 1 2 上有最小值 求实数 a 的取值范围 l x y F A B O M N x 4 第 18 题 高三数学试卷 第 5 页 共 5 页 3 若当 a 0 时 关于 x 的方程 f x bx2有两个不相等的实数根 求实数 b 的取值 范围 20 本小题满分 16 分 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1a 且 111 nnnnnn a SaSaa 对一切 n N都成立 1 当 1 时 求数列 n a的通项公式 若 1 nn anb 求数列 n b的前n项的和 Tn 2 是否存在实数 使数列 n a是等差数列 如果存在 求出 的值 若不存在 说明理由 高三数学附加题 第 1 页 共 3 页 南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第 卷 选做题 40 分 21 选做题 在 A B C 三小题中只能选做 2 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答卷 卡指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵M 2 1 1 2 1 求 M2 2 求矩阵M 的特征值和特征向量 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系 02 中 求曲线2sin 与cos1 的交点Q的极坐标 高三数学附加题 第 2 页 共 3 页 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答卷卡指定区域内作答 解 答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y2 2px p 0 及点 M 2 0 动直线 l 过点 M 交抛物线于 A B 两点 当 l 垂直于 x 轴时 AB 4 1 求 p 的值 2 若 l 与 x 轴不垂直 设线段 AB 中点为 C 直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴 直线 l2经过点 M 且垂直于直线 l 记 l1 l2相交于点 P 求证 点 P 在定直线上 O y B x M A CP l l1 l2 第 22 题 高三数学附加题 第 3 页 共 3 页 23 本小题满分 10 分 对于给定正整数n 设 n n n xaxaxaax 2 210 1 记 0 1 n n kk S a 1 计算 1234 SSSS 的值 2 求 n S 高三数学参考答案 第 1 页 共 11 页 南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题参考答案及评分标准 第 卷 必做题 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上 1 2 4 2 二 3 64 5 5 2 06 5 8 7 3 3 8 25 2 9 1210 12 0 5 11 4 12 1 9 13 1 11 14 3 ln2 0 2 二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 解 1 由正弦定理 a sinA b sinB c sinC 2R 得 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 代入 acosB bcosA ccosA cosC 得 sinAcosB sinBcosA cosC sinCcosA 2 分 即 sin A B cosC sinCcosA 因为 A B C 所以 sin A B sinC 所以 sinCcosC sinCcosA 4 分 因为 C 是 ABC 的内角 所以 sinC 0 所以 cosC cosA 高三数学参考答案 第 2 页 共 11 页 又因为 A C 是 ABC 的内角 所以 A C 6 分 2 由 1 知 因为 A C 所以 a c 所以 cosB a 2 c2 b2 2ac a 2 2 a2 8 分 因为BA BC 1 所以 a2cosB a2 2 1 所以 a2 3 10 分 所以 cosB 1 3 12 分 因为 B 0 所以 sinB 1 cos2B 2 2 3 14 分 16 本小题满分 14 分 解 1 因为 AD 平面 BCC1B1 AD 平面 ABCD 平面 BCC1B1 平面 ABCD BC 所以 AD BC 4 分 又因为 BC 平面 ADD1A1 AD 平面 ADD1A1 所以 BC 平面 ADD1A1 6 分 2 由 1 知 AD BC 因为 AD DB 所以 BC DB 8 分 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 DD1 平面 ABCD BC 底面 ABCD 所以 DD1 BC 10 分 又因为 DD1 平面 BDD1B1 DB 平面 BDD1B1 DD1 DB D 所以 BC 平面 BDD1B1 12 分 因为 BC 平面 BCC1B1 所以平面 BCC1B1 平面 BDD1B1 14 分 17 本小题满分 14 分 解 1 连接AB 因为正方形边长为10米 高三数学参考答案 第 3 页 共 11 页 所以10OAOBAB 则 3 AOB 所以 10 3 AB 2 分 所以广场的面积为 22 1 10350 1010 1010025 3 2343 答 广场的面积为 50 10025 3 3 平方米 6 分 2 作OGCD 于G OKAD 于K G 记OAK 则2220sinADDGOK 8 分 由余弦定理得 222 2cosODOAADOA AD 22 1 cos2 10 20sin 2 10 20sincos100400200sin2 2 2 300200 2sin 245 100 21 12 分 所以10 21 OD 当且仅当22 5 时取等号 所以2020 21 20 2OAOBOCOD 因此求4条小路的总长度的最小值为20 2米 答 4条小路的总长度的最小值为20 2米 14 分 18 本小题满分 14 分 解 1 设椭圆的焦距为 2c c 0 依题意 c a 1 2 且a 2 c 4 解得 a 2 c 1 故 b2 a2 c2 3 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 4 分 高三数学参考答案 第 4 页 共 11 页 2 设点 M x1 y1 N x2 y2 则x1 2 4 y1 2 3 1 x2 2 4 y2 2 3 1 两式相减 得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 3 0 1 4 1 3 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 0 所以1 4 1 3 k 1 2 0 得 k 3 2 8 分 3 由题意 S1 S2 3 2 即 1 2 AF y 1 1 2 BF y 2 3 2 整理可得 y1 y2 1 2 10 分 所以 NF 2 FM 代入坐标 可得 1 x2 2 x1 1 y2 2y1 即 x2 3 2x1 y2 2y1 12 分 又点 M N 在椭圆 C 上 所以 x12 4 y1 2 3 1 3 2x1 2 4 2y1 2 3 1 解得 x1 7 4 y 3 8 5 所以 M 的坐标为 7 4 3 5 8 16 分 19 本小题满分 16 分 解 1 f x 1 x a x2 则 f 1 1 a 2 解得 a 1 则 f x lnx 1 x 1 此时 f 1 ln1 1 1 0 则切点坐标为 1 0 代入切线方程 得 b 2 所以 a 1 b 2 2 分 2 g x f x ax lnx a x ax 1 g x 1 x a x2 a ax2 x a x2 当 a 0 时 g x 1 x 0 则 g x 在区间 0 1 2 上为增函数 则 g x 在区间 0 1 2 上无最小值 4 分 高三数学参考答案 第 5 页 共 11 页 当 a 0 时 方程 ax2 x a 0 的判别式 1 4a2 0 则方程有两个不相等的实数根 设为 x1 x2 由韦达定理得 x1x2 1 则两根一正一负 不妨设 x1 0 x2 设函数 m x ax2 x a x 0 i 若 a 0 若 x2 0 1 2 则 m 0 a 0 m 1 2 a 4 1 2 a 0 解得 0 a 2 3 此时 x 0 x2 时 m x 0 则 g x 递减 x x2 1 2 时 m x 0 则 g x 递增 当 x x2时 g x 取极小值 即为最小值 若 x2 1 2 则 x 0 1 2 m x 0 g x 在 0 1 2 单调减 无最小值 6 分 ii 若 a 0 此时 x 0 x2 时 m x 0 则 g x 递增 x x2 时 m x 0 则 g x 递减 在区间 0 1 2 上 g x 不会有最小值 所以 a 0 不满足条件 综上 当 0 a 2 3时 g x 在区间 0 1 2 上有最小值 8 分 3 当 a 0 时 由方程 f x bx2 得 lnx 1 bx2 0 记 h x lnx 1 bx2 x 0 则 h x 1 x 2bx 2bx2 1 x 当 b 0 时 h x 0 恒成立 即 h x 在 0 上为增函数 则函数 h x 至多只有一个零点 即方程 f x bx2至多只有一个实数根 所以 b 0 不符合题意 10 分 高三数学参考答案 第 6 页 共 11 页 当 b 0 时 当 x 0 1 2b 时 h x 0 所以函数 h x 递增 当 x 1 2b 时 h x 0 所以函数 h x 递减 则 h x max h 1 2b ln 1 2b 1 2 要使方程 f x bx2有两个不相等的实数根 则 h 1 2b ln 1 2b 1 2 0 解得 0 b e 2 12 分 i 当 0 b e 2时 h 1 e b e2 0 又 1 e 2 1 2b 2 2b e 2 2be2 0 则1 e 1 2b 所以存在唯一的 x1 1 e 1 2b 使得 h x 1 0 14 分 ii h 1 b ln 1 b 1 1 b lnb 1 1 b 记 k b lnb 1 1 b 0 b e 2 因为 k b 1 b 1 b2 1 b b2 则 k b 在 0 1 上为增函数 在 1 e 2 上为减函数 则 k b max k 1 0 则 h 1 b 0 又 1 b 2 1 2b 2 2 b 2b2 0 即1 b 1 2b 所以存在唯一的 x2 1 2b 1 b 使得 h x 2 0 综上 当 0 b e 2时 方程 f x bx 2有两个不相等的实数根 16 分 20 本小题满分 16 分 解 1 若1 因为 111nnnnnn a SaSaa 高三数学参考答案 第 7 页 共 11 页 则 11 11 nnnn SaSa 11 1aS 又 0 n a 0 n S 11 1 1 nn nn Sa Sa 313122 1212 111 111 nn nn SSaaSa SSSaaa 化简 得 11 12 nn Sa 当2n 时 12 nn Sa 得 1 2 nn aa 即 1 22 n n a n a 当1n 时 2 2a 1n 时上式也成立 数列 n a是首项为 1 公比为 2 的等比数列 1 2n n a 4 分 因为 1 nn bna 1 1 2n n bn 所以 01221 2 23 24 22 1 2 nn n Tnn 所以 1231 22 23 24 22 1 2 nn n Tnn 所以 121 2222 1 2 nn n Tn 1 2 12 2 1 22 12 n nn nn 所以2n n Tn 8 分 2 令1n 得 2 1a 令2n 得 2 3 1a 高三数学参考答案 第 8 页 共 11 页 要使数列 n a是等差数列 必须有 213 2aaa 解得0 当0 时 11 1 nnnn SaSa 且 21 1aa 10 分 当2n 时 111 1 nnnnnn SSSSSS 整理 得 2 111nnnnn SSSSS 1 1 1 1 nn nn SS SS 从而 33124 12123 111 111 nn nn SSSSSS SSSSSS 化简 得 1 1 nn SS 所以 1 1 n a 14 分 综上所述 1N n an 所以0 时 数列 n a是等差数列 16 分 第 卷 选做题 40 分 21 选做题 在 A B C 三小题中只能选做 2 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答卷 卡指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 解 1 M2 2 1 1 2 2 1 1 2 54 45 4 分 2 矩阵 M 的特征多项式为 f 2 1 1 2 1 3 令 f 0 解得 M 的特征值为 1 1 2 3 6 分 当 1 时 2 1 1 2 x y xy 得 x y 0 x y 0 令 x 1 则 y 1 于是矩阵 M 的一个特征向量为 1 1 8 分 高三数学参考答案 第 9 页 共 11 页 当 3 时 2 1 1 2 x y 3 x y 得 x y 0 x y 0 令 x 1 则 y 1 于是矩阵 M 的一个特征向量为 1 1 因此 矩阵 M 的特征值为 1 3 分别对应一个特征向量为 1 1 1 1 10 分 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 分别化为普通方程得直线1x 与圆 22 1 1xy 4 分 易得直线1x 与圆 22 1 1xy 切于点 Q 1 1 6 分 所以交点 Q 的极坐标是 2 4 10 分 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答卷卡指定区域内作答 解 答应写出文字说明