《高中物理思维方法集解》随笔系列——“分析方法”在高中物理解题中的应用(二).doc

“分析方法”在高中物理解题中的应用（二）如前所述，我们分别讨论了“分析-综合思维”，“分析方法”以及“形象分析方法”在解题中的应用，本文我们继续对 “逻辑分析法”、“ 数理分析法”、“ 系统分析法”等在解题中的应用进一步展开讨论。 四“逻辑分析法” 在解题中的应用在高中物理解题研究中，我们把利用物理概念、规律，对形象思维的结果形象情景（或“内象”） 实行的分析-综合法，简称为“逻辑分析法”。 例如通过逻辑分析可知，在运动过程中包含着力、速度、牛顿定律、功能关系，在电学过程中包含着电功、电势能及其相互关系、电磁感应定律等等。实际上，逻辑思维起始于对形象思维确认-递升而来的“形象图景”，或者形象图景就是逻辑思维的起点，或切入点、突破口。逻辑分析的目的，进一步弄清物理实体、状态、过程的内部本质，发现和构建已知量、待求量的必然联系，亦即对已知量、待求量做物理层面的各种分析过程，如受力分析、运动分析、功能分析、冲动分析、量子分析和系统的能量、动量、质量、电荷等是否守恒的分析等等。进而，根据概念的物理含义和适用范围，判断所需概念是否正确，根据规律的适用条件，确定某个物理规律是否可用。在比较、归类基础上，应用由因导果、执果索因、简单模仿、类比模型、变换等效等方式，搜索和打通解题思路；根据物理原理、定理、定律、公式、二级结论等，发现和确定已知量、过渡量、待求量等的关系，最终获得解题所需的具体方程、不等式等组合。图321图322仿前所述，以逻辑分析环节为起点的逻辑思维阶段，实则为了解决一个所求习题的“定性”问题。 具体地，逻辑思维（构思）阶段，即通过对“习题反映”提供的图景信息的深入分析和比较，根据用恰当的物理概念、规律，发现、抽取联系已知量、未知量的本质特性及其联系，目的在于构建起诸如运动学公式、牛二定律式、能量守恒式、动量守恒式等组合。为了以后方便讨论，我们把这种“组合”，试称为破解习题的“逻辑方案”，或视为逻辑思维成果的“意象”。例如；一根长为l的轻绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球. 用外力把小球提到图321所示位置，使绳伸直，并在过O点的水平面上方，与水平面成30角.从静止释放小球，求小球通过O点正下方时绳的拉力大小.解析：本题的实际解题过程如下：先作出运动的示意图和受力分析示意图如322所示，粗略勾勒出的形象图景，该题随之“审定”。逻辑分析：以“图景”（默记已知数据等）为起点。位置状态：坐标原点O，小球的瞬时初始位置中间位置A（l、30）、终末位置B（l、-30）、C（l,-90）；绳长（圆半径）l等。运动过程，分为三个下落运动、绳长突变、圆周运动等三个子过程。受力状态：A-B只受重力；至B点时，增加拉力（斜向），合力作向心力；C点仍受重力、拉力，但拉力方向竖直向上，合力亦然。运动状态：小球在A点初速度为零；A-B段加速；B点速度达到,方向向下；C 点最大速度，水平向左。如何变化：在A-B段，直线“加速”；B-C，B-C，圆周变速。能量状态1：在A点，重力势能；B点，（转动）动能加重力势能；C点，与B点类似。如何变化2：在A-B段，动能增加，势能减少；在B点，机械能损失（速度减小）；B-C段与A-B段类似。至于逻辑比较：亦主要是指习题负载与解题经验的比较，有比较才有鉴别。（讨论从略）2逻辑抽象：概念抽象：已知条件、，由此挖掘出下落高度（隐含条件）；至B点，绳长为圆半径，速度突变后仅余， 的 “正交”分力（直觉判断）；待求未知为“小球通过O点正下方时绳的拉力大小”，还有动能、势能等。规律抽象：机械能守恒,速度分解，向心力公式。逻辑推理：即对抽象所得组合框架进行逻辑推理。在A-B段，由于满足重力做功的条件，因而可用机械能守恒定律，对应上式可以执行；在B点，则执行正交分解的规律；在B-C段，执行向心力公式去推演等。由此，在子过程，由于只有重力做功，机械能守恒从而mgl=mvB2 /2 mvB2/2+mgl(1-cos60)= mvC2/2 在子过程，由速度分解可得vB=vBcos30 在C点，由牛二定律得 逻辑应变（修正）：联立以上四式成方程组，即得破解此题的逻辑方案，确认无误提交给数理思维部分“求解”。若缺乏层层深入的分析，忽视悬绳“从伸直到对小球施加拉力”的暂态过程中机械能的损失，而是对小球“从初位置到末位置”的渐进过程，直接用机械能守恒定律求最低点速度，则必将导致解题的出错。这样是否无事生非，小题大做呢？答案是否定的。“分析方法”往往不是停留在单纯、机械、狭隘意义上，而是“广义”的，且贯穿于整个解题过程，与比较、抽象、推断、修正等环节交织在一起。通常所谓“学会分析和解决物理问题”中的“分析”，意义亦在于此。逻辑分析，就是从物理本身的角度或视野出发，对当前“习题反映”（负载）的逻辑信息做“化整为零”处理，以便于弄清过程的状态、细节，不至于挂一漏万、导致解题的失败或遗憾。这就是说，无论做什么，有其利则必有其弊，把逻辑思维过程分成四个环节，有时却较难界定。如此多的文字，看来繁琐，却是人脑思维活动的细致描述，许多如概念、规律抽象和推理的“意念”，实则一闪而过，平时解题没必要写出，日久天长一旦实现格式化、熟练化，实行起来必将产生极大的解题效益。我们千万不要钻牛角尖，以为把问题搞的愈发复杂了。应该再次强调，由于绝大部分物理概念和物理规律，皆可用物理定义式、公式和方程表达，为方便讨论起见，故把物理概念和物理规律统称“物理公式”逻辑分析（仍称分析-综合），以物理的概念、定律、定理、原理，以及法则、定义式、公式和方程等“物理公式”为思维对象，目的或任务即分析物理量和物理量之间的联系，进而借助于逻辑加工获取一个解题所必需的“物理公式组”逻辑方案。还应指出，单纯、孤立的逻辑分析，对解题而言是没太大意义的（如对矢量分解与合成、匀变速直线运动的位移、电磁感应规律等“物理公式”逻辑的分析）。 逻辑分析是逻辑思维加工的基础或必要条件，没有逻辑分析，也就不能顺利进行逻辑加工。 形象分析常与形象加工相互协作和密切联系在一起，两者同属于完整思维过程的第二层次。如由牛二定律导出分量式、由电磁感应定律导出分列式等包含着逻辑分析思维、由平抛运动分位移公式导出、物理公式组中未知量的消减等包含着逻辑综合思维。【例题解析】“力-动”分析这里的受力分析，是指关于力的“定性”的分解与合成，具体表达为物理符号、公式等等。其目的，最终解决一个如何应用物理规律的问题。有分析，必有综合，请读者留心关注。【例题1】如图32 3所示，质量分别为mA、mB的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为的斜面上，B悬空设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力的大小图323【解析】 首先，“逻辑分析”、比较抽象等表明，在沿斜面方向物体A因受两个力作用产生加速度，绳中张力为FT，A、B运动的加速度的大小为a。对A，在沿斜面方向由牛顿第二定律得下式mAgsin-FT = mAa 然后，对B，在竖直方向由牛顿第二定律又得FT-mBg = mBa图32 4联立上两式再应用数理思维方式即可求出的大小a = FT = 接下来，此时A对斜面的压力为FN1 = mAgcos，斜面体的受力如图32 4所示（形象分析的结果），在水平方向应用平衡条件可得F+FTcos = FN1sin不难求出，斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向的作用力。F = 。“功能”分析. 下面一例，分析和研究的全运动过程，不但弄清子过程的划分，更应应特别关注功（功率）、能及其关系的分析，并应用了动能定理。【例题2】 某商场安装了一台倾角为30的自动扶梯，该扶梯在电压为380V的电动机带动下以0.4m/s的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为4.9kW。不载人时测得电动机中的电流为5A，若载人时扶梯的移动速率与不载人时相同，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为 。(设人的平均质量为60kg，g=10m/s2)【解析】首先，对功、能和功能关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，忽略电动机内阻的热损耗，电动机的输入功率和输出功率相等。即空载时维持扶梯运行的电功率为 故可用于载送乘客的多余功率为 由式即可求出多余功率为的大小。然后，对力、运动和力动关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，扶梯斜向上作匀速运动，故每位乘客受重力mg和支持力F作用，且F =mg 电动机通过扶梯支持力对人做功，其功率为P那么P=Fvcosa =mgcos(90-30) 故同时乘载的最多人数为 再联立式，即可求得多余功率,以及承载最多人数人。【点拨】本题取自日常社会生活问题，怎样把我们所熟悉的实际问题转化为物理模型，从而运用功、能以及功能关系等物理知识来求解，的确体现出物理知识的水平和实际应用的能力。【例题3】人从一定高度落地容易造成骨折。一般成人胫骨的极限抗压强度约为1.5107 N/m2，胫骨最小横截面积大约为3.2 cm2。假若一质量为50 kg的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1 cm，试计算一下这个高度超过多少米时，就会导致胫骨骨折？ 【分析】显然，双脚胫骨面积最小处能承受冲击力的最大值FpS 对功、能和功能关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，下落的安全极限高度为h1，触地后重心又下降的高度为h2。设人的质量为m，对全过程可由动能定理得 mg（h1h2）Fh20由此求出h1 联立以上三式，代入已知数据即可求得h12.7 m。【例题4】小球由离地面h高处由静止开始下落，落地时与地面碰撞后即以原速率竖直反弹，如果小球运动中所受空气阻力大小恒定为重力的K倍（K）求：小球第一次反弹的高度为多大？若不计小球的大小，小球总共运动的路程为多大？【解析】首先求第一问，逻辑分析小球由下落开始直到反弹到最高点（离地面高度设为h1）的过程，初末动能皆为0，。此过程中，物体受重力、空气阻力和地面作用力，题设与地面碰撞后以原速率反弹，即碰撞时小球动能不变，地面的作用力做功为0；重力做功与途径无关，只由起点与终点两点高度差决定，即WG=mg（h-h1）；空气阻力大小不变，在两段路程上皆做负功，即。所以合外力功为 类似地，依动能定理，可得由以上两式可求出小球第一次反弹的高度。然后，再求第二问，乍看来小球不断下落和反弹，情况非常复杂。但只需研究小球自下落开始，直到最终停于地面的全过程即可。对问题中状态量功、能和机械能守恒定律的“逻辑分析”、比较抽象等表明，由于所研究过程的首、末两态，动能皆为0，故知。而此过程只有重力和空气阻力做功，设 s为总路程。从而依可得 mgh-kmgs=0由此，即可求出小球总共运动的路程 。 【点拨】若换一个角度考虑，全过程中物体的重力势能之所以减少mgh，是由于这些能量全部用来克服摩擦阻力做功，立马得到mgh=kmgs，也可求出相同的结果。【例题5】小球A用不可伸长的轻绳系于O点，在O点正下方有一固定的钉子B。开始时，将球A拉到与悬点O同高处无初速释放，若绳长为L，则当B与悬点O的距离d满足什么条件时，球A摆下后将如图所示，绕B点做完整的圆周运动？【解析】借助于对过程中状态量力、功、能和机械能守恒的“逻辑分析”，再经比较、抽象、推演等思维加工，本例不难解决。如图325所示，球A由摆下到绳遇到钉B之后作圆周运动的全过程中，受绳拉力和垂力，绳拉力不做功，只有重力做功，球A的机械能守恒。研究球A由开始释放至运动到圆周上最高位置C之过程，其重力势能减少了，动能增加了，其中，由机械能守恒，可得图325 而vC必须满足条件 由图可见d=L-R ，由以上三式可求出值的下限。 自然d值还应具有上限 dL。因而所求距离d满足的条件。 【点拨】实际上，从功能关系（动能定理）、机械能守恒等来分析解决物理问题，由于不涉及物理过程的具体细节，只涉及过程的初、末状态，因此也就更加简捷，极大的提高了解题的速度。“冲动”分析把复杂的物理系统或物理过程，分解为若干个实体对象或子过程，各自分析其受力情况和运动情况，或分析其变化特点和遵循规律，然后应用相应的公式、原理、定律列式求解。这种方法是求解多体系统或多子过程问题的一种基本方法。【例题6】质量为60kg的建筑工人，不慎从空中跌落，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起来。已知安全带原长5m，缓冲时间为1.2s，则安全带对工人的平均冲力是多少？（g=10m/s2）【解析】对力、运动和力动关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，人跌落后在重力作用下做自由落体运动，绳拉直后又受安全带的作用，在重力和弹力共同作用下做变速直线运动，某瞬时速度变为零。由得自由落体时间： 设安全带对工人的平均冲力为F，再对冲量、动量和冲动关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，人下落的全过程可应用动量定理得： 联立以上两式代入数据即可求得F=1100N。【例题7】如图326所示，小车A的质量M=2 kg，置于光滑水平面上，初速度为v0=14 m/s.带正电荷q=0.2 C的可视为质点的物体B，质量m=0.1 kg，轻放在小车A的右端，在A、B所在的空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.5 T，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求：图326B物体的最大速度？小车A的最小速度？在此过程中系统增加的内能？（g=10 m/s2）【析与解】类似地，对B物体：fB+FN=mg,当B速度最大时，有FN=0，即vmax=10 m/s.类似地，A、B系统动量守恒：Mv0=Mv+mvmax,v=13.5 m/s，即为A的最小速度.Q=E=Mv02/2-Mv2/2- mvmax2/2=8.75 J.图327 【例题18】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求：回路内感应电流的最大值；整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量。【解析】类似地，对小球和杆A1组成的系统，由动量守恒定律得： 又 svt 联立三式解得： 而对回路的电流、电阻、电动势以及电磁感应规律的“逻辑分析”、比较、抽象等表明，回路内感应电动势的最大值 EBLv1 回路内感应电流的最大值 联立三式解得： 类似地，两棒组成的系统，对它们从开始作用到达到共同速度的全过程由动量守恒定律得： mv12mv2 由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为： 【例题9】质量为m，的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为，如图328所示。一物块从钢板正上方距离为的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。图328 【解析】类似前例所述，物块下落与钢板碰撞时的速度 物块m与钢板碰撞后的共同速度为，因碰时内力远大于外力，动量守恒，有 刚碰完时弹簧的弹性势能为，回到O点时动能和弹性势能皆为零，由系统机械能守恒，有 设物块2m与钢板碰撞后的共同速度为，则有 它们回到O点时速度为，由机械能守恒，有 由于物块与钢板不粘连，一过O点，钢板在弹簧的作用下便与物块2m分离，物块以速度竖直上抛，则上抛距O点的最大高度为 联立式解得【点拨】此例解答需用自由落体、竖直上抛、动量守恒、能量守恒等知识，深刻挖掘隐含条件，因此必须具有较完备的知识储备和解决问题的综合能力。临场时，若我们不把复杂的物理过程分开来逐层分析，弄不清过程的状态及需用的规律，导致错误将不可避免。一般而言，高考试题大多有立意高、情境新、设问巧等特点。我们能否借助于物理图景，对复杂的物理过程和状态做清晰认识和精到分析，则是解题的重点、难点和一项不可缺少的基本功。abcd图329电路分析【例题10】如图7所示，厚度均匀的矩形金属薄片边长ab10 cm，bc5 cm.当将A与B接入电压为U的电路中时，电流为1 A；若将C与D接入同一电路中，则电流为()A4 A B2 AC. A/2 D. A/4【解析】首先利用等效电路的物理知识，计算出沿A、B方向和沿C、D方向电阻的比值，再利用欧姆定律求出两种情况下的电流比设沿A、B方向的横截面积为S1，沿C、D方向的横截面积为S2，则S1/S2=1/2，A、B接入线路中时的电阻为R1，C、D接入电路中时的电阻为R2，则有.两种情况下电流之比为，故I24I14 A因此，本题答案选：A。【例题11】 (10重庆模拟)汽车电动机启动时车灯会瞬时变暗，如图3210所示，在打开车灯的情况下，电动机未启动时电流表读数为10 A，电动机启动时电流表读数为58 A，若电源电动势为12.5 V，内阻为0.05 .电流表内阻不计，则因电动机启动，车灯的电功率降低了()A35.8 W B43.2 WC48.2 W D76.8 W【解析】对回路的电流、电阻、电压和欧姆定律、电功（率）的“逻辑分析”、比较抽象等，电动机未启动时，通过灯泡电流为I10 A，电压U112.5 V100.05 V12 V.所以灯泡电阻为R 1.2 .类似地，电动机启动时，灯泡两端的电压U212.5 V580.05 V9.6 V.故车灯的电功率降低了P43.2 W故B正确【点拨】首先，明确电动机是非纯电阻设备，非常重要，求电流时，千万别用功率与电压之比值。再，须知作为 “逻辑分析”的对象，可分别有状态量电流、电阻、电压、电动势的概念和过程量功率、欧姆定律、电功-电势能关系、电磁感应定律的规律等等。振动和波动的分析机械振动问题中，单摆的周期公式的应用，非常值得关注。【例题112】两个等长的单摆，一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆振动n次的同时，第二个摆振动了(n1)次如果地球半径为R，求第二个摆离地面的高度【解析】设第二个摆离地面的高度为h，则距地心为(Rh)，此处的重力加速度为g，地球表面的重力加速度为g，由万有引力定律：Gmg，Gmg，得 ，由单摆周期公式：，所以 .解得 而机械波问题，还应切实注意到横波传播的双向性。【例题13】如图3211所示中实线是一列简谐横波在t10时刻的波形，虚线是这列波在t20.5 s时刻的波形，这列波的周期T符合：3Tt2t14T，问：(1)若波速向右，波速多大？(2)若波速向左，波速多大？(3)若波速大小为74 m/s，波速方向如何？【解析】由图象可见：8 m，又因为3Tt2t14T，(1)由横波产生的规律可知，当波向右传播时，t2t13TT，图3211所以T s s，由v得vm/s54 m/s.(2) 再由横波产生的规律可知，当波向左传播时t2t13TT，所以T s s，由波速公式，v得vm/s58 m/s.(3)由波长-波速的关系，可知当波速为74 m/s时，在0.5 s内波传播的距离为s740.5 m37 m4，故此波向左传播热力学分析下面两例，提示读者注意一下气态方程的应用。【例题14】内壁光滑的导热汽缸竖直浸入在盛有冰水混合物的水槽中，用不计质量的活塞封闭压强为1.0105 Pa，体积为2.0103 m3的理想气体，现在活塞上缓慢倒上沙子，使封闭气体的体积变为原来的一半(1)求汽缸内气体的压强；(2)若封闭气体的内能仅与温度有关，在上述过程中外界对气体做功145 J，封闭气体吸收还是放出热量？热量是多少？【解析】(1)封闭气体（一定质量的理想气体）做等温变化时，由玻意耳定律p1V1p2V2，得气体的压强p2 Pa2.0105 Pa.(2)“逻辑分析”封闭气体热量、功与内能变化的关系，由于其做等温变化，尽管存在做功、热传递，而温度是内能的单值函数，因此温度不变则内能不变，即U0根据热力学第一定律UWQ，得热量QW145 J说明封闭气体放出热量，热量为145 J.【例题15】物理学家帕平发明了高压锅，高压锅与普通锅不同，锅盖通过几个牙齿似的锅齿与锅体镶嵌旋紧，加上锅盖与锅体之间有橡皮制的密封圈，所以锅盖与锅体之间不会漏气，在锅盖中间有一排气孔，上面再套上类似砝码的限压阀，将排气孔堵住当加热高压锅，锅内气体压强增加到一定程度时，气体就把限压阀顶起来，这时蒸气就从排气孔向外排出由于高压锅内的压强大，温度高，食物容易煮烂若已知排气孔的直径为0.3 cm，外界大气压为1.0105 Pa，温度为20，要使高压锅内的温度达到120，则限压阀的质量应为多少？(g取10 m/s2)【解析】类似地，选锅内气体为研究对象，由气体的三个实验定律则初状态：T1293 K，p11.0105 Pa末状态：T2393 K由查理定律得p2 Pa1.34105 Pa对限压阀受力分析可得下式mgp2Sp1S(p2p1)S(p2p1)(1.341051.0105)3.14 N0.24 N所以m0.024 kg.干涉条纹分析至于干涉条纹是明是暗的问题，不仅光的干涉，即便机械波如声波的干涉，也应该遵守类似规律。【例题16】S1、S2为两个相干光源，发出的光的频率为7.51014Hz，光屏上A点与S1、S2的光程差为1.8106m.(1)若S1、S2的振动步调完全一致，则A点出现什么条纹？(2)若S1、S2的振动步调完全相反，则A点出现什么条纹？【解析】(1) 先对光的传播作逻辑分析，由波长-波速的公式得m4107m4.5，即路程差为半波长的奇数倍，再对光的干涉做逻辑分析，由产生明暗干涉条纹的条件，若S1、S2的振动步调完全相同，则A点出现暗条纹(2)类似地，若S1、S2的振动步调完全相反，则路程差为半波长的奇数倍时应为加强点，A点出现亮条纹最后，应该强调具有鲜明物理本学科特点，起始于分析、终于综合的思维的成果“逻辑方案”，必须经过确认-递升环节（哪怕是一闪念）之后，方可传递给下一个数理思维阶段。五“数理分析法”在解题中的应用如前所述，利用数学概念、规律，对“逻辑方案”或“意象”实行的的分析-综合法，简称数理分析法。例如通过数理分析可知，力的合成与分解中包含着三角函数的分量式，匀变速运动中包含二次方程（位移公式）的方程组，电磁感应中包含着求磁通对时间的导数（电磁感应定律），而许多题目的解决（参见例题7、8等）需求数列的通项公式等等。一则，既然是数理分析-综合，它就必定具有明显的数学特征；二则，数理分析的目的，即借助于“习题反映”与“解题经验”的数理比较，对破解的逻辑方案实则为由物理定义式、定理、公式、表达式等等，从数学角度和视野，重新进行归类或识别，理解为数学意义上的比、比例、代数式、向量、三角函数、方程（组）、数列、导数或微分等等，再通过数理的抽象、概括，推导、总结、确认、递升等，方可最终解决应有的结论或答案数理成果问题。类似地，由于数理思维属于实际操作的思维活动，因而这一成果可称为数理“实象”。前面已经提到，比、比例、向量、几何式、代数式、三角函数、方程（组）、数列、导数或微分等，可称为数理对象。而数理分析法就是关于数理对象的分解-合成法，或可称为分解法。依据中学数学分科的不同，我们把数理分析分为：算术分析、代数分析、三角分析、数列分析、解析分析和微元分析等。请读者注意，“几何分析”则已经移至形象分析一节。数理分析的实质和目的，即通过对数理信息的分析，完成物理表达到数学表达的“物-数”形式意义上的转换（尽管这种转换在人脑中瞬间即可完成），实际则可理解为比例式、分式、不等式、方程或方程组等等，弄清它们之间的各种关系，为习题解决所需要的的数理推演，提供必要地基础平台和重要支持。还应该说明，由于绝大部分物数学概念和数学规律，皆可用物数学定义式、公式、方程表达，为方便讨论起见，故把物数学概念和数学规律统称“数学公式”数理分析，或称分解-合成，以数学的概念、原理、定理、法则、定义式、公式和方程等“数学公式”为思维对象，目的或任务即利用“理数转换”所得“数学公式组”数理成果，分析各种数学量和数学量之间的联系，进而借助于变换、演算、推导等数理加工，最终获取习题的答案。数理分析是数理思维加工的基础或必要条件，没有数理分析，也就不能顺利进行数理加工。单纯、孤立地数理分析（如矢量分解与合成、匀变速直线运动的速度、带电粒子再匀强磁场中的轨道半径等“数学公式” 的数理分析）是没太大意义的，数理分析与数理加工相互协作和密切联系，两者同属于完整思维过程的第三层次。如因式分解与其逆变、矢量分解与合成、积化和差与和差化积等过程，皆包括一种数理分析与综合过程。初步归纳，数理分析应有算术分析、几何分析、代数分析、三角分析、矢量分析以及微积分分析等等。下面，通过一些典型实例的解答过程，说明数理分析法的具体应用。【例题解析】算术分析:关于算术分析，主要包括比、比例与比例、算术平均值、近似值、特殊值等四则运算的有关问题。下面，是简单电路的计算中两个有关比例运算的物理习题。详情参见“比例法”。图331【例题1】如图331所示，电源电动势保持不变，内阻可忽略，R1=2R2，开关S断开时，电流表的示数为I1，R1消耗的功率为P1；开关S闭合时，电流表的示数为I2，R2消耗的功率为P2，则（ ）AI1：I2=1：1 P1：P2=3：1 BI1：I2=1：3 P1：P2=1：2 CI1：I2=3：1 P1：P2=1：1 DI1：I2=1：1 P1：P2=1：3【解析】由题意可知，当开关S断开时，电流表只测R1的电流，而当开关S闭合后，两电阻并联，电流表测的是干路电流。对电路中各电学量及其比例关系的“数理分析”，进而可得电源的电动势相等时，电流（示数）之比等于电阻的反比，即分析原电路并画出其等效电路，可得R1、R2并联电阻已知R1=2R2，从而就有下列比例运算类似地，依公式，在电压相等时，电阻R1和R2消耗的功率之比等于电阻的反比即。 【例题2】在用电高峰时，某家庭用户的电压比220V降低了10，此时正在工作的“220V 100W”白炽灯的实际功率是_W。（不考虑温度对灯丝电阻的影响）【解析】类似地，若不考虑温度对灯丝电阻的影响，近似认为灯丝的电阻保持不变，则本题的“等量”是“电阻不变”。对电路中电流、电压、电功率及其关系的“数理分析”， 再联系比较抽象等，进而可得电功率与电压的平方成正比，根据电功率公式，即因此，代入已知数据，白炽灯的实际功率为。【点拨】高中物理的比例运算，除电路计算外，在万有引力与航天、电、磁场、电磁感应、交变电能的传输、热学、光学等也有重要应用，也可以说，几乎涵盖高中物理习题解决的所有领域，初学者应该给以高度的关注。代数分析关于代数分析，主要包括代数式、分式、约分、通分、因式分解、方程、方程组、一元二次三项式、不等式等数理分析的内容。下面，介绍两个简单的例子，详情参见“下文”有关章节。【例题3】用一个力作用在A物体上产生的加速度为a1,作用于B物体上产生的加速度为a2，若将该力同时作用在A、B两物体上时，则A、B的加速度有多大？【解析】设该力同时作用在A、B两物体时，A、B的加速度为。从而，由牛二定律，分别对于三种情况可得下列三元一次方程组 联立“逻辑关系”式，不难求出从而得到下面的物理结果亦即 由于各量无具体数值、单位，物理结果即本例最后结论。图332【例题4】如图332所示，位于水平面的两条金属导轨AB、CD相距为L，按图所示与电动势为E的电源和定值电阻R相连接，金属棒MN垂直置于导轨上，并在上面滑动，其他所有电阻不计，并加有竖直向下的匀强磁场B，通电金属棒在磁场力的作用下由静止开始向左运动，最后以速度v匀速运动，设摩擦力不变且大小为f，问B多大时v有最大值，v的最大值是多少？【解析】设最大速度为v,金属棒的电流为I，感应电动势为E1，磁场力为F，可得图335 当时，v具有最大值。即 经“数理分析”、比较、抽象等可知，这是一个含有参数v的关于B的一元二次方程。再应用求根公式，从而要使上式有意义，其判别式必须大于或等于零。亦即 进一步分析可知大于零时B将发生变化，不合题意，B只能取等于零。由此求出通电金属棒的最大速度 再代回上述关于B的表达式，可得此时所需要的磁感应强度【点拨】在高中物理习题解决领域中，方程、方程组、不等式等，应用十分重要，而具有普遍意义，欲做解决物理习题的行家里手，必须非常熟通晓和牢固把握这部分知识以利于熟练应用。三角分析关于三角分析，包括初级三角函数及其变换、和差化积、积化和差、倍（半）角公式等的数理分析的内容。类似处理，下面介绍两个简单的例子，详情请关注“下文”有关章节。图333abABMNvuCP【例题5】如图333所示，质点A沿着直线MN以速度v做匀速运动。开始时质点B与A相距为a，与MN间的垂直距离为b，则质点B沿什幺方向做匀速直线运动能以最小的速度与质点A相遇？其最小速度为多大?【解析】此例的解答用所谓的“三角函数法”。任设质点B沿与BC夹角的方向以速度u做匀速直线运动而与质点A相遇于P点，如题图所示。用三角函数知识分析，再联系数理的比较抽象等，于是有对上式整理后而将u表为的函数为针对这一函数作“代数方法”处理可得：当时，质点B的速度u取得最小值，为【例题6】如图334所示，一条形磁铁放在水平桌面上在其左上方固定一根与磁铁垂直的长直导线，当导线通以如图所示方向电流时（ ）A磁铁对桌面的压力减小，且受到向左的摩擦力图334B磁铁对桌面的压力减小，且受到向右的摩擦力C磁铁对桌面的压力增大，且受到向左的摩擦力D磁铁对桌面的压力增大，且受到向右的摩擦力【解析】导线所在处磁场的方向沿磁感线的切线方向斜向下，对其沿水平竖直方向分解，如图335所示。对导线而言，应用分力的三角函数式、左手定则可得，Bx产生的效果是磁场力方向竖直向上；By产生的效果是磁场力方向水平向左。 依牛三定律，可知导线对磁铁有向下的作用力，因而磁铁对桌面压力增大；导线对磁铁有向右的作用力因而磁铁有向右的运动趋势，由此判定桌面对磁铁的摩擦力方向水平向左 易得（解略）本题答案：C。数列分析这里的数列分析，是应用等差、等比数列的知识进行的数理分析。类似地，也粗略讨论两例。【例题7】如图336所示，小球从长为l的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，物体一共通过的路程.图336【解析】物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为a.物体第一次碰撞前后速度及反弹路程分别为： 再设常数物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为： 以上各式用速度公式、速度-位移关系是针对多次碰撞分解（演绎）获得。物体第n次碰撞前后的速度及反弹路程分别为, 以上速度、位移等各通项式是对多次碰撞合成（归纳）的结果，此结果起始于“数理分析”，再加数理比较、抽象、综合等而获得。同理，物体n次碰撞挡板时所经历的总路程： 当n趋于无限大时，此即物体最终停在斜面底端时通过的总路程。图337【点拨】本例为了清晰和节省纸面，我们预先设置了常数，解题时若该数（或量）事先尚不清楚，则宜采用下面的解答形式。【例题8】如图3-3-7所示，m=2kg的平板车后端放M=3Kg的小铁块，铁块和平板车之间的动摩擦因数=0.5，开始时，车和铁块共同以速度v0=3m/s向右在光滑水平面上运动，车与竖直墙正碰（不损失机械能），碰撞时间极短，车身足够长，铁块始终不与墙相碰，求小车与墙第一次相碰后小车所走的总路程。g取10m/s2.【解析】设向右为正方向，第一次碰撞后，m以-3m/s速度向左运动，而其加速度，m逐渐减速至零，这段位移的值x1为： ，此后m在M的摩擦力作用下向右加速运动 ，直至与M速度相同，由动量守恒定律 M(+3)+m(-3)=(M+m)v1，则类似地，第二次碰撞后，m以速度向左运动，重复以上分析，得 随后M与m不断重复以上运动，有，此通项式的导出，也是数理的分析（演绎）、比较、抽象，再经综合（归纳）的结果。自然，可设n为无穷大，则小车所走的总路程为： 【点拨】实际上，数列知识在高中物理解题中应用是十分重要和非常广泛的，如匀变速直线运动连续相等时间内的位移就构成一个等差数列，小球与地面的碰撞导致的多次反弹运动的总位移也可构成一个等比数列。他如在匀速圆运动、振动和波、带电粒子在电磁场中运动等章节习题中，由于其运动本身所有的时间和空间的周期性，因而也往往需用已知条件归纳某个物理量的通项表达式，然后应用数列的有关知识求解。解析分析解析分析部分，大致包括向量、坐标系（或参考系）、两点距离公式、直线的斜率、直线方程、二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）、参数方程等的数理分析的内容。类似地，下面也粗略讨论两例。【例题9】排球场长18m，球网高2m，运动员在3m线处水平击球，求：（1）当他击球的高度低于某值时，不是触网就是越界，求此高度？（2）若击球高度H=25m，求既不触网也不越界的初速度范围。【解析】以排球抛出点为坐标原点，建立如图338所示坐标系，作为对合位移y（一元二次函数）的“数理分析”的开始，再联系数理的比较抽象等，先写出平抛运动的轨迹方程，再给方程代入不同的已知数据去分别讨论。显然，平抛运动的轨迹方程为： 图338（1）设击球的高度为h时，就不是触网就是越界，所以轨迹曲线应该从球网上端飞过后落在球的边界上。将球网上端A（6，h2）和球场边界B（12，h）代入轨迹方程得 和 由此求出。（2）当H=25m，速度最小时，球恰好从球网上端越过，将球网上端A（6，252）代入轨迹方程得，由此求出。当H=25m，速度最大时，球恰好从球场边界越过，将球场边界B（15，25）代入轨迹方程得，由此求出。因此球既不触网也不越界的初速度的范围为 1897m/s v04743m/s。*【例题10】911年, 卢瑟福由著名的粒子散射实验, 发现了原子有一个直径约为 10-12 cm, 高密度的、带正电荷的核, 建立了原子的有核模型, 并导出了卢瑟福散射公式, 一举把原子结构的研究引上了正确的轨道。 1而粒子在库仑斥力作用下的运动轨道就是一条是双曲线。试分析和说明粒子在库仑斥力作用下的运动轨道是一条双曲线。 【解析】如图339所示, 在O点有一个固定不动的, 带电荷为+ Ze 的原子核( 其中Z为该原子核的原子序数), 有一个质量为 m 的 粒子( 即带电量为+ 2e 的氦核) 以初速度 v 0 从远处射来。 假若粒子的入射方向与O点的原子核的垂直间距为 p ( 通常把这个间距称为瞄准距离) , 当粒子接近O点的原子核时, 由于它与O点的原子核之间的库仑斥力作用, 粒子会做如图4所示的双曲线运动。类似地数理的分析、抽象、推导，倘若取焦点O为坐标原点, 以为极角, 可得到粒子的运动轨道方程为图339式中是焦点参数， 是离心率。由于离心率，故粒子的运动轨道是一双曲线, 而原子核 Ze 在其一焦点上。【点拨】还应强调，对于人造地球卫星在地球引力场中运动, 行星的轨道运行是在万有引力( 平方反比有心力) 作用下的运动, 其轨道的具体形状由离心率的数值而定, 分别为圆、椭圆、抛物线和双曲线, 因此，所谓卫星一类问题，也可应用解析几何知识去解决，这是人所共知的事实, 毋需赘述。微元分析（略）所谓微元分析，大致就是有关微元法解题所涉及的数理分析内容。由于集合、立体几何等知识，在中学物理解题中应用较少，如有兴趣，请聪明的读者予以关注，在此恕笔者不予讨论。 笔者以为，数理意义上的分析-综合，实则为数学量（矢量、标量）、数学表达式（函数、方程）等的“分合”，例如比例的分比与合比、力的分解与合成、代数式约分与通分、因式的分解与还原、三角函数的积化和差与和差化积、数列的展开与求和等等。鉴于此。数理分析，可试称为分解-合成思维。六“系统分析法”在高中物理解题中的应用系统分析法，不仅是对“题解”（具象）验证，更是对“解题”的方法（或思维方式）、思路、过程、策略和技巧等，所实行的多角度、多方位、多层次地分析-综合法。实际上，在高中物理解题中，这种分析-综合，既应对习题解决所得题解的求同和求异发散而言，更重要的是对解题（或思维）方法的求异和求同的发散思维而言，如一题多解和一题多变，和求异和求同的收敛思维如多解选优和多题一解等等。类似地，可把发散-收敛思维，简称为发散思维法或发散法。发散思维的对象，主要针对习题答案、解题方法等方面的内容。系统分析的实质和目的，即通过对习题所涉及系统信息的分析，应用系统发散收敛思维，对所解习题进行题解验讨、一题多解、一题多变、多解选优、多题一解等深入的研究和探讨。在对解题过程和方法等多解选优、多题一解的过程中，势必包括着系统的比较和鉴别思维活动，舍此也就没有选优、归一的思维成果。因此，也就没有在选优成果基础上产生的思维转换和等效思维方法，更没有由归一成果基础上产生的模型思维方法。接下来，系统思维的等效法和模型法等的应用、推广，以及新的解题理论的产生，就失去充分、必要条件或重要的前提。从另一角度着眼，系统思维的全过程，出发散-收敛外，还包括产生于发散-收敛基础上的系统抽象、概括、推广、理论以及理论方法的应变和决断问题，所谓量变导致质变，终将产生思维品质和能力的飞跃和提升。注：系统思维的结果可试称虚（务虚之“虚”）象。说白了，所谓系统分析，即以思维方法的思路、步骤、策略、技巧等“思维方法”为思维对象，目的或任务即分析各种思维方法和其间的优劣或类同联系，进而为灵活、明确选择或敏捷、熟练应用解题所需的物理模型做准备和铺垫。还应指出，系统分析是系统思维加工的基础或必要条件，没有系统分析，也就不能顺利进行系统加工（方法的归类或对比）。系统分析与系统加工相互协作和密切联系在一起，两者同属于完整思维过程的第四层次。下面，通过一些典型物理习题的解答，说明系统分析法（或发散-收敛法）的具体应用。【例题解析】习题题解的检验（即发散）题解的发散问题，即题解的检验问题。这种检验分为实验检验