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第六章第四节正态总体 统计三大分布 记为 定义 设相互独立 都服从正态分布N 0 1 则称随机变量 所服从的分布为自由度为n的分布 分布是由正态分布派生出来的一种分布 分布的密度函数为 请看演示 分布 由分布的定义 不难得到 应用中心极限定理可得 若 的分布近似正态分布N 0 1 则可以求得 E X n Var X 2n 若 n2分布的密度函数的图形如右图 n2分布的上 分位点可以查附表4 P234 n2分布的上 分位点图形如右图 2分布的分位点 对于 0 1 给定 称满足条件 的点 n2 为 n2分布的上 分位点 T的密度函数为 所服从的分布为自由度为n的t分布 二 t分布 记为T 具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为 E T 0 Var T n n 2 对n 2 当n充分大时 其图形类似于标准正态分布密度函数的图形 t分布的密度函数关于x 0对称 且 不难看到 当n充分大时 t分布近似N 0 1 分布 但对于较小的n t分布与N 0 1 分布相差很大 请看演示 t分布 T tn 对于 0 1 给定 称满足条件 t分布的分位点 的点tn 为t分布的上 分位点 t分布的上 分位点图形如右图 t分布的上 分位点可以查附表3 P232 三 F分布 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1 X的数学期望为 若n2 2 若X X的概率密度为 请看演示 F分布 F Fm n 对于 0 1 给定 称满足条件 F分布的分位点 的点Fm n 为F分布的上 分位点 F分布的上 分位点图形如右图 F分布的上 分位点可以查附表5 P237 当总体为正态分布时 教材上给出了几个重要的抽样分布定理 这里我们不加证明地叙述 除定理2外 其它几个定理的证明都可以在教材上找到 四 几个重要的抽样分布定理 定理1 样本均值的分布 n取不同值时样本均值的分布 定理2 样本方差的分布 n取不同值时的分布 定理3 定理4 两总体样本均值差的分布 定理5 两总体样本方差比的分布 假设某物体的实际重量为 但它是未知的 现在用一架天平去称它 共称了n次 得到X1 X2 Xn 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差 则可以认为这些测量值都服从正态分布N 2 方差 2反映了天平及测量过程的总精度 通常我们用样本均值 根据基本定理 例1 例如 0 1时 若取n 10 则 下面讨论估计值 即样本均值与真值 的偏差 于是根据第二章讲过 随着称量次数n的增加 这个偏差界限 还是 0 1时 若取n 100 则 越来越小 在设计导弹发射装置时 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差 对于一类导弹发射装置 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N 2 这里 2 100米2 现在进行了25次发射试验 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差 求 S2超过50米2的概率 例2 根据基本定理 查P234附表4 得到 解 本章小结 一 总体 样本 样本的
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