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第三章向量代数 高等代数与解析几何 课题开发组 3 1向量及其线性运算 欧拉 1707 1783 3 3 1 1向量的基本概念 既有大小 又有方向的量 称为向量 矢量 用有向线段表示向量 有向线段的长度表示向量的 例如 也可用一个字母表示 例如 或 大小 有向线段的方向表示向量的方向 如速度 加速度 力 位移等 定义3 1 可以 向量的大小叫做向量的模 记作 模等于 的向量叫做单位向量 向量的模 向量 4 若大小相等 方向相同 则称相等 定义3 2 与起点无关的向量称为自由向量 向量 定义3 3如果两个向量和的大小相等 方向相反 则称是的反向量 记作 定义3 4长度为0的向量成为零向量 记作0 定义3 5长度为1的向量称为单位向量 模等于零的向量叫做零向量 记作 零向量的起点和终点重合 方向可任意 或 记做 5 1 向量的加减法 称为向量加法的平行四边形法则 再以 为边作平行四边形 称 定义3 6从一点作向量 为两向量的和向量 记作 个向量的和如何理解 3 1 2向量的线性运算 6 两向量的差 不难得到 2 结合律 1 交换律 向量加法的运算规律 7 特别地 定义3 7向量 运算规律 1 结合律 2 分配律 与实数 的乘积是一个向量 记作 它的方向 当 它的模 与的方向相同 相反 8 定理3 1 的充分必要条件是存在唯一的 3 1 3共线向量 共面向量 定义3 8方向相同或者相反的向量称为共线向量 而 再证唯一性 证 充分性是显然的 设向量 设 则 取实数 所以 平行于同一平面的向量成为共面向量 下面证必要性 设 为负 9 定理3 2 三个向量 共面的充分必要条件是存在不 全为零的数 使 证 中有两个向量例如 共线 由定理 3 1知 则有不全为零的 使 那么 仍不全为零 有 设 均不共线 作 过 点作直线与 平行交 所在直线于 点 于是由三角形 如果 法则及数乘向量定义有 10 其中 不全为零 反之 如果有不全为零的 使 不妨设 于是 这说明 是以 为边的平行四边形的对角线 因此 共面 从而有 11 证由三角形法则 又因 是 的中点 故 即 例3 1 中 是 边中点 证明 12 例
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